1、 福建省长乐高级中学 2017-2018 学年 高二下学期期中考试（理） 说明：说明：1、本试卷分第、本试卷分第 I、II 两卷，考试时间：两卷，考试时间：120 分钟分钟 满分：满分：150 分分 2、卷的答案用卷的答案用 2B 铅笔填涂到答题卡上；铅笔填涂到答题卡上；卷的答案用黑色签字笔填写在答题卡卷的答案用黑色签字笔填写在答题卡 上上. 第第卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分） 一、选择题（一、选择题（本题包括本题包括 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，每小题只有一个答案符合题意）分，每小题只有一个答案符合题意） 1如果复数 2 12 ai i 的实部和虚部互为相反数，那么实
2、数a等于( ) A2 B2 C 2 3 D 2 3 2已知bn为等比数列，b52，则 b1b2b3b929若an为等差数列，a52，则an的类 似结论为( ) Aa1a2a3a929 Ba1a2a929 Ca1a2a92 9 Da1a2a92 9 3已知 c1，a c1 c，b c c1，则正确的结论是( ) Aab Bab Cab Da、b 大小不定 4. 在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品，从这 100 件产品中任意抽出 3 件，抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有（ ）种 A. 1 98 2 2 1 98 1 2 CCCC B. 3 98 3 100 CC C.
3、 3 100 2 98 1 2 CCC D. 2 98 3 100 CC 5 用反证法证明命题： 若整系数一元二次方程有有理根， 那么 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ） 假设都是偶数 假设都不是偶数 假设至多有一个是偶数 假设至多有两个是偶数 6.函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(x f 在),(ba内的 图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内极值点有（ ） 2 0(0)axbxcaa b c， ， a b c， ， a b c， ， a b c， ， a b c， ， A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 7. 已知 32 ( )26f xx
4、xm （m为常数）在22，上有最小值3，那么 此函数在22，上的最大值为（ ） A5 B11 C29 D43 8、 对于 R 上可导的任意函数 f （x） ， 且0) 1 ( f ， 若满足 （x1）)(x f 0， 则必有 （ ） Af（0）f（2）2f（1） D. f（0）f（2）2f（1） 9. 设函数( )f x是R上以 5 为周期的可导偶函数， 则曲线( )yf x在5x 处的切线的斜率 （ ） 1 5 0 1 5 5 10. 给出以下命题：若( )0 b a f x dx ，则 f(x)0； 2 0 sin4xdx ;f(x)的原函数为 F(x)，且 F(x)是以 T 为周期的函数
5、，则 0 ( )( ) aa T T f x dxf x dx ；其中正确命题的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 11. 将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者 的方案种数为 ( ) A.540 B.300 C.180 D.150 12. 已知函数的导函数为 ，且，如果 ,则实数 a 的取值范围是（ ） A. (0,1) B. C. D. 第第 II 卷（非选择题卷（非选择题 共共 90 分）分） 二、填空题（本题包括二、填空题（本题包括 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分）分） 13. 已知 3 -
6、2 1010 C= C xx ，则x_ 14若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数 z， 则表示复数 z 1i的点是_点。 15.设 a0，若曲线 y x与直线 xa，y0 所围成封 闭图形的面积为 a2，则 a_. (第 14 题 16若函数 f(x) 4x x21在区间(m,2m1)上单调递增，则实数 m 的取值范围是_ 三、解答题（三、解答题（10+12+12+12+12+12=70 分）分） 17(10 分)设复数 z=a+i（i 是虚数单位，aR，a0） ，且|z|= （1）求复数 z； （2）在复平面内，若复数 1 mi z i （mR）对应的点在第四象限， 求实数 m
7、取值范围 18 （12 分）用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的数 求： （1）可以组成多少个六位数？ （2）可以组成至少有一个偶数数字的三位数多少个？ （3）可以组成能被 3 整除的三位数多少个? 19 （12 分）已知二次函数 2 ( )3f xaxbx在1x 处取得极值，且在(0, 3)点处的切 线与直线20xy平行 (1）求( )f x的解析式； (2）求函数 ( )( )4g xxf xx 的单调递增区间及极值。 20、 （12 分）是否存在常数，使等式对于 一切都成立？若存在，用数学归纳法证明之，若不存在，请说明理由。 ba, 2) 12)(12(53 2 31 1
8、2222 bn nan nn n * Nn 21 （12 分）某商品每件成本 9 元，售价 30 元，每星期卖出 432 件，如果降低价格，销售 量可以增加， 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x （单位： 元， 0x30 ） 的平方成正比。已知商品单价降低 2 元时，一星期多卖出 24 件。 （1）将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 22. （12 分） 已知函数 x a xxf 2 )(，xxxgln)(，其中0a。 （1）若1x是函数)()()(xgxfxh的极值点，求实数a的值。 （2）若对任意的 1 x，ex, 1
9、 2 （e为自然对数的底数）都有)()( 21 xgxf成立，求 实数a的取值范围。 参考答案 一、1-12、DDAB BCDC BBDB 二、13.1 或 3 14.H 15.4 9 16. (1,0 三、 17.解： （）z=a+i，|z|=，|z|=， 即 a2=9，解得 a= 3，又a0，a=3， z=3+i （2）z=3+i，则 =3-i， +=3-i+=+i， 又复数 +（mR）对应的点在第四象限， 得 5m1. 18. 解： （1）先考虑首位，其他任排： 6001205 5 5 1 5 AA （个） 故 可以组成的六位数 600 个 4 分 （2）由 0、1、2、3、4、5 可组
10、成三位数： 先考虑首位，其他任排：100455个； 其中不含偶数数字的三位数为 1、3、5 任排，有：6 3 3 A个 所以 至少有一个偶数数字的三位数有946100个 8 分 （3）能被 3 整除的三位数，即各位数字之和被 3 整除； 可以是包含 0 的有 12，15，24，45 9 分 不包含 0 的有 123，135，234，345 10 分 所以 可以组成能被 3 整除的三位数有： 40644444 3 3 2 2 1 2 AAA 个 12 分 19.【解答】(1)由,可得. 由题设可得 即2 分 解得,.所以. 4 分 (2)由题意得, 所以.令,得,.8 分 递增 4/27 递减
11、0 递增 10 分 所以函数的单调递增区间为,.在有极小值为 0 在有极大值 4/27 12 分 20、解：假设存在满足条件的 a、b，则 当 n=1 时， 1a+1 = 3b+2 当 n=2 时， 144a+22a+1 += 3152b+2b+1 =1 =4 a b 证明：当 n=1 时，等式显然成立 假设当 n=k 时，等式成立，即 22 12 + 1 33 5 + 22 kk +k = (2k-1)(2k+1)4k+2 。 当 n=k+1 时 22 12 + 1 33 5 + 22 k(k+1) + (2k-1)(2k+1)(2k+1)(2k+3) = 2 k +k + 4k+2 2 (
12、k+1) (2k+1)(2k+3) = 2 k+12k +5k+2 22k+12k+3 （）（） （）（）= 2 k+1k+2k+1+k+1 = 22k+34k+1 +2 （）（）（） （） （）（） 由知对任意 nN * ，等式都成立 21. 解： （1）记一星期多卖商品 2 kx件，又由条件可知 2 242k解得6k 。2 分 若记商品在一个星期的获利为( )f x，则)6432)(930()( 2 xxxf。 所以 32 ( )61264329072,0,30f xxxxx。6 分 （2）由（1）得 /2 ( )1825243218(2)(12)fxxxxx 令0)( x f，得122x
13、x或或。8 分 所以( )f x在（0，2）递减，在（2，12）递增，在（12，30）递减。10 分 所以12x 时( )f x取极大值， 又(0)9072,(12)11664ff， 所以定价 30-12=18 （元） 能使一个星期的商品销售利润最大。12 分 22. . （2）对任意的 1 x，ex, 1 2 都有)()( 21 xgxf成立对任意 1 x，ex, 1 2 都有 max min )()(xgxf （6 分） 当ex, 1时，0 1 1)( x xg xxxgln)(在e , 1上是增函数 1)()( m a x eegxg （8 分） 22 2 )( 1)( x axax x a xf 且ex, 1，0a 当10a且ex, 1时，0)( xf )(xf在e , 1上是增函数 2 m i n 1) 1 ()(afxf 由11 2 ea，得ea
