1、 参考答案 1、3 2、a，b都不能被 5 整除 3、3 和 5 4、10 5、120 6、63 7、 2 3 )2( 1 n f n 8、 2 15 9、 1)( nnf 10、 3 20x 11、9 12、80 13、 )(4 222 cba 14、12 15.（本小题满分 14 分） 解： （1） 2 12zaai ，2 分 2 za -1=0a0因为 为纯虚数，所以，且，解得 a=1 或-16 分 （2） 2 12zaai 在复平面上对应的点在第四象限，当且仅当： 2 10 0 a a ，10 分 解得：1a13 分 所以a的取值范围是(, 1) 14 分 16. （本小题满分 14
2、分） 解： （1）先排个位，再排首位，共有 A A A=144（个） 4 分 （2）以 0 结尾的四位偶数有 A 个，以 2 或 4 结尾的四位偶数有 A A A个，则共有 A + A A A=156（个） 8 分 （3）要比 3125 大，4、5 作千位时有 2A 个，3 作千位，2、4、5 作百位时有 3A个，3 作千位，1 作百位时有 2A 个，所以共有 2A +3A+2A =162（个） 14 分 17.（本小题满分 14 分） 解：根据题意，2128,n=7 n 得2 分 （1）展开式的通项为7 , 2 , 1 , 0,2 2 71 rxCT r rr r .4 分 于是当6 , 4
3、 , 2 , 0 r时，对应项为有理项，即有理项为, 12 000 71 xCT,8422 2 73 xxCT ,5602 2244 75 xxCT .2 366 77 xCT 7 分 （2） 7 1 2 x展开式中所有项的系数的绝对值之和即为 7 12 x展开式中各项系数之 和10 分 1 3 1 4 2 4 3 5 1 2 1 4 2 4 3 5 1 2 1 4 2 4 3 5 2 4 1 3 3 5 2 4 1 3 在 7 12 x中令 x1 得展开式中所有项的系数和为（12）7372 18713 分 所以 7 1 2 x展开式中所有项的系数和为 2 18714 分 18. （本小题满分
4、 16 分） （1）证明：法一：要证 ,231 nnnn 只要证 ,321 nnnn 只要证 22 321 nnnn 即证 )3(232)2)(1(232 nnnnnn 即证 ,323 22 nnnn 即证 ,323 22 nnnn 即证 02 ，显然成立，所以原不等式成立. 8 分 证法二：31 nn，,2 nn ,231 nnnn 又01 nn 23 1 1 1 nnnn 231 nnnn （2）证明：假设 x y 1 和 y x 1 均大于或等于 2，即, 2 1 x y 且. 2 1 y x 因为, 0, 0 yx所以,21xy 且yx21 所以,2211yxyx 所以, 2 yx这与
5、2 yx矛盾. 所以 x y 1 和 y x 1 中至少有一个小于 2. 16 分 19. （本小题满分 16 分） 解：(1) 7 s =22+23+24+25+26+27+28=175；2 分 (2） 1 1s ；1 3 16s s +；1 35 81s ss+；1 357 256s sss+；3 分 猜测 13521n s sss + + +.+= 4 n5 分 证明如下：记 13521Nn Ms sss + + +.+, (1) 当 n=1 时，猜想成立。 (2) 设当 n=k 时，命题成立，即 4 13521kk Ms sssk + + +.+.7 分 下面证明当 n=k+1 时，猜
6、想也成立. 事实上，有题设可知 (1) 1+2+3+.+(n-1)+1=1n 2 n n n S 是由开始的 个连续自然数的和. 所以 2 (1)(1)(1)(1) 12. 2222 n n nn nn nn n Sn 10 分 所以 2 232 21 (21) (21)1 (21)(221)4641 2 k kk Skkkkkk 从而 4324 121 4641(1) kkk MMSkkkkk ，14 分 所以猜想在 n=k+1 时也成立。 综合（1） （2）可知猜想对任何nN都成立.16 分 20. （本小题满分 16 分） （1）解：过椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a
7、x C上一点),( 00 yxM的切线方程是 . 1 2 0 2 0 b yy a xx 2 分 （2）解：设),(),( 2211 yxByxA由（1）可知，过椭圆上点),( 11 yxA的切线 1 l的方程是 , 1 2 1 2 1 b yy a xx 过椭圆上点),( 22 yxB的切线 2 l的方程是, 1 2 2 2 2 b yy a xx 4 分 因为 21,l l都过点),( 00 yxM，则 . 1 , 1 2 02 2 02 2 01 2 01 b yy a xx b yy a xx 则过BA,两点的直线方程是 . 1 2 0 2 0 b yy a xx 8 分 （3）证明：
8、由（2）知，过BA,两点的直线方程是, 1 2 0 2 0 b yy a xx , 0 2 0 2 ya xb kAB , 0 0 x y kOM 2 2 0 0 0 2 0 2 a b x y ya xb kk OMAB 为定值. 10 分 设),(),( 2211 yxByxA设P为线段AB的中点，则P坐标为) 2 , 2 ( 2121 yyxx 因为BA,均在椭圆上，故, 1 2 2 1 2 2 1 b y a x ，1 2 2 2 2 2 2 b y a x 可得, 0 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 b yy a xx 即0 )()( 2 1212 2 1212 b yyyy a xxxx 所以 2 2 1212 1212 )( )( a b xxxx yyyy ，12 分 又 12 12 12 12 12 12 , 2 2 xx yy k xx yy xx yy k ABOP 所以 2 2 a b kk OPAB ， 又 2 2 a b kk OMAB ，所以 OMOP kk 14 分 所以MPO,三点共线. 所以OM平分线段.AB16 分
