1、 第四章第四章 地球椭球数学投影的基本理论地球椭球数学投影的基本理论 主讲人：丁士俊主讲人：丁士俊 武汉大学测绘学院武汉大学测绘学院 4.1 地球椭球基本参数及其互相关系地球椭球基本参数及其互相关系 4.2 椭球面上常用坐标系及其关系椭球面上常用坐标系及其关系 4.3 椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径 4.4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算 4.5 大地线大地线 4.6 将地面观测值归算至椭球面将地面观测值归算至椭球面 4.7 大地测量主题解算概述大地测量主题解算概述 4.8 地图数学投影变换的基本概念地图数学投影变换的基本概念 4.9 高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系
2、4.10 横轴墨卡托投影和高斯投影簇的概念横轴墨卡托投影和高斯投影簇的概念 4.11 兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述本章的主要内容本章的主要内容4.1地球椭球基本参数及其互相关系地球椭球基本参数及其互相关系4.1.1地球椭球基本几何参数地球椭球基本几何参数 n 在第三章讨论了地球的重力常与地球的形状的基本理论，旋在第三章讨论了地球的重力常与地球的形状的基本理论，旋转椭球体代表地球的规则形状，具有一定的几何参数、定位及转椭球体代表地球的规则形状，具有一定的几何参数、定位及定向，并与某一地区大地水准面最佳拟合的地球椭球称之为定向，并与某一地区大地水准面最佳拟合的地球椭球称之为参参考椭球考椭球，与之相
3、对的，与之相对的地球总椭球（体）地球总椭球（体）。n 在经典大地测量（或控制测量）中，地面上所有观测数据都在经典大地测量（或控制测量）中，地面上所有观测数据都应归算到参考椭球面上，并在参考椭球面上进行计算，故应归算到参考椭球面上，并在参考椭球面上进行计算，故参考参考椭球面是大地测量计算的基准面椭球面是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地同时又是研究地球形状和地球投影的参考面球投影的参考面。 子午线子午线：包含旋转轴的平面与椭球相交的的椭园：包含旋转轴的平面与椭球相交的的椭园 平行圈平行圈：垂直于旋转轴与椭球相交的园（纬圈）：垂直于旋转轴与椭球相交的园（纬圈） 赤赤 道道：过椭球的中心
4、的平行圈。：过椭球的中心的平行圈。n 地球椭球是选择的旋转椭球地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小常用子旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数午椭圆的五个基本几何参数(或称几何元素或称几何元素): aba 长半轴长半轴短半轴短半轴椭圆的扁率椭圆的扁率椭圆的第一偏心率椭圆的第一偏心率椭圆的第二偏心率椭圆的第二偏心率n通常采用通常采用a , 两元素计算其它元素两元素计算其它元素。abae22bbae222eeen为简化书写常引入以下符号为简化书写常引入以下符号BeBtbac2222cos tg cos1 sin12222BeVBeW地球椭球基本参数地球椭球基本参数(续续)地球
5、椭球基本参数地球椭球基本参数( (续续) )n传统大地测量推求地球椭球的几何参数是采用天文大地测量与传统大地测量推求地球椭球的几何参数是采用天文大地测量与重力测量资料。重力测量资料。19世纪以来，世界各国已经推求出许多地球椭世纪以来，世界各国已经推求出许多地球椭球参数，比较著名的球参数，比较著名的贝塞尔椭球（贝塞尔椭球（欧洲欧洲1841）、）、克拉克椭球克拉克椭球（英国英国1866）、）、海福特椭球海福特椭球（美国（美国1910）、）、克拉索夫斯椭球克拉索夫斯椭球（1940前苏联）等。前苏联）等。20世纪世纪60年以来，空间大地测量为研究地球年以来，空间大地测量为研究地球形状和地球引力场开辟了
6、新的途径。国际大地测量和地球物理形状和地球引力场开辟了新的途径。国际大地测量和地球物理联合会联合会IUGG以推荐了更精确的椭球参数（如以推荐了更精确的椭球参数（如1975国际椭球国际椭球）。克拉索夫斯椭球克拉索夫斯椭球1975国际椭球国际椭球WGS84椭球椭球CGCS2000a6378245.0006378140.0006378137.0006378137.000e20.0066934216229660.0066943849995880.006694379990130.00669438000290n其它元素与基本元素的关系其它元素与基本元素的关系: :4.1.2 地球椭球参数间的相互关系地球椭
7、球参数间的相互关系椭球基本参数及其互相关系椭球基本参数及其互相关系(续续)222222221 11 11 11 1eVWeWVeeeeeeecaeaceabeba22222222 bbaeabae22222222222)1 (1)1 (sin1)(1)(1WeVVeBeWWbaeWVVabeVW 1 1222222baeabe1)(1(1 1 122222222eeeeeeee2222e4.2 椭球面上常用坐标系及其关系椭球面上常用坐标系及其关系4.2.1 各种坐标系的建立各种坐标系的建立椭球面上常用坐标系及其关系椭球面上常用坐标系及其关系1、大地坐标系（纬度、大地坐标系（纬度B 、经度、经度
8、L、 大地高大地高H）n 大地坐标是大地测量的基本坐标系，具有如下有点：大地坐标是大地测量的基本坐标系，具有如下有点：1）它是全球统一的坐标系。经纬线是地图的基本线，故在测量）它是全球统一的坐标系。经纬线是地图的基本线，故在测量与制图中应用这种坐标系；与制图中应用这种坐标系；2）它与同一点天文坐标比较可以确）它与同一点天文坐标比较可以确定该点的垂线偏差。所以大地坐标系在大地测量计算，地球形状定该点的垂线偏差。所以大地坐标系在大地测量计算，地球形状的研究与地图编制等方面应用广泛。的研究与地图编制等方面应用广泛。大地纬度的定义；大地纬度的定义；大地经度的定义；大地经度的定义；大地高的定义；大地高的
9、定义；大地高与正高和正常高的关系。大地高与正高和正常高的关系。 坐标原点坐标原点位于总地球椭球位于总地球椭球( (或参考椭球中心或参考椭球中心) )质心；质心；Z Z轴轴与地球与地球平均自转轴相重合，指向某一时刻的平均北极点；平均自转轴相重合，指向某一时刻的平均北极点；X X轴轴指向平均指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点G G；Y Y轴轴与与XYXY平面垂直，且指向东为正，构成右手坐标系。平面垂直，且指向东为正，构成右手坐标系。 椭球面上常用坐标系及其关系椭球面上常用坐标系及其关系(续续)空间直角坐标系分为空间直
10、角坐标系分为地心空间直角系地心空间直角系与与参心空间直角坐标系参心空间直角坐标系。2、空间直角坐标系、空间直角坐标系3、子午面、子午面直角坐标系直角坐标系 设设 P 点的大地经度为点的大地经度为 L，在过在过 P 点的子午面上，以子午圈点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立椭圆中心为原点，建立 x, y 平面直角坐标系。在该坐标系中，平面直角坐标系。在该坐标系中，P点在椭球面上的位置用点在椭球面上的位置用( L, x, y )表示。表示。 椭球面上常用坐标系及其关系椭球面上常用坐标系及其关系(续续)yx4、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系地心纬度坐标系及归化纬度坐标系 设椭球面上设椭球面上
11、P 点的大地经度点的大地经度 L ，在在 P 点子午面上以椭圆中心点子午面上以椭圆中心O为原为原点建立点建立地心纬度坐标系地心纬度坐标系，椭球上点与椭球中心的连线和，椭球上点与椭球中心的连线和 x 轴的夹角为轴的夹角为地心纬度地心纬度 ，点的位置以，点的位置以 表示表示 ; 以椭球长半径以椭球长半径 a 为半径作辅助圆，延长为半径作辅助圆，延长 PP 与辅助圆相交与辅助圆相交 P点，点，则则 OP与与 X 轴夹角称为轴夹角称为 P 点的点的归化纬度归化纬度u，点的位置以，点的位置以 表示。表示。椭球面上常用坐标系及其关系椭球面上常用坐标系及其关系(续续)、 LuL、椭球面上常用坐标系及其关系椭
12、球面上常用坐标系及其关系(续续)5、大地极坐标系大地极坐标系 M 是椭球面上一点，是椭球面上一点，M N 是过是过 M 的子午线，的子午线，S 为连接为连接 M P 的的大大地线地线长，长，A 为大地线为大地线 M P 在在 M 点的大地方位角。点的大地方位角。 以以M为极点，为极点，MN为极轴，为极轴，P点极坐标为（点极坐标为（S, A）。）。椭球面上常用坐标系及其关系椭球面上常用坐标系及其关系(续续)4.2.2 坐标系之间的相互关系坐标系之间的相互关系n子午平面坐标系同大地坐标系的关系子午平面坐标系同大地坐标系的关系 ctgBBtgdxdy)90(0yxabdxdy22WBaBeBaxco
13、ssin1cos22) 1 ( 12222byax) 2 ( )1 (222yxeyxabctgBtgBexy)1(2椭球面上常用坐标系及其关系椭球面上常用坐标系及其关系(续续) 令 Pn=N，则可得到VBbBeWaBeBeaysinsin)1 (sin1sin)1 (2222cosxNBWaNBeNysin)1 (2BPQysin)1 (2eNPQ2NeQn WBaBeBaxcossin1cos22 因为因为l上述两式表明椭球面任意点法线在赤道两侧的长度上述两式表明椭球面任意点法线在赤道两侧的长度。椭球面上常用坐标系及其关系椭球面上常用坐标系及其关系(续续)nH0BeNLBNLxYLBNLx
14、X)sin(1Zsincossincoscoscos2y,LxY,LxX Zsin cosBHeNLBHNLBHNZYXsin)1 (sincos)(coscos)(2l空间直角坐标系同大地坐标关系空间直角坐标系同大地坐标关系n在椭球面上的点：在椭球面上的点：n不在椭球面上的点：不在椭球面上的点：l空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系BsinLsinBcosLcosBcosn椭球面的参数方程椭球面的参数方程1 空间直角坐标与大地坐标关系（推导方法空间直角坐标与大地坐标关系（推导方法2）BeNLBNLxYLBNLxX)sin(1Zsincossincoscos
15、cos2n椭球面空间直角坐标与大地纬度的关系椭球面空间直角坐标与大地纬度的关系：椭球面的参数方程椭球面的参数方程1)0 coscos sin(cosLBLBnL)cos sinsin cos(sinBLBLBnBBLBLBnnnLBsinsincoscoscos常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系(续续)BcosNeOQ22(1)sinzHNeBBsinNePPOK P22222YXXarccosLYXYarcsinLXYarctgLZBcosNeYXctgB222l由空间直角坐标计算相应大地坐标由空间直角坐标计算相应大地坐标(迭代法迭代法)因为因为故有故有）（21 eNBsinZH222YX
16、BsinNeZtgBBcosNeOQ2NBcosYXH22)1 (2eNQP或者或者常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系(续续)n迭代法求解关键是如何求解迭代法求解关键是如何求解B?BtgBcos2211n为了迭代法方便起见，将上式转换为同名三角函数。为了迭代法方便起见，将上式转换为同名三角函数。BcosecVcN221222sinYXBNeZtgBBtgeYXtgBceYXZYXBNeYXZtgB22 22222222221sinn令令220YXZtgB则则iiiBtgeYXtgBaeYXZtgB22222221)1 (1n直到直到iiBB1迭代结束迭代结束。常用坐标系及其关系常用坐标系及其
17、关系(续续)tgBabtgBetgu21aucosYXH, businZH22 （4）计算大地高）计算大地高22usinbZucosarHn 计算范例计算范例 已知数据：已知数据：m.H,.B,L 9987999999 9999595944 45m.Z,m.Y,m.X4245194534 4683694472 4683694472 计算结果：计算结果：NBcosYXH22）（21 eNBsinZH 直接解算，参见熊介编著直接解算，参见熊介编著椭球大地测量学椭球大地测量学 34223422ybbaxabax(X,Y)OBP (x, y)ZBrZO P 点在椭球面上，点在椭球面上，O是子午圈在是子
18、午圈在P点的曲率中心。由高等数学可知，点的曲率中心。由高等数学可知，曲率中心点坐标为曲率中心点坐标为 siny cosubuaxuaerubeZrZtgB3232 cossin)1(2erZtgBtgBerZrBNeZYXBNeZtgB22222sinsin sin cos32 32ubeuae由图可知：由图可知：如果点在椭球面上，则有：如果点在椭球面上，则有：utguutguu21/1cos cossin22221)1 (Z1 1erZeretgBetgu如果点不在椭球面上，则有：如果点不在椭球面上，则有：032032 cossinuaerubeZrZtgB201erZtgu02011cos
19、utgu000cossinutguu r0PP0Z0Zru0o上述结论推到如下：上述结论推到如下：如果顾及如果顾及00rzrZ2 01erZtguuraetguetgusin)1 (2022002020000)(sin21)(sinsinsintgutgutgududtgutgudtguuduu显然可知显然可知u0是是P0点的归化纬度。点的归化纬度。引入新的辅助函数引入新的辅助函数则有则有即即200400030)(cossin23)(cossinsintgutguuutgutguuuutuaeruaeertgutgu03203220cossin)1 (经过整理得到经过整理得到2 021 1er
20、ZtgutgBetgu20320321cossinetuaerubeZtgB常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系(续续) 直接解算法计算公式，参见熊介编著直接解算法计算公式，参见熊介编著椭球大地测量学椭球大地测量学2222222 1 1YXr,eab,eee已知椭球已知椭球a、e2，空间直角坐标空间直角坐标X、Y、Z，计算大地坐标，计算大地坐标B、L、H（1）计算辅助量）计算辅助量（2）计算大地经度）计算大地经度2222 YXXcosarL ,YXYarcsinL,XYarctgL（3）计算大地纬度）计算大地纬度201erZarctgu )tg(11222BertgBaerZarctgB tg
21、022022ucosaerusinbeZB椭球面上常用坐标系及其关系椭球面上常用坐标系及其关系(续续) B、u、之间的关系之间的关系 B和和u之间的关系之间的关系 ubyuaxsin cosBWeusin1sin2BWucos1cos uVBsinsinuWBcoscosVBbBeWayBWaxsinsin)(1cos2tgBetgu21uexytg12xytgue tg1tg2tgBetg)1 (28.11)(9.5)(9.5)(maxmaxmaxBuuB uB椭球面上常用坐标系及其关系椭球面上常用坐标系及其关系(续续)l U、 之间的关系之间的关系l 、之间的关系之间的关系n 大地纬度、地
22、心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当算，当B=45时时 椭球面空间直角坐标与大地纬度、归化纬度、地心纬度的关系椭球面空间直角坐标与大地纬度、归化纬度、地心纬度的关系ueauVeNBeNLubYLuaXsin1sin)(1)sin(1Zsinsincoscos222BeNLBNLxYLBNLxX)sin(1Zsincossincoscoscos2n椭球面空间直角坐标与大地纬度的关系椭球面空间直角坐标与大地纬度的关系：n椭球面空间直角坐标与大地归化纬度的关系椭球面空间直角坐标与大地归化纬度的关系椭球面的参数方程椭球面的参数方程1椭球面的参数
23、方程椭球面的参数方程2n椭球面空间直角坐标与大地地心纬度的关系椭球面空间直角坐标与大地地心纬度的关系12222byaxsiny222cos11eeacosxsincos11222eeaycoscos11222eeaxLeeaYsincoscos11222LeeaXcoscoscos11222sincos11222eeayZ椭球面的参数方程椭球面的参数方程3椭球面上常用坐标系及其关系椭球面上常用坐标系及其关系(续续)4.2.3 站心地平坐标系站心地平坐标系n 定义：定义：站心地平坐标系是以测站的法线（或垂线）和大地站心地平坐标系是以测站的法线（或垂线）和大地子午线（或天文子午线）为依据的坐标系，
24、以测站点子午线（或天文子午线）为依据的坐标系，以测站点 P 为原为原点，以点，以 P 点法线或垂线为点法线或垂线为 Z 轴，以大地子午线或天文子午线轴，以大地子午线或天文子午线为为 X 轴，指北为正，轴，指北为正，Y 轴与轴与 XZ 平面垂直，向东为正。平面垂直，向东为正。n 表示方法：表示方法：Q点在站心坐标系中一般用点在站心坐标系中一般用 Q( x , y, z )表示，也表示，也可以用斜距离可以用斜距离 d、大地方位角、大地方位角 A 或天文方位角或天文方位角 a 以及大地天以及大地天顶距顶距 Z 或天文天顶距来表示。其两者的坐标关系为：或天文天顶距来表示。其两者的坐标关系为：222 s
25、insincossinzyxdxytgdzZcosZcosdzZdyZdx椭球面上常用坐标系及其关系椭球面上常用坐标系及其关系(续续)n(垂线垂线）站心地平坐标系与空间直角坐标的关系站心地平坐标系与空间直角坐标的关系PQPQPQPQZZYYXXnscossinzyxsisincocoscos0cossinsincossinPQPPPQQQzyxZYXZYXsin0cossincoscossinsincoscossincossinn上述坐标关系在三维网平差中应用广泛，在第上述坐标关系在三维网平差中应用广泛，在第五章大地测量数据处理模型中经常使用，参见后五章大地测量数据处理模型中经常使用，参见后续
26、章节内容。续章节内容。本节作业与思考题：本节作业与思考题：1）大地高、正常高、大地水准面差距、高程异常之间有何关系？2）子午平面直角坐标系是如何定义的？地面上的点在该坐标系中如何表示？推导子午平面直角坐标系与大地纬度的关系式？3）掌握空间直角坐标与大地坐标关系的建立过程，编写两坐标相互转换的计算程序。4.3 椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径 dBdSM 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径子午圈曲率半径子午圈曲率半径 为了在椭球面上进行控制测量计算，就必须了解椭球面上有关曲线的性质。 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作 法截面法截面，法截面与椭
27、球面的交线叫法截线。显然包含椭球面上一点的法线，可以作无数多个法截面和法截线，其中有两条特殊的法截线即子午线与卯酉线子午线与卯酉线。BdxdSsinBdBdxMsin1WBaxcos2cossinWdBdWBBWadBdxWBBedBBeddBdWcossinsin1222)1 (sin23eWBadBdx椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径因为因为故有故有23(1)aeMW椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径另一种计算方法（补充）另一种计算方法（补充）)(xfy由高等数学可知已知某曲线方程 ，则曲线任意点的曲率半径 在旋转椭球体子午面内，子午线曲线方程可由直角坐标来描述：2 2/32
28、)1(yykBeNyBNxsin)1 (cos2ubyuaxsincos也可采用大地纬度或归化纬度的参数方程来加以表达 12222byax以归化纬度为参数的以归化纬度为参数的参数方程为例：参数方程为例：对该参数方程求导一阶和对该参数方程求导一阶和二阶导数，即得到二阶导数，即得到 ctguabdxdududydxdyuabdxdududxdydxdyd2222sin)(abubuadxyddxdyk322222232)cossin()(1 (大地纬度与归化纬度的关系满足大地纬度与归化纬度的关系满足 BWeusin1sin2BWucos1cos32323222)1 ()cossin(WeaaWba
29、bubuak椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径23(1)aeMW3VcM 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径BM说说 明明在赤道上，在赤道上，M 小于小于赤道半径赤道半径a在此间在此间 M 随纬度的随纬度的增大而增大；增大而增大；在极点上，在极点上，M 等于等于极点处曲率半径极点处曲率半径 c00B090BcMea)1 (23220)1 (1eceaM00900 BceaM21卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径(N)(N) 卯酉圈卯酉圈: : 过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合圈称一
30、个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合圈称为卯酉圈为卯酉圈。 麦尼尔定理麦尼尔定理: : 假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，另一条为斜假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，另一条为斜截弧，在该点上两条截弧具有公共切线，则斜截弧在该点处的曲截弧，在该点上两条截弧具有公共切线，则斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。BNrcos椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径WBarxcosWaN BrBPONPncoscos结论：结论：卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径N等于法线介于椭球面与短轴之间的长度
31、。等于法线介于椭球面与短轴之间的长度。l 卯酉圈曲率半径的特点卯酉圈曲率半径的特点: : 卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度，卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度，即卯酉圈的曲率即卯酉圈的曲率中心位在椭球的旋转轴上。中心位在椭球的旋转轴上。 BM说说 明明卯酉圈变为赤道卯酉圈变为赤道，N为赤道半径为赤道半径a在此间在此间 N 随纬度随纬度的增大而增大；的增大而增大；卯酉圈变为子午卯酉圈变为子午圈，圈，N 等于极点等于极点处曲率半径处曲率半径 c椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径00B00900 B090B201ecaNcNaceaN2901主曲率半径的计
32、算主曲率半径的计算 以上讨论的子午圈曲率半径以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径及卯酉圈曲率半径N，是两是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主称为主曲率半径曲率半径。23222)1)(1 (BsineeaM2122)1(BsineaNBmBmBmBmmM886644220sinsinsinsinBnBnBnBnnN886644220sinsinsinsin椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径将上述两式按将上述两式按牛顿二项式展开牛顿二项式展开：6284262240222089674523)1(memmemmemmemea
33、m628426224022087654321nennennennenan椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径n M、N 两主曲率半径正弦函数幂级数展开式的系数两主曲率半径正弦函数幂级数展开式的系数: 2322)cos1 (BecM2122)cos1 (BecNBmBmBmBmmM886644220coscoscoscosBnBnBnBnnN886644220coscoscoscos椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径n M、N 两主曲率半径展开为余弦函数函数的幂级数形式：两主曲率半径展开为余弦函数函数的幂级数形式： 1011) (89674523)1 (/821062842622402
34、220memmemmemmemmemeacm109) (876543211/821062842622402220nennennennenneneacn椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径n M、N 两主曲率半径余弦函数幂级数展开式的系数分别为：两主曲率半径余弦函数幂级数展开式的系数分别为： 任意法截弧的曲率半径任意法截弧的曲率半径 NAMARA22sincos1AMANMNRA22sincos21 VMNABeNANRA22222coscos1cos1椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径尤拉公式：尤拉公式： 任意法截弧的曲率半径的变化规律任意法截弧的曲率半径的变化规律: : 不仅与点的
35、纬度不仅与点的纬度B 有关，而且还与过该点的法截弧的方位有关，而且还与过该点的法截弧的方位角角A有关。有关。 当当0时，变为计算子午圈曲率半径的，即时，变为计算子午圈曲率半径的，即； 当当 A90时，为卯酉圈曲率半径，即时，为卯酉圈曲率半径，即。主曲率。主曲率半径半径M及及N分别是分别是的极小值和极大值。的极小值和极大值。 当当 A 由由 090时，时，之值由之值由，当，当 A 由由 90-180时时,值由值由 N，可见，可见 值的变化是以值的变化是以 90为周期且为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。与子午圈和卯酉圈对称的。 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径l 平均曲率半径平均曲率半径 平
36、均曲率半径是指经过曲面任意一点所有方向上的法截线曲平均曲率半径是指经过曲面任意一点所有方向上的法截线曲率半径率半径 R A 的算术平均值。的算术平均值。 n 结论：结论：椭球面上任意一点的平均曲率半径椭球面上任意一点的平均曲率半径 R 等于该点子午等于该点子午圈曲率半径圈曲率半径 M和卯酉圈曲率半径和卯酉圈曲率半径 N 的几何平均值。的几何平均值。 MNR 22221 eWaVNVcWbRdAAMANMNdARdARRAA20222020sincos2242120222022)(1cos21cos2dAtgANMA/NMMNdAAtgNMAMR积分变量代换，令积分变量代换，令tgANMdt M
37、NarctgtMNtdtMNR002212dAANMdt2cos1椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半椭球面上几种曲率半径径 M，N，R的关系的关系 曲率半径曲率半径NRM 公式公式MRNcMRN9090901Vc2Vc3Vc2321Wea221WeaWea0114.4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算MdBdXBMdBX0BsinmBsinmBsinmBsinmmM886644220n子午线弧长计算公式子午线弧长计算公式 椭球面上的弧长计算也椭球体有关的计算内容之一，在高斯椭球面上的弧长计算也椭球体有关的计算内容之一，在高斯投影以及弧度测量计算中往往要用到子午线及平
38、行圈弧长计算投影以及弧度测量计算中往往要用到子午线及平行圈弧长计算，下面推到它们的计算公式。，下面推到它们的计算公式。椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算BBBBBBBBBBBBBB8cos12816cos1614cos3272cos16712835sin6cos3214cos1632cos3215165sin4cos812cos2183sin2cos2121sin8642BaBaBaBaaM8cos6cos4cos2cos86420BaBaBaBaBaX8sin86sin64sin42sin286420n 子午线弧长计算公式：子午线弧长计算公式：n 将三角
39、函数的幂级数化为倍角函数将三角函数的幂级数化为倍角函数：12816323271638167321522128351653288866864486422864200mammammmammmmammbmmma椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径n 如果以如果以 B90代入，则得子午椭圆在一个象限内的弧长约为代入，则得子午椭圆在一个象限内的弧长约为10 002 137m。旋转椭球的子午圈的整个弧长约为旋转椭球的子午圈的整个弧长约为40008 549.995m。即一象限子午线弧长约为即一象限子午线弧长约为10000km，地球周长约为地球周长约为40000km。n 求子午线上两个纬度求子午线上两个纬
40、度B及及B间的弧长，只需按公式分别算出相间的弧长，只需按公式分别算出相应的应的X及及X，而后取差而后取差XXX，该，该X 即为所求的弧长。即为所求的弧长。n由子午弧长求大地纬度由子午弧长求大地纬度)sinsinsin(cos0530320100ffffffBKBKBKBBB01/ aXBf01/)(aBFXBifififififififBaBaBaBaBF8sin86sin64sin42sin2)(8642椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算l迭代解法迭代解法2（直接解法）（直接解法）:0043442444132328642aXBKKKf4321, 221223 121111111112111
41、1111,n,nnnnnnnnnl迭代解法迭代解法1: )1 (66 , )1 (44)1 (22 , )1 (26242220eaDaeaCaeaBaeAaa 13107231185204831551235 1638410395409622052561056415 655367276520482205512525161543 655364365916384110252561756445431108610864108642108642eeeDeeeeCeeeeeBeeeeeA椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算请参见陈建、晁定波编著请参见陈建、晁定波编著椭球大地测量椭球大地测量。椭球面上的弧长
42、计算椭球面上的弧长计算l 子午线弧长和平行圈弧长变化的比较子午线弧长和平行圈弧长变化的比较n 平行圈弧长公式平行圈弧长公式 lBcosNS4.5 大地线大地线2211sinsinBnQOnBnQOnbbaa222121sinsinBeNOnBeNOnba大地线大地线由图可知：当B2B1时，OnbOna，即某点的纬度越高，其法线与短轴的交点就越低，则法截线BbA偏上，法截线AaB偏下。l相对法截线相对法截线l大地线的定义：大地线的定义：椭球面上两点间最短程的曲线叫大地线。在微分几何中，大地线定义为：“大地线上每点的密切平面（无限接近的三个点构成的平面，及切线与主法线构成的平面）都包含该点的曲面的
43、法线，即大地线上各点的主法线与该点曲面法线重合”。正法截线与反法截线的概念：正法截线与反法截线的概念：n 根据上述性质， A B 方向在不同的象限时，其正反法截线（相对法截线 ）的关系如下图1所示。当A，B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一。 大地线大地线n 正反法截线彼此不重合，两点间对向观测不是沿同一方向。由此由椭球面上A、B、C三个点由正法截线所测得角度将不能构成闭合三角形如图2。图1图2图331大地线大地线n 大地线的性质大地线的性质:u在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向与距离。u大地长度与
44、法截线长度之差只有百万分之一毫米，长度差异可忽略,方向之差在一等三角测量中可达到千分之一秒，因此方向差异不可忽略，需要进行方向改化。 u大地线是两点间唯一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角满足 大地线的微分方程和克莱劳方程大地线的微分方程和克莱劳方程n大地线的微分方程和克莱劳方程大地线的微分方程和克莱劳方程 BdLNppcos2 大地线的微分方程是研究大地线长度 的变化量dS与大地经纬度dL、dB和大地方位角dA的关系。 假设 P为大地线上任意一点，其经度为L，纬度为B，大地线方位角为A。当大地线增加 dS 到 P1点时，则上述各量的变化量为 dL、 dB、d
45、A。由图可知： MdBpp12 三角形PP2P1 是一微分直角三角形，由该三角形可得到：AdSMdBcosdSMAdBcosAdSBdLNsincosdSBNAdLcossin)sin(sinsindBBdLdABdLdAsintgBdSNAdAsincos(90)sinsin(90(90)dAdLB dB大地线的微分方程大地线的微分方程上述三个关系式称为大地线微分公式大地线微分公式，它们在解决与椭球体有关的一些测量计算中经常被应用。n 根据子午线微分长度可得：n 根据平行圈微分长度可得：n 由由椭球面直角三角公式可得：大地线的克莱劳方程大地线的克莱劳方程BNrcosdSMAdBcostgBd
46、SNAdAsinBNBdBMAAdAcossincossinCrAlnlnsinlnCArsin大地线的克莱劳方程大地线的克莱劳方程 克莱劳定理表明克莱劳定理表明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。式中常数C 也叫大地线常数。BdBsinMdrctgAdArdr大地线克莱劳方程大地线克莱劳方程(续续) 1）当大地线穿越赤道时，）当大地线穿越赤道时，B=0， r=a，A=A0.， 则有则有 minaCarcsinA00sinAaC min90sin0CCr2112sinsinAArrCABNsincosCAuasincosl 大地线意义可以从如
47、下两方面理解：大地线意义可以从如下两方面理解：2）当大地线达极小平行圈时，）当大地线达极小平行圈时，B=90O，则有，则有： 由克莱劳方程可以表示为：由克莱劳方程可以表示为：CArsin4.6 将地面观测值归算至椭球面将地面观测值归算至椭球面 地面观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。 归算的两条基本要求：归算的两条基本要求： 以椭球面的法线为基准；以椭球面的法线为基准； 将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。n 地面观测的水平方向归算至椭球面地面观测的水平方向归算至椭球面 将水平方向归算至椭球
48、面上，包括垂线偏差改正垂线偏差改正、标高差标高差改正改正及及截面差改正截面差改正，习惯上称此三项改正为三差改正三差改正。 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面垂线偏差改正垂线偏差改正 以测站A为中心作出单位半径的辅助球,u 是垂线偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别以,表示，M 是地面观测目标m在球面上的投影。垂线偏差对水平方向的影响是(R-R1) 11tg)cossin(ctg)cossin(mmmmuAAZAA地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面(续续)l标高差改正标高差改正 1222 22 2sincos2ABMHehaHH常2地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面
49、(续续)产生的原因产生的原因 标高差改正又称为照准点高度而引起的改正。水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，所引起的偏差改正即为标高差改正。 改正公式（改正公式（AbAb)当当B B2 2=45,=45,A A1 1=45,H=45,H2 2=200M,=200M,h h=0.01=0.01秒秒 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面(续续)l截面差改正截面差改正 在椭球面上，纬度不同的两点由于其法线不共面，对向观测时相对法截弧不重合，应当采用两点间大地线代替相对法截线，将法截弧方向化为大地线方向，其改正为截面差改正截面差改正。112
50、21 2 2 2sincos)(12ABNSeg当当S S =30km=30km，截面差大约为，截面差大约为g=g=0.0070.007秒秒。n 地面观测的长度归算至椭球面地面观测的长度归算至椭球面l 基线尺量距的归算基线尺量距的归算 将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，可以认为它是基线平均高程面上的长度，以S表示，现要把它归算至参考椭球面上的大地线长度S。 1 1）垂线偏差对长度归算的影响）垂线偏差对长度归算的影响 )(22122121HHuuhuuSu地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面(续续)注意：垂线偏差对基线长度归算的影响其数值较小，此项改正根据实际情况与计算精度决定。2）
