1、习题课一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其应用 第五五章 三、定积分的应用三、定积分的应用一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法1. 用定积分概念与性质求极限2. 用定积分性质估值3. 与变限积分有关的问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求.d1lim10 xeexxxnn解解: 因为 1,0 x时,xxneex10所以xeexxxnd1100 xxnd1011n利用夹逼准则得0d1lim10 xeexxxnn,nx1)
2、思考例1下列做法对吗 ?利用积分中值定理eenn1lim原式0机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 . 不对不对 ! 因为 依赖于,n且,10故没理由认为0limnnnnnnnnnnnI1212sinsin1sinlim解：解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：nkknkn11sin已知,2dsin1sinlim101xxnnknkn利用夹逼准则夹逼准则可知.2Inknnknn11sin1nknnk11sin(考研98 ) 11limnnn例例2. 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: :nnnnnnnJ1212sins
3、inlim提示提示: :由上题1sinlimnIJnn11) 1(sinnnnn?11) 1(sinlimnnnnn222sinsin1sinlim1212nnnnnnnnnI00机动 目录 上页 下页 返回 结束 故练习练习: 1.求极限).21(lim22222nnnnnnnn解：解：原式nn1limnini12)(11xxd1110242. 求极限).2212(lim12121nnnnnnnnn提示提示：原式nn1limnini121limnnnnini12n1xxd2102ln111limnnnini12左边= 右边机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.d411032xxx估计下
4、列积分值解解: 因为 1 ,0 x3241xx 41,412xxxxd411032xd2110 xxd41102即xxxd411032216机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明.2d222042exeexx证证: 令,)(2xxexf则xxexxf2) 12()(令,0)( xf得,21x, 1)0(f,1)(421ef2)2(ef,1)(min42,0exf22,0)(maxexf故22042d22exeexx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.设)(xf在1 ,0上是单调递减的连续函数， 试证1 ,0q都有不等式100d)(d)(xxfqxxfq证明证明：显然1,0q
5、q时结论成立.(用积分中值定理)qxxf0d)(10d)(xxfqqxxfq0d)()1 (1d)(qxxfq)1 (q)(1fqq)()1 (2fq , 01q1 ,2q10 q当时,)()()1 (21ffqq0故所给不等式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 明对于任何例例6.解：解：, 3) 1 (,0)(fxxf处连续在已知且由方程xyyxttfyttfxttf111d)(d)(d)(确定 y 是 x 的函数 , 求. )(xf方程两端对 x 求导, 得)( yxfyttf1d)(yyfx)(xttfy1d)()(xfy)(yxy令 x = 1, 得) 1 (d)()(1fyt
6、tfyyfy再对 y 求导, 得) 1 (1)(fyyfy3Cyyf ln3)(, 3, 1Cy得令3ln3)(xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 故例例7.ttttfxfxdcos2sin)()(02求可微函数 f (x) 使满足解解: 等式两边对 x 求导, 得)()(2xfxfxxxfcos2sin)(不妨设 f (x)0,则xxxfcos2sin21)(xxfxfd)()(xxxdcos2sin21Cx )cos2ln(21机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意 f (0) = 0, 得3ln21C3ln21)cos2ln(21)(xxfxcos23ln21机动 目录 上页 下
7、页 返回 结束 ttttfxfxdcos2sin)()(02Cxxf)cos2ln(21)(例例8. 求多项式 f (x) 使它满足方程解解: 令, t xu 10302d) 1(d)(xxttfttxfx则10d)(ttxfxxuuf01d)(代入原方程得xuuf0d)(xttfx0d) 1(242xx 两边求导:)(xfxttf0d) 1() 1( xfxxx443)(xf ) 1(2xf) 1( xfx4122x可见 f (x) 应为二次多项式 , 设cbxaxxf2)(代入 式比较同次幂系数 , 得. 1,4, 3cba故143)(2xxxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 再求导:
8、二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法2. 注意特殊形式定积分的计算3. 利用各种积分技巧计算定积分4. 有关定积分命题的证明方法思考思考: 下列作法是否正确?xxx1d1112112xxd111132)(32xt 令0d23112111ttt机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求.d12ln02xex解解: 令,sintex则,sinlntx,dsincosdtttx原式ttttdsincoscos62tttdsinsin1262tttd)sin(csc26coscotcsclnttt6223)32(ln机动 目录 上页
9、 下页 返回 结束 例例10. 求.d2sin120 xxI解解:xxxId)cos(sin202xxxdcossin20 xxxd)sin(cos40 xxxd)cos(sin24cossinxx04sincosxx42) 12(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 2yox4xsinxcostttcbcadcos99例例11. 选择一个常数 c , 使0d)(cos)(99xcxcxba解解: 令, cxt则xcxcxbad)(cos)(99因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使)(cbca即2bac可使原式为 0 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12. 设,d)(022yex
10、fxyy解解: .d)() 1(102xxfx求xxfxd)() 1(102013)() 1(31xfxxxfxd)() 1(31103xexxxd) 1(31102322101) 1(2) 1d() 1(612xexx) 1(2 xu令10d6ueueu01) 1(6ueue)2(61e机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 若, 1,0)(Cxf解解: 令试证 :xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin20, xt则xxfxd)(sin0ttftd)(sin)(0ttfd)(sin0ttftd)(sin0 xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20机动
11、 目录 上页 下页 返回 结束 因为xxfd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin2对右端第二个积分令xtxxfd)(sin220综上所述xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin20机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例14. 证明恒等式)20(4darccosdarcsin22cos0sin0 xttttxx证证: 令ttttxfxxdarccosdarcsin)(22cos0sin0则)(xfxxxcossin2xxxcossin20因此, )0()(2xCxf又)(4fttttdarccosdarcsin212100tttdarccosarc
12、sin210td21024故所证等式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例15.,0)(,)(, )(xgbaxgxf且上连续在设试证, ),(ba使baxxfd)(baxxgd)()()(gf分析分析: 要证0d)()(d)()(babaxxgfxxfg即xaxxgd)(baxxfd)(xaxxfd)(baxxgd)(x0故作辅助函数baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 至少存在一点证明证明: 令baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()()(, )(xgxf因在,ba上连续,)(上连
13、续在故baxF在,),(内可导ba, 0)()(bFaF且至少, ),(ba使,0)(F即0d)()(d)()(babaxxgfxxfg因在,ba上)(xg连续且不为0 ,0d)(baxxg从而不变号,因此故所证等式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 故由罗尔定理知 ,存在一点思考思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ?如果能, 怎样设辅助函数?),(babaxxfd)(baxxgd)(,)()(gf要证: xattfxFd)()(xattgxGd)()(提示提示: 设辅助函数 例15 目录 上页 下页 返回 结束 例例16.设函数 f (x) 在a, b 上连续,在(a, b) 内可导
14、, 且 . 0)( xf:,)2(lim证明存在若axaxfax(1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 , 使 )(2d)(22fxxfabba(3) 在(a, b) 内存在与 相异的点 , 使 baxxfaabfd)(2)(22(03考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: (1) ,)2(lim存在axaxfax,0)2(limaxfax由 f (x)在a, b上连续, 知 f (a) = 0. ，又0)( xf所以f (x) 在(a, b)内单调增, 因此 ),(, 0)()(baxafxf(2) 设)(d)()(,)(2bxaxxfx
15、gxxFxa, 0)()(xfxg则)(),(xgxF故满足柯西中值定理条件, 于是存在 使),(baaabattfttfabagbgaFbFd)(d)()()()()(22xxattfxd)()(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 即 )(2d)(22fttfabba(3) 因 0)()(ff)()(aff在a, 上用拉格朗日中值定理),(),( )(aaf代入(2)中结论得)(2d)(22afttfabba因此得 baxxfaabfd)(2)(22机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xf例例17. 设, ,)(baCxf证证: 设且试证 :,0)(xf2)()(dd)(abxfxxx
16、fbabattfxFxad)()(xatft)(d则)(xF)(1xf)(2axxa)(tf)(tftd2ttfxftfxfxad)()()()(20)(,xfax0故 F(x) 单调不减 ,0)()(aFbF即 成立.)(xf)(xfxattfd)(xatft)(d2)(ax 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例18. 如图, 曲线 C 的方程为)2, 3(),(点xfy 解解: .d)()(302xxfxx 032)()(xfxx 是它的一个拐点, 线, 其交点为(2,4), 设函数f (x)具有三阶连续导数, 计算定积分xxfxxd)()(302 直线 l1与 l2 分别是曲线C在点
17、(0, 0)与(3, 2)处的切 xxfxd)() 12(30 0)3( f(2005 考研)03)() 12(xfxxxfd)(30)2)2(7(03)(2xf)0()3( 216ff204162)3(; 2)0(ff043211 2 3 4 xO1l2ly)(xfy C1. 定积分的应用定积分的应用几何方面几何方面 : 面积、 体积、弧长、 表面积 .物理方面物理方面 : 质量、作功、 侧压力、引力、2. 基本方法基本方法 : 元素法元素形状 : 条、段、 带、 片、扇、环、壳 等.转动惯量 .三、定积分的应用三、定积分的应用例例1. 求抛物线21xy在(0,1) 内的一条切线, 与两坐标
18、轴和抛物线所围图形的面积最小.解解: 设抛物线上切点为)1 ,(2xxM则该点处的切线方程为)(2)1 (2xXxxY它与 x , y 轴的交点分别为, )0,(212xxA) 1,0(2xB所指面积)(xSxx2) 1(2122102d)1 (xx324) 1(22xx11MBAyxO使它)(xS) 13() 1(22412xxx,33x0)( xS,33x0)( xS故为最小值点, 因而所求切线为34332XY,0)( xS令得 0 , 1 上的唯一驻点33x, 1 , 0)(33上的唯一极小值点在是因此xSx 11MBAyxO例例2. 设非负函数上满足在 1,0)(xf)()(xfxfx
19、曲线)(xfy 与直线1x及坐标轴所围图形(1) 求函数; )(xf(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解: (1)时，当0 x由方程得axxfxfx23)()(2axxf23)(,223xa面积为 2 ,体积最小 ? 即xCxaxf223)(故得xyO又10d)(2xxfxxCxad2321022CaaC 4xaxaxf)4(23)(2(2) 旋转体体积Vxxfd)(1021610132aa,01513aV令5a得又V 5a,0155 a为唯一极小值点, 因此5a时 V 取最小值 .1)(xf0 xe例例3. 过坐标原点作曲线xyln轴围成平面图形D.(1) 求 D 的
20、面积;(2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积.解解: (1) 设切点的横坐标为,0 x则所求切线方程为)(1ln000 xxxxyxxy及ln, 01ln0 x由切线过原点知的切线. 该切线与曲线因此0, ex 故切线方程为1eyxD 的面积为eyx 12eDxylnyOx1eyx110()deeyAyy(2003考研)(2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积.(2) 切线、x 轴及直线ex 2113eV ex 所围三角形绕直线旋转所得圆锥的体积为曲线、x 轴及直线ex 1220() deeyVyex 所围图形绕直线旋转所2(41)2ee因此所求旋转体体积
21、为21251236eeVVV0 xeeyx DxylnyOx1eyx1得旋转体体积为例例4. 半径为 R , 密度为的球沉入深为H ( H 2 R ) 的水池底, 水的密度多少功 ? 解解: 建立坐标系如图 .则对应d,xxx上球的薄片提到水面上的功元素为1dWxy d2提出水面后的功元素为2dW)(d2xRxygxxRxRgd)(22,0 xxRHxRgd)()(220H),(yxxyxO现将其从水池中取出, 需做体积元素所受重力上升高度g)(0)(xRHxxRHxRgWd)()(d2201xxRxRgWd)(d222因此功元素为21dddWWWxxRgd)( 22 球从水中提出所做的功为WxxRxRHgRRd)()()( 2200“偶倍奇零偶倍奇零”xxRRd)(220gRHR)(34003)( 200RHgH)(0)(0 xR HxyxO
