1、高三数学答案高三数学答案第第 1页（共页（共 8页）页）石景山区石景山区 2021-2022 学年第一学期高三期末学年第一学期高三期末数学试卷答案及评分参考数学试卷答案及评分参考一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分题号12345678910答案CAADBDDCBC二、填空题：二、填空题：本大题共本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分1185；124 0 ，3yx ；13(4，；146（答案不唯一） ； 15三三、解答题解答题：本大题共本大题共 6 个小题个小题，共共 80 分分解答题应写出文
2、字说明解答题应写出文字说明，证明过程或演算步证明过程或演算步骤骤16 （本小题 13 分）解：选条件：( )( )( )xxfgh x；（）( )sin()cos6f xxx31(sincos )cos22xxx231sin coscos22xxx3111cos2sin22222xx311sin2cos2444xx11sin(2)264x，所以( )f x的最小正周期是7 分（）因为02x ，所以626x6，所以12sin(2)6x1，高三数学答案高三数学答案第第 2页（共页（共 8页）页）所以1211sin(2)264x14，当266x ，即0 x 时，( )f x有最小值1213 分选条件
3、：( )( )( )xxfgh x（）( )sin()cos6f xxx31(sincos )cos22xxx31sincos22xxsin()6x，所以( )f x最小正周期是27 分（）因为02x ，所以66x3，所以12sin()6x1，当66x，即0 x 时，( )f x有最小值1213 分17 （本小题 14 分）解： （）因为四棱锥PABCD中，2DABADC ，所以ABCD，因为ABPAB 平面，CDPAB 平面，所以CDPAB平面4 分（）因为CDPAD 平面，PAPAD 平面，所以CDPA，又因为2PAD，所以ADPA，因为CD ADABCD，平面，CDADD，所以PAABC
4、D 平面9 分（）存在，当M为线段PD中点时，理由如下：由（）可知，因为PAABCD 平面，ABABCD 平面，所以ABPA，高三数学答案高三数学答案第第 3页（共页（共 8页）页）又ADPA，ABAD，如图以点A为坐标原点，分别以AB AD AP，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则(0 0 0)A，(3 0 0)B，(2 2 0)C，(0 2 0)D，(0 0 2 3)P，设平面PBC的法向量为()nx y z， ，由00n BCn PB ，得2032 30.xyxz ，令3z ，所以(2 13)n ，设DMDP （01） ，则(0 222 3 )M，所以(0 222 3 )A
5、M ，直线AM与平面PBC所成角为，所以2422sincos22 21684AM nAMnAMn ，解得12，符合题意，所以当M为线段PD中点时，直线AM与平面PBC所成角的大小为414 分18.（本小题 13 分）解： （）由题可知，X的所有可能取值为0，10，40(0)10.80.2P X ；(10)0.8(10.5)0.4P X ；(40)0.80.50.4P X 所以X的分布列为X01040P0.20.40.46 分高三数学答案高三数学答案第第 4页（共页（共 8页）页）（）由（）知，()00.2100.4400.420E X 若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取
6、值为0，30，40(0)10.50.5P Y ；(30)0.5(10.8)0.1P Y ；(40)0.50.80.4P X ，所以( )00.5300.1400.419E Y 因为1920，所以小明应选择先回答A类问题13 分19.（本小题 15 分）解： （）因为右焦点为( 2 0)F，所以2c ，因为离心率63cea，所以3a ，222321bac，所以椭圆C的方程为2213xy5 分（）当直线PF垂直于x轴时，2 3|33MN （舍） 当直线PF不垂直于x轴时，设直线PF的方程为(2)yk x，由22(2)13yk xxy，整理得2222(13)6 2630kxk xk，设1122()(
7、)M xyN xy，由题意0 恒成立，所以21226 213kxxk，21226313kx xk，222121212|1|1()4MNkxxkxxx x22222222226 26312121()4131313(13)kkkkkkkk，解得1k ，高三数学答案高三数学答案第第 5页（共页（共 8页）页）所以直线PF的方程为(2)yx 因为A B，为椭圆C在y轴上的两个顶点，不妨设(0 1)(01)AB， ，因为0AP BP ，设()P m n，所以(1) (1)0m nm n，即221mn，即点P在以原点为圆心，半径为1的圆上法一： 因为原点到直线PF的距离22|2 |2 |111( 1)dk
8、 ，所以直线PF与圆221mn相切，所以90OPF法二：联立2221nmmn，解得2222mn ，即22()22P，或2221nmmn ，解得2222mn，即22()22P，因为0OP PF ，所以90OPF15 分20.（本小题 15 分）解：（）2222(1) e(1) (e )(21)2( )e )exxxxaxxaxxaxaxfx （(1)(2)exaxx因为(0)2f ，(0)1f 所以曲线( )yf x在点01（ ， ）处的切线方程为21yx.4分（）由（）知：(1)(2)( )xaxxfxe， （xR）高三数学答案高三数学答案第第 6页（共页（共 8页）页）因为0a ，令( )0
9、fx，所以1xa或2x ，当102a时，12a，则( )( )xfxf x，的变化情况如下表：当12a 时，12a，则( )0fx恒成立，( )f x在R内恒增；当12a 时，102a，则( )( )xfxf x，的变化情况如下表：综上， 当102a时， 单调递增区间是(2)，和1()a ， 单调递减区间是1(2)a，；当12a 时，单调递增区间是（-， + )，无单调递减区间；当12a 时，单调递增区间是1()a，和(2) ，单调递减是1(2)a，.10 分（）当1a时，令( )0fx，得1xa或2x ，易知1 1 0)a ，则( )( )xfxf x，的变化情况如下表：x(2)，21(2)
10、a，1a1()a ，( )fx00( )f x极大值极小值x1()a，1a1(2)a，2(2) ，( )fx00( )f x极大值极小值x1()a，1a1(2)a，2(2) ，( )fx00( )f x极小值极大值高三数学答案高三数学答案第第 7页（共页（共 8页）页）所以当1xa时，( )f x取得极小值1( )fa111eeaa 由于1a，则1 1 0)a ，1(0 1a，1e(1 ea，1e e 1)a ，所以由极小值定义及( )f x的单调性可知：当2x 时，( )ef x.接下来，研究( )f x在2x的变化情况.因为e0 x恒成立，设2( )1 (21)g xaxxxa ， ，对称
11、轴102xa，140a ，(2)140ga 所以由二次函数的性质可知：当2x时，( )(2)0g xg恒成立所以( )0f x 在2x时恒成立.综上所述：当1a时，( )ef x.15 分21.（本小题 15 分）解： （）数列na是“趋势递减数列”.因为na是单调递减数列，21221maxkkkkaaa，且1kk.所以数列na是“趋势递减数列”.数列nb是“趋势递减数列”.因为2122maxkkkkbbb，且1kk.所以数列nb是“趋势递减数列”.4 分（）当1q 时，数列 nc为单调递增数列，此时2122maxkkkccc，且222kkcc不满足题意；当1q 时，数列 nc为常数列，不满足
12、题意；当01q时， 数列 nc为单调递减数列， 此时21221maxkkkccc， 且2121kkcc，满足题意；高三数学答案高三数学答案第第 8页（共页（共 8页）页）当10q 时，此时2122maxkkkccc，且222kkcc，满足题意；当1q 时，此时2122maxkkkccc，且222kkcc，不满足题意；综上，q的取值范围为( 1 0)(0 1)，.9 分（）先证必要性：假设存在正整数(m m3)使得0md，120mmmddd，令12mmdda.因为1d，2d为正实数，且21nnnddd所以nd0，故a0，则数列nd从2nd开始以后的各项为00a aa a， ， ， ，当21k 2m 时212maxkkdda，2122maxkkdda，与nd为“趋势递减数列”矛盾，故假设不成立，nd的项中没有0.再证明充分性：21nnnddd得1maxn 2nnddd，因为nd的项中没有0，所以对于任意正整数n，0nd ，于是230kd，所以2122kkdd.当2122kkdd时，212221212maxmaxkkkkkddddd，当2122kkdd时，212222212maxmaxkkkkkddddd，所以nd为“趋势递减数列”.综上：nd为“趋势递减数列”的充要条件为nd的项中没有0. 15 分【若有不同解法，请酌情给分】【若有不同解法，请酌情给分】
