1、2.3 随机过程的微分与积分随机过程的微分与积分2.3.1 随机收敛和随机连续性随机收敛和随机连续性 设有随机变量设有随机变量X及随机变量序列及随机变量序列Xn (n=1,2,)，均有二阶矩，且均有二阶矩，且 则称则称随机变量序列随机变量序列Xn 依均方收敛于依均方收敛于X，或者说，随机变量或者说，随机变量X是随机变量序列是随机变量序列Xn 在在n趋于无穷时的均方极限。趋于无穷时的均方极限。0)(lim2XXEnn 如果随机变量序列如果随机变量序列Xn满足满足 那么该那么该序列序列k阶收敛于阶收敛于X。00)(limkXXEknn 若随机过程若随机过程X(t)满足满足 则则X(t)在在t时刻均
2、方意义下连续时刻均方意义下连续。0)()(lim20tXttXEt 若若R(t1,t2)沿直线沿直线t1=t2处处连续，则随处处连续，则随机过程机过程X(t)处处均方连续。处处均方连续。 从随机过程从随机过程X(t)的均方连续性，可推的均方连续性，可推得，得，X(t)的数学期望必然是连续的，即的数学期望必然是连续的，即)()(lim0tXEttXEt2.3.2 随机过程的微分随机过程的微分1. 定义定义 如果随机过程如果随机过程X(t)满足满足 则称则称X(t)在在t时刻具有均方导数时刻具有均方导数X(t)。0)( )()(lim20tXttXttXEtttXttXmi ldttdXtXt)(
3、)(. .)()( 0 判断随机过程的导数存在与否，可采判断随机过程的导数存在与否，可采用柯西判别准则，即如果用柯西判别准则，即如果 则则X(t)的导数存在。的导数存在。0)()()()(lim222110,21ttXttXttXttXEtt2. 均方可微的条件（导数存在的条件）均方可微的条件（导数存在的条件） 可推导出，随机过程可推导出，随机过程X(t)均方可微的均方可微的充分条件是：相关函数在它的自变量充分条件是：相关函数在它的自变量相等时，存在二阶偏导数，即存在相等时，存在二阶偏导数，即存在21|),(21212ttXttttR 只有当随机过程连续，即相关函数只有当随机过程连续，即相关函
4、数R(t1,t2)在在t1=t2时连续，且有时连续，且有 存在，则随机过程在均方意义下存在存在，则随机过程在均方意义下存在导数。导数。21|),(21212ttXttttR3. 随机过程导数运算的法则随机过程导数运算的法则 设用设用Y(t)表示随机过程表示随机过程X(t)的均方导数，的均方导数，即即 Y(t)的数学期望的数学期望 dttdXtXtY)()( )(dttdmtYEX)()(Y(t)的相关函数的相关函数2121221),(),(ttttRttRXY2.2.3 随机过程的积分随机过程的积分1. 随机过程的积分随机过程的积分 当把积分区间当把积分区间a,b分成分成n个小区间个小区间 ，
5、当当 时，令时，令 Y就定义为就定义为X(t)在均方意义下的积分。在均方意义下的积分。itnittmax0)(lim210iniitttXYE 当随机过程通过线性时不变系统时，当随机过程通过线性时不变系统时，其输出应为输入与系统冲激响应的卷其输出应为输入与系统冲激响应的卷积，即积，即dthXtY)()()(2. 随机过程均方积分的运算法则随机过程均方积分的运算法则 设设Y为随机过程的均方积分，即为随机过程的均方积分，即 Y的均值的均值badttXY)(baXdttmYE)(Y的方差的方差 21212),(dtdtttCbabaXY 随机过程积分的相关函数随机过程积分的相关函数 随机过程的变上限积分随机过程的变上限积分) ,(),(120021ddRttRttXY dXtYt0)()(
