1、结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:266-1 概概 述述6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理6-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法6-4 静定结构在静定结构在荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算6-5 图乘法图乘法6-6 静定结构温度变化时静定结构温度变化时的位移计算的位移计算6-7 静定结构支座移动时静定结构支座移动时的位移计算的位移计算6-8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理第第六六章章 结构位移计算结构位移计算 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:261.1. 结构的位移结构的位移是指结构上的某一截面在荷载或其它是指结构上的某
2、一截面在荷载或其它因素作用下由某一位置移动到另一位置，这个移动因素作用下由某一位置移动到另一位置，这个移动的量就称为该截面的位移（线位移和角位移）。的量就称为该截面的位移（线位移和角位移）。 思考：变形与位移的差别？思考：变形与位移的差别？6-1 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26AAAAAxAyPAxAy2.2. 位移的分类位移的分类6-1 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26ABDCCDVCDDVCV 截面截面C、D 的相对竖向的相对竖向线位移为线位移为 :VVVDCCDDC CD 截面截面C、D 的相对角位移为的相对角位移为: : AB CDDCC D6-1 结构力
3、学中南大学中南大学返 回退 出22:26AAAPAxAyt 3.3.位移产生的原因位移产生的原因6-1 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26铁路工程技术规范规定铁路工程技术规范规定: : (1) (1) 刚度要求刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/6001/600 跨度；跨度；桥梁在竖向桥梁在竖向静活载静活载下，钢板桥梁和钢桁梁下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度最大挠度 1/700 1/700 和和1/9001/900跨度跨度高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/10001/1000 高度。高度。 最大层间位移最大层间位移 1/800 1/800 层高。层
4、高。6-1 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26(2) (2) 超静定结构、动力和稳定计算的基础超静定结构、动力和稳定计算的基础(3(3）施工要求）施工要求 超静定结构的内力不能仅由平衡条件确定，分析时必须超静定结构的内力不能仅由平衡条件确定，分析时必须考虑变形条件，因而需要计算结构的位移。考虑变形条件，因而需要计算结构的位移。 在结构的施工过程中，常需预先知道结构变形后的位置，在结构的施工过程中，常需预先知道结构变形后的位置，以便采取一定的施工措施，使结构物符合设计图纸的要求。以便采取一定的施工措施，使结构物符合设计图纸的要求。6-1 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26
5、（3 3）理想联结）理想联结 (Ideal Constraint)(Ideal Constraint)。（principle of superposition)principle of superposition)(1) (1) 线弹性线弹性 (Linear Elastic),(Linear Elastic),(2) (2) 小变形小变形 (Small Deformation),(Small Deformation),6-1 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26本章只讨论应用虚功原理求解结构位移。本章只讨论应用虚功原理求解结构位移。2. 功能法功能法虚功原理虚功原理应变能应变能( (
6、卡氏定理卡氏定理) ) 研究变形和位移的几何关系，用求解微分方程研究变形和位移的几何关系，用求解微分方程式的办法求出某截面的位移（材料力学用过，但对式的办法求出某截面的位移（材料力学用过，但对复杂的杆系不适用）。复杂的杆系不适用）。1.1.几何法几何法 6-1 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26 一、基本概念一、基本概念0dFWl AOFFFBd F实功：实功： 力在其本身引起的位移上所作的功。力在其本身引起的位移上所作的功。位移位移是由外力是由外力F引起的，引起的，F 做的功可表示为做的功可表示为: : 1.1.外力的实功外力的实功6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构
7、力学中南大学中南大学返 回退 出22:26 实功的数值就等于图上三角形实功的数值就等于图上三角形OAB的面积。的面积。实功是外力的非线形函数，计算外力实功不能应实功是外力的非线形函数，计算外力实功不能应用叠加原理。用叠加原理。kFFkkW22121220d所以所以 设线弹性材料的弹性系数为设线弹性材料的弹性系数为k，则，则kF l AOFFFBd F6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:262.2.外力的虚功外力的虚功 虚功：虚功：力在其它原因引起的位移上所作的功，力在其它原因引起的位移上所作的功，即做功的力系和相应的位移是彼此独立无关的。即做功
8、的力系和相应的位移是彼此独立无关的。tFW 虚功的数值是位移曲线所围的矩形面积。虚功的数值是位移曲线所围的矩形面积。 虚功中的力与位移两者相互独立，计算外虚功中的力与位移两者相互独立，计算外力虚功可应用叠加原理。力虚功可应用叠加原理。 lFOtFABFtt6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26力力F1在力在力F2引起的位移引起的位移12上作的功为虚功为上作的功为虚功为121FW 例例 F1力在其引起的位移力在其引起的位移11 上作的功为实功为上作的功为实功为 11121FW F1121211FF1211212212126-2 变形体系的虚功原
9、理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26 结构产生的各种位移，包括截面的结构产生的各种位移，包括截面的线位移、角位移、相对线位移、相对角位移或者是一线位移、角位移、相对线位移、相对角位移或者是一组位移等等都可泛称为广义位移。组位移等等都可泛称为广义位移。 3.3.广义位移和广义力广义位移和广义力广义位移广义位移 与广义位移对应的就是广义力，与广义位移对应的就是广义力，可以是一个集中力，集中力偶或一对大小相等方可以是一个集中力，集中力偶或一对大小相等方向相反的力或力偶，也可以是一组力系。向相反的力或力偶，也可以是一组力系。 注意：广义位移与广义力的对应关系，能够注意：广
10、义位移与广义力的对应关系，能够在某一组广义位移上做功的力系，才称为与这组在某一组广义位移上做功的力系，才称为与这组广义位移对应的广义力。广义位移对应的广义力。 广义力广义力6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:264.4.内力功内力功 定义：定义：从杆上截取一微段从杆上截取一微段, ,作用在该微段上的内力作用在该微段上的内力在该微段的变形上做的功定义为该内力做的功。在该微段的变形上做的功定义为该内力做的功。该微段上相应的变形为该微段上相应的变形为轴向变形轴向变形 sdd剪力变形剪力变形 sdd弯曲变形弯曲变形 skdd1FNFNsdsd +ddd
11、sSFSddsMM6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26 如果变形就是由此内力引起的，如果变形就是由此内力引起的，则此微段上内则此微段上内力功应为实功，其为轴力、剪力和弯矩分别做的功力功应为实功，其为轴力、剪力和弯矩分别做的功之和：之和：d21d21d21dSNMnFFw因为因为sskssd1ddddddsMsFsFwd21d21d21dSN由胡克定律有：由胡克定律有： EIMGAFEAF1,SN故故 sEIMsGAFsEAFwd21d21d21d22S2N实功数值上就等于微段的应变能。实功数值上就等于微段的应变能。 所以所以内力实功内力实功
12、6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26 若变形与内力彼此无关，则此微段上的内力功若变形与内力彼此无关，则此微段上的内力功是虚功，其为是虚功，其为ddddSNiMFFw对于整根杆的内力虚功，则可对整根杆积分求得：对于整根杆的内力虚功，则可对整根杆积分求得： dddSNiMFFWsss原因而定。原因而定。 , 和和 的具体表达式要视引起这个变形的具体的具体表达式要视引起这个变形的具体ddd内力虚功内力虚功6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26回顾回顾（1 1）质点系的虚功原理）质点系的虚功原理
13、具有理想约束的质点系，在某一位具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：置处于平衡的必要和充分条件是：1PF2NF1NF2PF1m2mfi ri=0 对于任何对于任何可能可能的虚位移，作用于的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为质点系的主动力所做虚功之和为零零。也即也即6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26（2）刚体系的虚功原理）刚体系的虚功原理 去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
14、对于任何对于任何可能可能的虚位移，的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。虚功之和为零。FPAxFBFAyFPB- -FP P +FB B=06-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26二、二、虚功原理虚功原理 1. 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 设一变形体在外力系作用下处于平衡状态。当变形体由设一变形体在外力系作用下处于平衡状态。当变形体由于其他原因产生一符合约束条件的微小连续位移时，则外力于其他原因产生一符合约束条件的微小连续位移时，则外力系在位移上做的虚功的总和系在位移上做的虚功的总和We，等于变形体的
15、内力在变形，等于变形体的内力在变形上做的虚功的总和上做的虚功的总和Wi，即，即， ieWW 这就是这就是虚功方程虚功方程。 （证明略）（证明略）需注意：需注意： 外力系必须是平衡力系，物体处于平衡状态；外力系必须是平衡力系，物体处于平衡状态；6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26 位移必须满足虚位移的条件位移必须满足虚位移的条件满足约束条件满足约束条件的非常微小的连续位移；的非常微小的连续位移； 外力与位移两者之间是相互独立没有关联的。平外力与位移两者之间是相互独立没有关联的。平衡的外力系与相应的内力是力状态；符合约束条件的微衡的外力系与相应
16、的内力是力状态；符合约束条件的微小位移与相应的变形是位移状态。力状态的外力在位移小位移与相应的变形是位移状态。力状态的外力在位移状态的位移上做功之和状态的位移上做功之和(外力虚功外力虚功)等于力状态的内力在位等于力状态的内力在位移状态的变形上做功之和移状态的变形上做功之和(内力虚功内力虚功)。 对于两个相互无关的力状态和位移状态的，可以虚对于两个相互无关的力状态和位移状态的，可以虚设其中一个状态，让另一实际状态在此虚设状态下做功，设其中一个状态，让另一实际状态在此虚设状态下做功，列出虚功方程，可以求解不同的问题。列出虚功方程，可以求解不同的问题。 6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结
17、构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26位移状态位移状态F FP PF FP P /2 /2F FP P /2 /2（虚）力状态力状态（虚力状态）（虚力状态）（虚位移状态）（虚位移状态）（虚）位移状态位移状态q q（3 3）位移状态与力状态）位移状态与力状态完全无关完全无关；（2 2）均为可能状态。即位移应满足）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件变形协调条件, ,力状态应满足力状态应满足平衡条件平衡条件。 （1 1）属）属同一同一体系；体系；6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:262.2.杆系结构虚功方程杆系结构虚功方程 希望能很好理解
18、，尽可能达到掌握！希望能很好理解，尽可能达到掌握！dddSNiMFFWssseiWW6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26虚位移原理虚位移原理 令实际的力状态在虚设的位移状态下做功所建立令实际的力状态在虚设的位移状态下做功所建立的虚功方程表达的是力的平衡条件。从中可以求出实的虚功方程表达的是力的平衡条件。从中可以求出实际力系中的未知力。这就是虚位移原理。际力系中的未知力。这就是虚位移原理。 虚力原理虚力原理 令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功所令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功所建立虚功方程表达的是位移协调条件，从中可求出建立虚功方程
19、表达的是位移协调条件，从中可求出位移状态中的一些未知位移。这就是虚力原理位移状态中的一些未知位移。这就是虚力原理( (也也称为余虚功原理称为余虚功原理) )。 一个力系平衡的充分必要条件是：一个力系平衡的充分必要条件是：对任意协调位移，虚功方程成立。对任意协调位移，虚功方程成立。 一个位移是协调的充分必要条件是：一个位移是协调的充分必要条件是：对任意平衡力系，虚功方程成立。对任意平衡力系，虚功方程成立。3. 虚功原理的两种应用虚功原理的两种应用6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26 注意注意: 虚位移原理写出的虚功方程是一个平衡虚位移原理写出
20、的虚功方程是一个平衡方程式，可用于求解平衡力系中的未知力。方程式，可用于求解平衡力系中的未知力。BCDEAFFaaaa/2/2a例如：应用例如：应用虚位移原理虚位移原理求支座求支座C的反力的反力FC。ABCDEDEBCFCACDEFBF0EBCCFFF0)43()21(CCCCFFF即即 FFC45故故 撤除与撤除与FC相应的约束相应的约束, ,将将FC变成主动力，取与变成主动力，取与FC正向一致的刚体位移作为虚正向一致的刚体位移作为虚位移。位移。列出虚功方程：列出虚功方程： 6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26 注意：注意：虚力原理写出的
21、虚功方程是一个几何虚力原理写出的虚功方程是一个几何方程，可用于求解几何问题。方程，可用于求解几何问题。 例：当例：当A支座向上移动一个支座向上移动一个已知位移已知位移c1，求点，求点B产生的竖向产生的竖向位移位移。ACBc1Aba在拟求线位移的方向加单位力在拟求线位移的方向加单位力 由平衡条件由平衡条件 abFyAACBFyA1 令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功，得虚令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功，得虚功方程功方程011 yAFc)()(111 cababcFcyA求得求得与单位力方向相同。与单位力方向相同。6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理结构力学中南大学中南大学返
22、回退 出22:26单位荷载法单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) 是是 Maxwell, 1864和和Mohr, 1874 1874提出，故也称为提出，故也称为Maxwell-Mohr Method。图示结构，要求图示结构，要求 KK=?=?实际状态实际状态 位移状态位移状态虚拟状态虚拟状态 力状态力状态6-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26112233KKWFRCR CR C 外NsWF duMdF rds内KNsF duMdF rdsRC 用虚功原理，位移状态即实际状态，另虚设一个力状用虚功原
23、理，位移状态即实际状态，另虚设一个力状态（称力虚设状态），要态（称力虚设状态），要使虚拟力的虚功正好等于所求位使虚拟力的虚功正好等于所求位移移，可接右图选取虚拟状态，用虚拟力为单位力，故称为，可接右图选取虚拟状态，用虚拟力为单位力，故称为单位荷载法。单位荷载法。外力虚功外力虚功: 内力虚功内力虚功:由虚功方程：由虚功方程：此式即为平面结构位移计算一般公式。此式即为平面结构位移计算一般公式。若结果为正，说明若结果为正，说明 在在 上做正功，这表明的实际上做正功，这表明的实际方向与方向相同。若结果为负，说明方向与方向相同。若结果为负，说明 在在 上做负功上做负功，这表明的实际方向与方向相反。，这表
24、明的实际方向与方向相反。 K1KF 1KF K6-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26几点说明：几点说明：(1) (1) 所建立的所建立的虚功方程虚功方程 ，实质上是，实质上是几何方程几何方程。(2) (2) 虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力广义力 P P=1=1(3) (3) 求解时求解时关键一步关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。是找出虚力状态的静力平衡关系。特点特点: : 是用静力平衡法来解几何问题。是用静力平衡法来解几何问题。单位位移法单位位移法的虚功方程
25、的虚功方程 平衡方程平衡方程单位荷载法单位荷载法的虚功方程的虚功方程 几何方程几何方程总的来讲：总的来讲：6-3 6-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:262. 2. 结构类型：结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；梁、刚架、桁架、拱、组合结构； 静定和超静定结构；静定和超静定结构；1. 1. 位移原因：位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；荷载、温度改变、支座移动等；3. 3. 材料性质：材料性质：线性、非线性；线性、非线性；4. 4. 变形类型：变形类型：弯曲变形、拉弯曲变形、拉( (压压) )变形、剪切变形；变形、剪
26、切变形；5. 5. 位移种类：位移种类：线位移、角位移；相对线位移线位移、角位移；相对线位移 和相对角位移。和相对角位移。一般公式的普遍性表现在一般公式的普遍性表现在：6-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26BA?AB(b)试确定指定试确定指定广义位移广义位移对应的对应的单位广义力单位广义力A?A(a)F=1F=1F=16-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26F=1?A(c)A?AB(d)ABF=1F=16-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单
27、位荷载法单位荷载法结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26ABCd?BC(e)dF1dF1ABC2d1d(f)?ACAB11d11d21d21d11BCBCBCWddd 外6-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26AB?AB(g)F=1F=1C(h)C左右=？F=1F=16-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26由虚功原理有：由虚功原理有：W= WiNdddissssWFuMFs cFcFcFcFFWRKRRRKK1332211外力虚功外力虚功 变形
28、虚功变形虚功 荷载作用引起的位移计算荷载作用引起的位移计算KP 等号左侧是虚设的单位外力在实际的位移上所做的等号左侧是虚设的单位外力在实际的位移上所做的外力虚力，右侧是虚设单位力状态的内力在实际位移状外力虚力，右侧是虚设单位力状态的内力在实际位移状态的变形上做的内力虚功之和。态的变形上做的内力虚功之和。6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26对于直杆，则可用对于直杆，则可用d dx代替代替d ds。计算位移的公式为计算位移的公式为NPSPPNSKP000dddlllFFMFxFxMxEAGAEI 单位力状态下结构的轴力、
29、剪单位力状态下结构的轴力、剪力和矩方程式。力和矩方程式。MFF、SN 实际荷载引起结构的轴力、实际荷载引起结构的轴力、剪力和弯矩方程式剪力和弯矩方程式。 PSPNPMFF、E、G 材料的弹性模量和剪力弹性模量材料的弹性模量和剪力弹性模量. . A、I I 杆件的横截面面积和横截面惯性矩杆件的横截面面积和横截面惯性矩. . 剪力在截面上分布的不均匀系数，对剪力在截面上分布的不均匀系数，对于矩形截面于矩形截面= =1.2。 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26（1）梁、刚架：）梁、刚架：只考虑弯矩只考虑弯矩Mp引起的位移
30、。引起的位移。 （2）桁架：）桁架：只有轴力。只有轴力。 桁架各杆均为等截面直杆则桁架各杆均为等截面直杆则xEIMMdPxEAFFdNPNEAlFFNPN6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26 拱坝一类的厚度较大的拱形结构，其剪力也拱坝一类的厚度较大的拱形结构，其剪力也是不能忽略的。所以计算拱坝时，轴力、剪力和是不能忽略的。所以计算拱坝时，轴力、剪力和弯矩三项因素都须要考虑进去。弯矩三项因素都须要考虑进去。 ( (4) ) 跨度较大的薄拱，跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，其轴力和弯矩的影响相当，剪力剪力的影响不
31、计，位移计算公式为的影响不计，位移计算公式为 sEIMMsEAFFssddPNPN6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算（3）组合结构）组合结构EAlFFsEIMMNPNPd1结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26 例例6-1 图图示刚架，已知各杆的弹性模量示刚架，已知各杆的弹性模量E和截和截面惯性矩面惯性矩 I 均为常数，试求均为常数，试求B点的竖向位移点的竖向位移BV，水平位移水平位移BU, 和位移和位移B 。qaaACBxEI=常数 解解: ( (1) ) 作出荷载作用下的作出荷载作用下的弯矩图，写出各杆的弯矩方程。弯矩图，写出各杆的弯矩方程。横梁横
32、梁BC 2P21)(qxxM)0(ax 竖柱竖柱CA 2P21)(qaxMACBql2MP0.5)0(ax 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26(2)求求B 点的竖向位移点的竖向位移BVACaBMa1 写出各杆单位力作用下写出各杆单位力作用下的弯矩方程的弯矩方程式，式，画出弯矩图画出弯矩图横梁横梁BC 竖柱竖柱CA xxM)(axM)(aoBxEIMMdPVEIxqaaEIxqxxaoaod21d2122)(85212141434EIqaxaxEIqao)0(ax )0(ax M6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
33、静定结构在荷载作用下的位移计算结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26(3) 求求B点的水平位移点的水平位移BU 在在B点加单位水平力。点加单位水平力。画出弯矩图并写出各杆的弯画出弯矩图并写出各杆的弯矩方程矩方程 BCM=a xxAaa-x1横梁横梁BC 0)(xM竖柱竖柱CA xxM)(aBxEIMM0PUdEIxqaxad21)(02)(414EIqa注意：注意：负号表示位移负号表示位移的方向与假设的单位的方向与假设的单位力的方向相反。力的方向相反。 )0(ax )0(ax 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算（4）求）求B点的线位移点的线位移B 2U
34、2VBBBEIqa4829结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26 例例6-2 一圆弧形悬臂梁受匀布荷载作用，设曲梁一圆弧形悬臂梁受匀布荷载作用，设曲梁矩形截面的弯曲刚度为矩形截面的弯曲刚度为EI ，半径为，半径为r ，圆弧，圆弧AB 的圆的圆心角心角0 0 及荷载及荷载 q 均为已知，试求截面均为已知，试求截面B 的竖向及水的竖向及水平向位移平向位移BV和和BU。 qOr0BACdyx 解解: : 当曲梁的半径较大截面比较当曲梁的半径较大截面比较薄时，可忽略轴力和剪力的影响。薄时，可忽略轴力和剪力的影响。 (1) 列出曲梁在荷载作用下的弯列出曲梁在荷载作用下的弯矩方程。假定曲梁内侧纤维
35、受拉为矩方程。假定曲梁内侧纤维受拉为正弯矩。正弯矩。 取取B点为座标原点，点为座标原点，任意截任意截面面C 的横座标为的横座标为x，该截面的弯该截面的弯矩：矩：2P21qxM6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26 (2) 求求BV ，在，在B点加一点加一竖向竖向单位力，单位竖向单位力，单位竖向力引起的弯方程为力引起的弯方程为 xM 1dsin2d)sin()sin21(100034022EIqrrrqrEI采用极坐标表示采用极坐标表示dd,cos,sinrsrryrx22Psin21qrMsinrM由于由于 00003
36、0203cos31cosdsin)cos1 (dsin所以所以 )cos31cos32(20304EIqrBC dxMMEIBPV1030cos31cos32Ox1BA0rddCs6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26 (3) 求求BU，在，在B点作用一单位向水平力，列出此水点作用一单位向水平力，列出此水平向单位力引起的弯矩方程平向单位力引起的弯矩方程)cos1 (. 1ryMsMMEIBd1PUdcossin2110022rrrqrEId)cos1(sin20024EIqr030004sin3121sincos212
37、EIqrOy1BA0rddCs6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26 例例6-3 平面桁架如图，已知各杆截面积均为平面桁架如图，已知各杆截面积均为A=0.4=0.41010-2m2弹性横量弹性横量E=200GPa，试求，试求B点和点和D点的竖向位移。点的竖向位移。4m4m3m3m24kNABC解解: (: (1) ) 求出实际荷载状态下各杆的内力。求出实际荷载状态下各杆的内力。 (2) 求求BV4m4m3m3m24kN-32kN-32kN-24kN40kN40kNABCFNP006-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静
38、定结构在荷载作用下的位移计算结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26 在在B点加一向下的单位力点加一向下的单位力,求此单位力引起的各杆轴力求此单位力引起的各杆轴力FN 。EAlFFPBNNV4)32()333. 1( 2540667. 1299104 . 01020016)224)(1(71080/144)341.25(666.8m1014.4-4BCFN001-1.333-1.333-11.6671.6674m4m3m3m24kN-32kN-32kN-24kN40kN40kNABCF00NP6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算结构力学中南大学中南大学返
39、回退 出22:26(3) 求求DV 在在D点加一向下单位力，求出此虚设状态点加一向下单位力，求出此虚设状态ABCFN10.8330001-0.5-0.833EAlFFBNPNV29104 . 01020016)24()5 . 0(540833. 071080/ )726 .166(m1098. 24 各杆的轴力各杆的轴力FN 。4m4m3m3m24kN-32kN-32kN-24kN40kN40kNABCFNP006-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26 在杆件数量多的情况下在杆件数量多的情况下, ,不方便不方便. . 下
40、面介绍计下面介绍计算位移的算位移的图乘法图乘法。 EIsMMPiPd6-5 图乘法图乘法 (Graphic Multiplication Method and its Applications)1. 1. 静定结构的内力计算；静定结构的内力计算；2. 2. 利用位移计算公式求静定结构的位移；利用位移计算公式求静定结构的位移；3. 3. 刚架与梁在荷载作用下的位移计算公式刚架与梁在荷载作用下的位移计算公式, , 即即: :已有基础：结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26sEIMMPdsMMEIPd1xMxEIPdtan1 xxMEIPdtan ccyEIxEI 1tan(对于等对于等截面
41、杆截面杆)(对于直杆对于直杆) xMMEIPd1)tan( xM 图乘法求位移公式为图乘法求位移公式为:EIycip图乘法的图乘法的适用条件是适用条件是什么什么? ?图乘法是图乘法是VereshaginVereshagin于于19251925年提出的，他当时年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院为莫斯科铁路运输学院的的学生学生。6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26例例. .试求图示梁试求图示梁B B端转角。端转角。解解:sEIMMPBdEIycABP2/ l2/ lEIBAB1M4/Pl1MPMi)(1612142112EIPlPllEI为什么弯矩图在为什么弯矩图
42、在杆件同侧图乘结杆件同侧图乘结果为正果为正?6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26指曲线切线与杆指曲线切线与杆轴重合或平行轴重合或平行6-5 图乘法图乘法 几种常见图形的面积和形心位置的确定方法几种常见图形的面积和形心位置的确定方法结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26图乘法小结：图乘法小结：1. 1. 图乘法的应用条件图乘法的应用条件（1 1）等截面直杆，）等截面直杆，EIEI为常数；为常数；（2 2）两个）两个M M图中应有一个是直线；图中应有一个是直线；（3 3） 应取自直线图中。应取自直线图中。cy2.2.若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧，
43、取正值；反之，取正值；反之，取负值。取负值。cycy3. 3. 如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形。6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26(1) (1) 曲曲- -折组合折组合jjKiyyyyxMM 332211d图形分解图形分解6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26(2) (2) 梯梯- -梯同侧组合梯同侧组合122211dyyxMMKi 3)2(3)2(21dcydcy6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26(3) (3) 梯梯- -梯异侧组合梯异侧组合1 1y2 2yABCD
44、abcdKM图图M图图b c取取负负值值2211dyyxMMKi 3)2(3)2(21dcydcy6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26复杂图形的处理：复杂图形的处理：+=+=6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26B求求1MPMi)(24) 13242121832(1322EIqlqllqllEIBAB4/2qllEIq42ql8/2qlq8/2ql6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26(4) (4) 阶梯形截面杆阶梯形截面杆jjjjKiIEyIEyIEyIEyxEIMM 333322221111d6-5
45、 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26例例 1. 1. 已知已知EIEI为常数，求为常数，求C C、D D两点相对水平位移两点相对水平位移 。CD 应用举例应用举例AlqBhq8/2qlh11hMPiM)(12832132EIqhlhlqlEIEIycCD解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26 例例 2. 2. 图示梁图示梁EIEI 为常数，求为常数，求C C点竖向位移。点竖向位移。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(1285)48224328331(1322
46、EIqllqllllqlEIEIycC8/2ql)(241221231132EIqllqllEIEIycc6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:2632/2qliM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2318221232222122132232(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycc8/2qlq8/2ql2/2ql2/2ql8/2ql6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2218223242212438231(14222EIqll
47、qlllqlllqllEIEIycc8/2qlq8/2ql2/qlq8/2ql4/2ql2/ql8/2ql8/2ql6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26例例3. 3. 试求图示结构试求图示结构B B点竖向位移。点竖向位移。解解:sEIMMPBydEIycPlMPMi)(34)3221(13EIPlllPlllPlEI1lPEIBEIll6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26例例4.4.已知已知 EIEI为常数，求铰为常数，求铰C C 两侧截面相对转角两侧截面相对转角 。C解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩
48、图AlqBlClq4/ql4/qlMP110l /11iM)(2421832132EIqlqlEIEIycCD4/2ql4/2ql6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26 例例5.5.已知已知 EIEI 为常数，求为常数，求A A点竖向位移点竖向位移 。A)(4822)22182322324221232421(14222EIqlEIlqlllqlllqllEIEIycCD解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图Aqlllq4/qlMP4/2ql2/11iM2/ l6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:266. 6.
49、求求B B点水平位移。点水平位移。解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图MP)(85412322113EIPlllPlEIllPlEIEIycBPlABllEI4PEIEI1注意注意: :各杆刚度各杆刚度可能不同可能不同iMl6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26 7.7.已知已知EIEI为常数，求为常数，求B B截面转角。截面转角。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图ABkN/m2m4kN6m2m31124Mi)(38)21443213112421(1EIEIEIycB6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大
50、学中南大学返 回退 出22:26)(31123)32(21322113EIPlllPllllPlllPllPllEIEIycB解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图8. 8. 求求B B点水平位移点水平位移,EI=,EI=常数。常数。AlPBllMPPlPl2A1Bl 2MPl6-5 图乘法图乘法 结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:26解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图)(434)2)(2(14322113EAPlEIPllPEAllPlEIEAlNNEIyPicB9. 9. 求求C C、D D 两点相对水平位移两点相对水平位移
