1、二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分第一节常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分 (广义积分)反常积分 第六六章 一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分引例引例. 曲线21xy 和直线1x及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积21xy A1可记作12dxxA其含义可理解为 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1. 设, ),)(aCxf,ab 取若xxfbabd)(lim存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分反常积分, 记作xxf
2、xxfbabad)(limd)(这时称反常积分xxfad)(收敛 ;如果上述极限不存在,就称反常积分xxfad)(发散 .类似地 , 若, ,()(bCxf则定义xxfxxfbaabd)(limd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ),()(Cxf若则定义xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 为任意取定的常数 )只要有一个极限不存在 , 就称xxfd)(发散 .无穷限的反常积分也称为第一类反常积分第一类反常积分. ,并非不定型 ,说明说明: 上述定义中若出现 机动 目录 上页 下页 返回 结束 它表明该反常积分发散 .,)()(的原函数是若xfxF引入记号
3、; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛 莱公式的计算表达式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算反常积分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 xoy211xy思考思考: ?01d2对吗xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原积分发散 !注意注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .例例2. 证明第一类 p 积分apxxd证证:当 p =1 时有 a
4、xxdaxlnapxxdappx11当 p 1 时有 1p1p,11pap当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .,因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为;11pap当 p1 时, 反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算反常积分. )0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021p机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲线xy1所围成的1x与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作10dxxA其含义可理解为 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02x
5、y10A1xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2. 设, ,()(baCxf而在点 a 的右邻域内无界,0取存在 ,xxfxxfbabad)(limd)(0这时称反常积分xxfbad)(收敛 ; 如果上述极限不存在,就称反常积分xxfbad)(发散 .类似地 , 若, ),)(baCxf而在 b 的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限baxxfd)(lim0数 f (x) 在 a , b 上的反常积分, 记作则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明: ,)(,)(外连续上除点在若bcacba
6、xf而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分, 无界点常称邻域内无界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220为瑕点瑕点.例如,xxxd11112xxd) 1(11机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点,而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义注意注意: 若瑕点,)()(的原函数是设xfxF的计算表达式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点, 则若 a 为瑕点, 则若 a , b 都为瑕点, 则,
7、 ),(bac则xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消吗可相消吗?机动 目录 上页 下页 返回 结束 112dxx211111x下述解法是否正确: , 积分收敛例例4. 计算反常积分. )0(d022axaxa解解: 显然瑕点为 a , 所以原式0arcsinaax1arcsin2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 讨论反常积分112dxx的收敛性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常积分112dxx发散 .例例6. 证明反常积分baqaxx)(d证证: 当 q = 1 时,当 q 1 时收敛 ; q1 时发散 .baaxxdbaax
8、 ln当 q1 时baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以当 q 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为;1)(1qabq当 q 1 时, 该广义积分发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.解解：,)2() 1() 1()(32xxxxxf设求.d)(1)(312xxfxfI)(20 xfxx为与的无穷间断点, 故 I 为反常xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(xxfxfI202d)(1)(xxfxf322d)(1)(xxfxf积分.)(arctanxf)(arctanxf02)(arctanxf2322
9、22732arctan222732arctan机动 目录 上页 下页 返回 结束 10内容小结内容小结 1. 反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0( abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,) 1(11pap机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互相转化 .例如 ,1021dxx）令txsin(20dtxxxd11104210121d122txxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2) 当一题同时含两类反常积分时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.备用题备用题 试证xxxxxd11d04204, 并求其值 .解解:041dxx令xt1tttd1112014tttd1042xxxd1042xxxxxxxd11d211d0420404xxxd1121042xxxxd121021122机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxxd121021122)1(d2)(121021xxxx012arctan221xx22机动 目录 上页 下页 返回 结束
