1、1北京市朝阳区北京市朝阳区 2021-2022 学年度第一学期期末质量检测学年度第一学期期末质量检测高三数学试卷答案高三数学试卷答案2022.1一、选择题： （本题满分 40 分）题号题号12345678910答案答案DADBCBCDAA二、填空题： （本题满分 25 分）三、解答题三、解答题： （本题满分 85 分）16.(本小题满分 13 分)解： （）3t时，5,12,13,abc此时ABC为直角三角形，所以5cos13aBc.6 分（）由题意可得，2221,(21)(4 )(41)cos0.2(21) 4ttttCtt即24120,1.ttt所以13,t tN.则2.t 此时三边为3,
2、8,9.abc所以2223891cos.23 86C 所以35sin.6C 所以1135sin3 82 35.226=ABCSabC .13 分17.（本小题满分 13 分）解： （） 由题意知， 样本中仅参加学业辅导的学生有25人， 仅参加体育锻炼的学生有18人，仅参加实践能力创新培养的学生有16人，未参加任何课后服务的学生有 14 人.故样本中至少参加了两类课后服务的学生有1002518161427人.所以从全校学生中随机抽取 1 人，题号1112131415答案102（结果不唯一）1225532垂直32该学生上个月至少参加了两类课后服务的概率估计值为270.27100.4 分（）X的所有
3、可能值为0,1,2,3.从样本中随机抽取 1 人，该学生上个月仅参加学业辅导的概率为251=1004，由此估计从全校学生中随机抽取 1 人，该学生上个月仅参加学业辅导的概率为14.00331127(0)( )(1)4464P XC，1231127(1)(1)4464P XC，2213119(2)( )(1)4464P XC，33311(3)( )464P XC.所以 X 的分布列为X0123P27642764964164故 X 的数学期望为2727913()0123646464644E X .10 分（）()( )D XD Y.13 分18. （本小题满分 14 分）解：（）证明：正方形ABC
4、D中，CDAB，CD 平面BAE，AB 平面BAE，所以CD平面BAE.5 分（）条件符合题意过点F作FODC于点O，过点O作OHDC且交AB于点H，连接AO因为平面CDE 平面ABCD，且平面CDE 平面ABCDCD，FODC，所以FO 平面ABCD所以FOOH以O为坐标原点， 分别以,OD OH OF所在直线为, ,x y z轴建立空间直角坐标系Oxyz因为CD平面BAE,CD 平面CDE，平面BAE 平面CDEEF，所以CDEF在四边形CDEF中，EDFC，=2EF，4CD ，所以=1OC，=3OD.在正方形ABCD中，4AB ，所以5AO 3因为AOFO，且3 3AF ，所以2FO 所
5、以(0,4,0)H，(3,0,0)D，(3,4,0)A,(2,0, 2)E,(0,0, 2)F所以(0,4,0)DA ，( 1,0, 2)DE ，( 1, 4, 2)AE ，(2,0,0)FE 设平面ADE的一个法向量为111( ,)x y zn由0,0,DADE nn得11140,20.yxz令11z ，所以( 2,0,1)n 设平面BAE的一个法向量为222(,)xyzm由0,0,AEFE mm得2222420,20.xyzx令21y ，所以(0,1,2 2)m 设平面ADE与平面BAE夹角为，则2 6cos = cos 0)ax ,的根的个数，即研究函数( )f x 2lnlnxxa(1
6、e 0)ax ,的零点个数.当1ea时，22eea，2244(2)lnln0eefa，则函数( )f x在(0,)上无零点.综上,当(1,e)a时，函数( )g x有且仅有一个零点.15 分21.（本小题满分 15 分）解： （）2(0,2),(1,1),(2,0)A ，2(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)B .4 分（）对任意12( ,)nna aaA，设1(1,2,3, )iibain，则12,nb bb均为非负整数，且(1,2,3, )iiab in令12( ,)nb bb，则121212(1)(1)(1)()2 ,nnnbbbaaaaaann所以nB，且.9 分
7、（）对任意12( ,)nna aaA，12(,)nnaaaA ，记1122(,)nnaaaaaa，6则1122,nnaaaaaa均为非负整数，且11221212(,)()(2()nnnnaaaaaaaaaaanann所以nB，且, 设集合nA中的元素个数为t，设12,ntA 设集合(,)|1,2, ,1,2, niijTit jt 对任意inA（1,2,it） ，都有12,iiitnB ，且,1,2,iijjt所以nnTS若( , )nS ，其中12( ,)nna aaA，12( ,)nnb bbB，设iiicba（1,2,in） ，因为iiab，所以0iiicba，记12( ,)nc cc，则1211221212()()()()()2,nnnnncccbabababbbaaannn所以nA，并且有，所以( ,)nT ，所以nnST所以nnST因为集合nT中的元素个数为2t，所以nS中的元素个数为2t，是完全平方数.15 分
