1、固体物理学固体物理学周 健2011.02.202011-2012学年第二学期第一章 晶体的结构及其对称性1.3 倒点阵一、点阵傅里叶变换、倒点阵实空间 - 倒空间一个物理问题，可以在实空间（坐标空间）描述，也可以在倒空间（动量空间、波矢空间）描述。量子力学的坐标表象和动量表象。实空间和倒空间是可以通过傅里叶变换转换的。正点阵：晶体正空间的性质，可以由晶体的点阵来描述。平移矢量描述了所有的结点，而空间密度函数则用数学形式把点阵表示出来了：将正点阵做傅里叶变换：我们定义倒空间的三个基矢：有了倒空间的基矢，那么其中的矢量k可以表示为基矢的线性组合：同时实空间的正格矢Rl:这里的k1,k2,k3可以不
2、为整数，k矢量是倒空间的任意矢量。而正格矢是离散的，不能任意取。两者的内积：(利用到基矢的正交性)把两者的内积代入前面的傅里叶变换公式：这里的h必须为整数，所以其中的大Kh矢量为：很显然，我们得到的正点阵的傅里叶变换也是多个函数之和。这个和正空间的表达形式非常相似。只不过倒空间，只有当 k=Kh 时候才会非零数值。而在实空间，是在Rl处密度不为零。我们把有Kh表达式所决定的点阵称为正点阵的倒点阵。把 称为倒点阵的基矢。由这三个基矢围城的平行六面体称为倒点阵的初基元胞，它们的体积为：每个倒点阵的初级元胞只含有一个倒结点。每个晶体结构都有两个点阵：正点阵和倒点阵。倒点阵是正点阵的傅里叶变换。二 倒
3、点阵的性质1. 正点阵、倒点阵的基矢相互垂直类似可以得到其它6个乘积，最后综合得到：另外，假设正点阵和倒点阵的基矢分别用矩阵A和B表示，那么上述的正交性可以写成：利用伴随矩阵的定律（其中A*是A的伴随矩阵）。而伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置。所以可以得到B矩阵的形式：A的代数余子式矩阵除以A的行列式，再乘以2pi：同时，正格矢和倒格矢内积满足(n为整数)：2.倒点阵元胞体积反比于正点阵元胞体积由倒格矢求出倒点阵元胞体积：3. 正点阵是它本身倒点阵的倒点阵。A为正点阵矩阵，B为倒点阵的矩阵。同时假设C为倒点阵B的倒点阵。利用正交性：4. 布里渊区 （Brillouin zone）前面我们提到，由
4、倒格矢围成的平行六面体为倒点阵的初基元胞。但一般我们很少用这种取法。通常我们采用倒点阵的WS元胞。倒点阵的WS元胞，就是倒点阵的第一布里渊区。倒点阵的WS元胞取法和正点阵的完全一样。首先要画出倒点阵。然后去一个结点为原点，做它到其最近邻连线的中垂面。所有中垂面围成的体积就是倒点阵的WS元胞，也就是第一布里渊区。XCrySDen5. 倒点阵保留了正点阵的全部宏观对称性设g是正点阵的一个点群操作，Rl为正格矢，g Rl也是正格矢，其逆操作对Rl作用后也是正格矢。操作后的R矢量如果满足下面关系，那么说明操作后仍然是正格矢：6. 正点阵的一族晶面（h1 h2 h3）垂直于倒格矢Kh，且晶面间距为：对于互质的晶面指数（h1 h2 h3）的晶面，它与坐标轴的交点为：7.正点阵的周期函数V(r)=V(r+R),可以按倒格矢Kh展开为傅里叶级数：对公式 两边乘以 ，然后再正点阵初基元胞内积分：很容易计算得到：积分得到例子1.证明fcc点阵和bcc点阵互为倒点阵2. 求立方晶系晶面族(hkl)的晶面间距，并求（111）和（100）的晶面夹角面间距小结倒格矢定义和基本性质布里渊区正点阵的周期函数的傅里叶级数展开谢 谢
