1、第二节（2）由导数公式vuvuuv )(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1) v 容易求得 ;xvuxvudd)2比容易计算 .:)d(的原则或及选取vvu机动 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法 第四四章 例例1. 求.dcosxxx解解: 令,xu ,cosxv 则, 1 uxvsin 原式xxsinxxdsinCxxxcossin思考思考: 如何求?dsin2xxx提示提示: 令,2xu ,sin xv 则原式xx cos2xxxdcos2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求.dlnxxx解解: 令,ln xu
2、xv 则,1xu 221xv 原式 =xx ln212xxd21Cxxx2241ln21机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求.darctanxxx解解: 令,arctan xu xv 则,112xu221xv 原式xx arctan212xxxd12122xx arctan212xxd)111 (212xx arctan212Cxx)arctan(21机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求.dsinxxex解解: 令,sin xu xev , 则,cosxu xev 原式xexsinxxexdcos再令,cosxu xev , 则,sin xuxev xexsinxxex
3、exxdsincos故 原式 =Cxxex)cos(sin21说明说明: 也可设veux,为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解题技巧解题技巧:的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的顺序, 前者为 后者为u.v例例5. 求.darccosxx解解: 令,arccosxu 1 v, 则,211xuxv 原式 =xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1 (222121xxxxarccosCx 21机动 目录 上页 下页 返回 结束 反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三:
4、 三角函数例例6. 求.dcoscosln2xxx解解: 令,coslnxu xv2cos1, 则,tan xuxvtan原式 =xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd) 1(sec2xxcoslntan Cxx tan机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求.dxex解解: 令, tx则,2tx ttxd2d 原式tettd2tet (2Cxex)1(2, tu tev )teC机动 目录 上页 下页 返回 结束 令例例8. 求. )0(d22axax解解: 令,22axu, 1 v则,22axxuxv 22axxxaxxd22222axxxaxaaxd22
5、222)(22axxxaxd2222d2axxa 原式 =2221axxCaxxa)(ln2222xaxd22机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求.)(d22nnaxxI解解: 令,)(122naxu, 1 v则,)(2122naxxnuxv nIxaxxnnd)(21222naxx)(22xaxnnd)(2122naxx)(22nIn2122nIan得递推公式nnnIannaxxanI22221212)(21222)(aaxnaxx)(22机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:递推公式nnaxxI)(d22已知CaxaIarctan11利用递推公式可求得.nI例如,3I2
6、222)(41axxa2243Ia2222)(41axxa243a22221axxa1221Ia2222)(41axxa22483axxaCaxaarctan835nnnIannaxxanI22221212)(21机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 证明递推公式)2(1tandtan21nInxxxInnnn证证:xxxInnd) 1(sectan22)d(tantan2xxn1tan1nxn2nI2nI注注:0IIn或1I0I,Cx1ICx cosln机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:分部积分题目的类型:1) 直接分部化简积分 ;2) 分部产生循环式 , 由此解出积分
7、式 ;(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C )例例43) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .例4 目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 已知)(xf的一个原函数是,cosxx求.d)(xxfx 解解:xxfxd)( )(dxfx)(xfxxxfd)(xxxcosCxxcosxsinCxxcos2说明说明: 此题若先求出)(xf 再求积分反而复杂.机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxfxd)(xxxxxxdcos2sin2cos2例例12. 求.d xI23)1 (2x解法解法1 先换元后分部令,arctanxt 即,tantx
8、则teIt3secttdsec2ttetdcostetsinttetdsintetsinttetdcostetcos故CettIt)cos(sin2121xearctantx121x21xx211xCexarctan机动 目录 上页 下页 返回 结束 xeIxdarctan23)1 (2xxexIarctan2d11xxexxexarctan2arctan2d111)1 (11arctan2xexxICexxIxarctan2121解法解法2 用分部积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 xexarctan211xd 23)1 (2xxexarctan内容小结内容小结 分部积分公式xvuvu
9、xvudd1. 使用原则 :xvuvd易求出,易积分2. 使用经验 : “反对幂指三反对幂指三” , 前 u 后v3. 题目类型 :分部化简 ;循环解出;递推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 求xxId)ln(sin解解: 令,lnxt 则texexttdd,tteItdsinttetettdcossinIttet)cos(sinCtteIt)cos(sin21Cxxx)cos(ln)sin(ln21机动 目录 上页 下页 返回 结束 uexexuudd,例例14. 求.d)(ln43xxx解解: 令则原式原式,lnxu ue34uueudueuud44原式原式 =ue441
10、4u3u243uu83323CCxxxxx323ln83ln43lnln412344机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?xxxdsincosxxxxxdsin)sin1(sinsinxxxxdsinsincos12xxxdsincos1, 1dsincosdsincosxxxxxx得 0 = 1答答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .xxsinsindCx sinln机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求xbxaeIxkd)cos(机动 目录 上页 下页 返回 结束 )cos(e1bxa
11、kIxk)sin(e2bxakaxkIka223. 设( )( ),( )F xf xf x是的一个原函数证证: 目录 上页 下页 返回 结束 可微且其反函 数 1( )fx存在, 证明 111( )d( )( )fxxx fxF fxC111( )d( )d( )fxxx fxx fx11( )d( )x fxfx1( )ffx11( )( )x fxF fxC1:( )xffx注意备用题备用题.求不定积分解解：.d1xexexx方法1(先分部 , 再换元)xexexxd1) 1(d1xxeexx2) 1(dxe12xexxexd12令, 1xeu则uuuxd12d2uuud122212xex112u12xexCuu)arctan(44Ceexx1arctan414机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法方法2(先换元,再分部)令, 1e xu则, )1ln(2ux故 xxxxd1eeuuuuuud12)1ln()1 (222uud)1ln(22)1ln(22uuuuud14221)1ln(22uuu4Cu arctan41e2xxCxx1earctan41e41uuuxd12d2xxxxd1ee
