1、二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、引例一、引例 第三节机动 目录 上页 下页 返回 结束 微积分基本公式 第五五章 一、引例一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数)(ts与速度函数)(tv之间有关系:)()(tvts物体在时间间隔,21TT内经过的路程为)()(d)(1221TsTsttvTT这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 .)()(的原函数是这里tvts)(xfy xbaoy)(xxhx二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数, ,)(baCxf则变上限函数
2、xattfxd)()(证证:, ,bahxx则有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1. 若.,)(上的一个原函数在是baxf,)(baCxf说明说明:1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2) 变限积分求导:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf同时为通过原函数计算定积分开辟了道路 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(
3、ddxaaxttfttfx)sin(2cosxex例例1. 求0limxtextd1cos22x解解:原式0limx00 x2e21说明 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax时,0c. 0 b00原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.21c ttf txfxd)()(0例例3. ,0)(,),0)(xfxf且内连续在设证明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(内为单调
4、递增函数 . 证证:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0.)0)(内为单调增函数，（在xF只要证0)( xF机动 目录 上页 下页 返回 结束 20d)(ttfxxfx)()( )(xf)0(x三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 根据定理 1,)(d)(的一个原函数是xfxxfxa故CxxfxFxad)()(,ax 令, )(aFC 得因此)()(d)(aFxFxxfxa
5、,bx 再令得)()(d)(aFbFxxfba记作)(xFab)(xFab定理定理2.函数 , 则例例4. 计算.1d312 xx解解:xxxarctan1d31213) 1arctan(3arctan3127例例5. 计算正弦曲线轴所围成上与在xxy, 0sin的面积 . 解解:0dsinxxAxcos0112)4(机动 目录 上页 下页 返回 结束 yoxxysin例例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,速停车,2sm5a解解: 设开始刹车时刻为,0t则此时刻汽车速度0v)(10sm)(sm3600100036刹车后汽车减速行驶 , 其速度为tavtv0)(t510当汽车停住时,
6、0)(tv即,0510 t得(s)2t故在这段时间内汽车所走的距离为20d)(ttvs20d)510(tt22510tt (m)1002)(36hmk刹车, 问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 车到停车走了多少距离? 内容小结内容小结, )()(, ,)(xfxFbaCxf且设则有1. 微积分基本公式xxfbad)(积分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理)(abf牛顿 莱布尼兹公式2. 变限积分求导公式 公式 目录 上页 下页 返回 结束 3234)(2xxxf备用题备用题解解：1.设,d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求).(x
7、f定积分为常数 ,d)(10axxf设bxxf20d)(abxxxf2)(2, 则10d)(xxfa33x22bxax20120d)(xxfb33x22bxax202ab2231ab4238,31a34b故应用积分法定此常数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设证证：,dsin,dtan0302xxtttt试证: 当 0limxxxxxx21023sin2tanlim 0 x时, = o( ) . xxxxx210232limxxx21202lim0所以 = o( ) . xxxxxsintan0时洛机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.求解解: 由于20dsin2sinxxnxIn的递推公式(n为正整数) . ,dsin) 1(2sin201xxxnIn因此1nnII20d) 12cos(2xxn20dsinsin) 12cos(2xxxxn12) 1(21nn1nnII12) 1(21nn所以), 3 ,2(n2dcos2201xxI其中
