1、第六节Green 公式Gauss 公式推广推广机动 目录 上页 下页 返回 结束 高斯公式 第11章 高斯高斯 ( Gauss ) 公式公式定理定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 ,zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRdddyxRdd 下面先证:函数 P, Q, R 在面 所围成, 的方向取外侧, 则有 (Gauss 公式公式)高斯 目录 上页 下页 返回 结束 231zyxyxD) ,(yxRyxyxRdd) ,(, ),(:11yxzz 证明证明: 设yxDyxyxzyxzyxz),(, ),(),(),(:21,321zzRyxz
2、yxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRdd yxD2 zyxzRdddyxdd1 3yxRdd为XY型区域 , ),(:22yxzz 则yxyxRdd) ,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd) ,(),(1yxz定理1 目录 上页 下页 返回 结束 所以zyxzRdddyxRdd 若 不是 XY型区域 , 则可引进辅助面将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立 .正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证 zyxyQdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 三式相加, 即得所证 Gauss 公式：定理
3、1 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 用Gauss 公式计算zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 为柱面122 yx闭域 的整个边界曲面的外侧. 解解: 这里利用Gauss 公式, 得原式 =zyxzyddd)(zrrzrddd)sin(用柱坐标)zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP, 0QyxR及平面 z = 0 , z = 3 所围空间思考思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 利用Gauss 公式计算积分SzyxId)coscoscos(222其中 为锥面222
4、zyxhozyx解解: 作辅助面,:1hz ,:),(222hyxDyxyx取上侧1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 1,记h1所围区域为,则 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyxzyxIddd)(2利用对称性zyxzddd24hyxhyxDdd2421hhz022zzd4hhozyxh1机动 目录 上页 下页 返回 结束 Ozxy例例3.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设 为曲面21,222zyxz取上侧, 求 解解: 作取下侧的辅助面1:1z1:
5、),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10drr221drz202dcos103drr4用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标2111yxDcoscoscoszvyvxv),(, ),(yxvyxu在闭区域 上具有一阶和二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式Sd例例4. 设函数uzyxddduzyxdddxuyuyvzuzv其中 是整个 边界面的外侧. uP xvuQ yvuR zv分析分析:zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd xv高斯公式222222zvyvxv机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:令uP ,xvuQ ,
6、yvuR ,zv由高斯公式得222222zvyvxvuzyxdddcoscoscoszvyvxvuSd移项即得所证公式.xuyuyvzuzvxvuyxzvxzyvzyxvdddddd机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结高斯公式及其应用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd应用:计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,:2222取外侧设Rzyx所围立体,222zyxr判断下列演算是否正确?(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd324 R(2)yxrzxzryzyrxddddd333333dvrzzryyrxxd33333331Ryxzxzyzyxddddd333d31Rvzyxd)(3222 为2R思考与练习思考与练习00cosrn00rn 备用题备用题 设 是一光滑闭曲面,所围立体 的体 是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径,222zyxr试证.dcos31VSr证证: 设 的单位外法向量为 ,cos,cos0n,0rzryrxr则coscoscosrzryrxSrdcos31Szyxdcoscoscos31vd331V的夹角,r积为V,cos机动 目录 上页 下页 返回 结束
