1、 江苏省无锡市江阴四校 2017-2018 学年 高二下学期期中考试（文） 一、填空题（每小题 5 分，共 70 分。请把答案直接填写在答题卷相应位置.） 1.已知集合 A0，1，B1，0，a3，且 AB，则 a 等于 . 2.若3 2zi ，则 2 z i . 3.已知命题 1 :0,2pxx x ,那么命题p为 . 4.函数ln 324 x yx的定义域是 . 5已知 21 33 3 11 ,log 34 abc ，则, ,a b c的大小关系为 . 6.“” 是 “” 的 条件 （填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既 不充分也不必要”） 7.设函数 1 3 3,1 1 log,1
2、 x x f x x x ，则满足 3f x 的x的取值范围是 . 8.二维空间中，圆的一维测度（周长）2lr，二维测度（面积） 2 Sr；三维空间中， 球的二维测度（表面积） 2 4Sr，三维测度（体积） 3 4 3 Vr.应用合情推理，若四维 空间中，“特级球”的三维测度 3 12Vr，则其四维测度W . 9.已知函数1)( 2 mxxxf，若对于任意 xm，m1，都有 f(x)0 成立，则实数 m 的 取值范围是 . 10.若函数定义在上的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式 的解集为 . 11.已知函数 20 20 x x f x f xx ，则 1232017ffff . 12.设函
3、数 2 1 2e x f xx ，则使24fxfx成立的x的取值范围是 1x 1 1 x )(xfR)0 ,(0)2(f 0) 1(xxf . 13.已知函数 f x是定义在R上的奇函数，对任意的xR，均有 2f xf x， 当0,1x时， 21 x f x ，则下列结论正确的是 . f x的图象关于1x 对称 f x的最大值与最小值之和为2 方程 lg0f xx有10个实数根 当2,3x时， 2 21 x f x 14.已知函数 , 1,)( , 1|,1| )( 2 xax xxa xf函数)(2)(xfxg，若函数)()(xgxfy恰有 4 个零点，则实数a的取值范围是 . 二、解答题(
4、本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明或演算步骤). 15.(本小题满分 14 分）已知:p实数x，满足0xa，:q实数x，满足 2 430xx. （1）若2a 时pq为真，求实数x的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围 16(本小题满分 14 分）已知函数 2 lg1f xxa xa （1）求函数 f x的定义域 （2）若 f x为偶函数，求实数a的值 17.(本小题满分 14 分） 已知函数 x f xb a (其中, a b为常量且0a且1a ） 的图象经 过点1,8A, 3,32B. (1)试求, a b的值
5、； (2)若不等式 11 0 xx m ab 在,1x 时恒成立，求实数m的取值范围. 18.(本小题满分 16 分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某 共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资 120 万元，根据行业规定，每个城市至 少要投资 40 万元，由前期市场调研可知：甲城市收益 P 与投入a（单位：万元）满足 623aP，乙城市收益 Q 与投入a（单位：万元）满足2 4 1 aQ，设甲城市的投入 为x（单位：万元） ，两个城市的总收益为)(xf（单位：万元） （1）当甲城市投资 50 万元时，求此时公司总收益； （2）试问如何安排甲、乙两个
6、城市的投资，才能使总收益最大？ 19.(本小题满分 16 分）已知函数 2 ,.f xx xa aR 若0a，且 1.f x ，求x的值； 当0a时，若 f x在2,+上是增函数，求a的取值范围； 若1a，求函数 f x在区间00m m，上的最大值 g m. 20(本小题满分 16 分）已知函数54)( 2 axxxf,724)( 1 mmxg x . （1）若函数)(xf在区间 1 , 1上存在零点，求实数a的取值范围； （2）当时，若对任意的2 , 1 1 x，总存在2 , 1 2 x，使)()( 21 xgxf成立，求实数 m的取值范围； （3）若2 ,),(txxfy的值域为区间 D，
7、是否存在常数，使区间 D 的长度为t 46？若 存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（注：区间,qp的长度为pq） 参考答案 一、填空题 1. 2 2. 21 55 i 3. 2 1 , 0 x xx 4. 2,3 5. cba 6. 充分不必要 7. 0, 8. 4 3 r 9.)0 , 2 2 ( 10. ) 1 , 0() 1, 3( 11. 3025 2 12. 4 4, 3 13. 14. （2，3 二、解答题 15.（1）由0xa，得xa. 当2a 时，2x ，即p为真命题时，2x . -2 分 由 2 430xx得13x，所以q为真时，13x. -4 分 若pq为真，则12x
8、所以实数x的取值范围是1,2. -7 分 （2）设,Aa ，1,3B， -8 分 q是p的充分不必要条件， 所以BA， -10 分 从而3a . 所以实数a的取值范围是3,. -14 分 16.（1）因为 2 10xa xa即10xxa， -1 分 当1a时，不等式的解为xa或1x， 所以函数 f x的定义域为 |x xa或1x -3 分 当1a时，不等式的解为1x， 所以函数 f x的定义域为 |1x x -5 分 当1a时，不等式的解为1x或xa， 所以函数 f x的定义域为 |1x x 或xa -7 分 （2）如果 f x是偶函数，则其定义域关于原点对称， -9 分 由（1）知， 1a
9、， -11 分 检验：当1a 时，定义域为 |1x x 或1x 关于原点对称， 2 lg1f xx， 2 2 lg11fxxlg xf x ， 因此当1a 时， f x是偶函数 -14 分 17.（1）由函数 x f xb a 的图象经过点1,8A, 3,32B，知 3 8 32 a b ab -2 分 1,aoa ， 4, 2ba -6 分 （2）解：由（1）可得恒成立 令， 只需，易得在为单调减函数，-10 分 . -14 分 18.（1）当时，此时甲城市投资 50 万元，乙城市投资 70 万元 所以总收益 =43.5（万元） -4 分 （2）由题知，甲城市投资万元，乙城市投资万元 所以
10、-8 分 依题意得，解得 -10 分 故 令，则 所以 当6 2t ，即72x万元时， y的最大值为 44 万元， -14 分 所以当甲城市投资 72 万元，乙城市投资 48 万元时，总收益最大，且最大收益为 44 万 元 -16 分 19.(1)由0a知 f xx x 1f x 即1x x 1x -3 分 (2) -4 分 , 0a )(xf在),(a上单调递增，在)2 ,(aa上单调递减，在),2(a上单调递增-6 分 f x 在2, 上是增函数 22,1aa即 01a -8 分 (3) f x图象如图 当01m时， -10 分 当12 1m时， 11g mf -12 分 当21m时， -
11、14 分 综 -16 分 20.(1)根据题意得：的对称轴是，故在区间递增， -1 分 因为函数在区间上存在零点，故有，即， 故所求实数的范围是； -3 分 （2）若对任意的，总存在，使成立， 只需函数的值域是函数的值域的子集， 时， 的值域是， -4 分 下面求， 的值域， 令，则， ， 时， 是常数，不合题意，舍去； -5 分 时， 的值域是， 要使 ，只需，计算得出； -7 分 时， 的值域是， 要使 ，只需，计算得出； 综上， 的范围是. -9 分 （3）根据题意得，计算得出， -10 分 时，在区间上， 最大， 最小， ， 计算得出： 或（舍去） ； -12 分 时，在区间上， 最大， 最小， ，计算得出： ； -14 分 时，在区间上， 最大， 最小， ， 计算得出： 或，故此时不存在常数满足题意， 综上，存在常数满足题意， 或. -16 分
