1、山东省临沂市罗庄区 2017-2018 学年高二下学期期中考试（理） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共 150 分，考试时间 120 分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和 2B 铅笔分别涂写 在答题卡上； 2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡. 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.已知复数z满足 2i 1 i z ，那么z的虚部为 ( ) A. 1 B. i C
2、. 1 D. i 2.定积分 1 0 (2e ) x xdx 的值为 ( ) A. e2 B. e C. e 1 D. e 1 3.按ABO血型系统学说，每个人的血型为 , ,A B O AB 型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少 有一人的血型是AB型时，子女的血型一定不是O型，若某人的血型的O型，则父母血型的所有可能情况 有 ( ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4.已知复数z满足 (1 i)1z （其中i为虚数单位） ，则z的共轭复数z是( ) A. 11 i 22 B. 11 i 22 C. 11 i 22 D. 11 i 22 5.用数学归纳法证明不等式 1 111
3、1(N*) 2322 n n n ，第二步由k到 1k 时不等式左边需增加 ( ) A. 1 2k B. 1 11 212 kk C. 11 111 21222 kkk D. 11 111 21222 kkk 6.已知 32 ( )(6)1f xxaxax 有极大值和极小值，则a的取值范围是 ( ) A. 12a B. 36a C. 1a 或 2a D. 3a 或 6a 7.我校高二年级在期末考试中要考查六个学科，已知语文考试必须安排在首场，且数学与英语不能相邻， 则这六个学科总共有不同的考试顺序( ) A. 36 种 B. 48 种 C. 72 种 D. 112 种 8.观察下列各式： 22
4、 22 55 ， 33 33 1010 ， 44 44 1717 ，若 99 mm nn ，则 nm = ( ) A. 43 B. 73 C. 82 D. 91 9.已知 2 1 ( )cos 4 f xxx ， ( )fx 为 ( )f x 的导函数，则 ( )fx 的图象是 ( ) A.B.C.D. 10.将2名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师 和 2 名学生组成，不同的安排方案共有 ( ) A. 12 种 B. 24 种 C.48 种 D.10 种 11.若不等式 2 2 ln3xxxax 对 (0,)x 恒成立，则实数a的取
5、值范围是 ( ) A. (, 0) B. (, 4 C. (0,) D. 4,) 12.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”某中学为弘扬“六 艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛现有甲、乙、丙 三位选手进入了前三名的最后角逐规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为 , ,a b c （a bc ，且 , ,N*a b c ） ，选手最后得分为各场得分之和在六场比赛后，已知甲最后得分为 26 分，乙和丙最后得分 都为 11 分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是 ( ) A. 每场比赛第一名得分a为
6、4 B. 甲可能有一场比赛获得第二名 C. 乙有四场比赛获得第三名 D. 丙可能有一场比赛获得第一名 第 II 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把正确答案填在答题纸给定的横线上. 13.若复数 22 2(32)izmmmm 为纯虚数，其中i是虚数单位，则m 14.用数字 1,2 组成四位数，数字 1,2 至少都出现一次，这样的四位数有 个.（用数字作答） 15.若O为ABC内部任意一点，连结AO并延长交对边于 A ，则 ABOC ABC SAO AAS 四边形 ，同理连结BO，CO 并延长，分别交对边于 B ， C ，这样可以推出 A
7、OBOCO AABBCC ；类似的，若O 为四面体 ABCD内部任意一点，连 ,AO BO CO DO 并延长，分别交相对面于 ,A B C D ，则 AOBOCODO AABBCCDD 16.已知函数 2 ( )e x f x ， 1 g( )ln 2 xx 的图象分别与直线 yb 交于A，B两点，则| |AB 的最小值 为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程 17.（本小题满分 10 分） 已知复数 1 iz （i为虚数单位） （1）设 2 34zz ，求 | ； （2）若 3 i 2i a z ，求实数a的值 18.（本小题满分 12 分） 设
8、 2 ( )(5)6lnf xa xx ，其中 Ra ，曲线 ( )yf x 在点(1, (1)f 处的切线与 y 轴相交于点(0,6) （1）确定a的值； （2）求函数 ( )f x 的单调区间 19.（本小题满分 12 分） 先阅读下列结论的证法，再解决后面的问题： 已知 12 ,Ra a ， 12 1aa ，求证： 22 12 1 2 aa . 证明：构造函数 22 12 f xxaxa ， 则 222222 121212 2222f xxaaxaaxxaa ， 对一切x R ，恒有 0f x . 22 12 480aa ，从而得 22 12 1 2 aa . （1）若 12 ,R n
9、a aa ， 12 1 n aaa ，请写出上述结论的推广式； （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明. 20.（本小题满分 12 分） 已知函数 ( )e1 x f xax aR （1）当 1a 时，求证： ( )0f x ； （2）讨论函数 ( )f x 极值点的个数 21. （本小题满分 12 分） 设 1 ( )(1)nf nn n ，其中n为正整数 （1）求 (1)f ， (2)f ， (3)f 的值； （2）猜想满足不等式 ( )0f n 的正整数n的取值范围，并用数学归纳法证明你的猜想 22.（本小题满分 12 分） 设函数 2 ( )lnf xaxbx （ 0x ） （1）
10、若函数 ( )f x 在 1x 处与直线 1 2 y 相切，求函数 ( )f x 在 1 , e e 上的最大值； （2）当 0b 时，若不等式 ( )f xmx 对所有的 3 0, 2 a ， 2 (1, e x 都成立，求实数m的取值范围 参考答案 一、选择题：ABCAD DCBDA BC 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 0m 14.14 15. 2 3 16. 2ln2 2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 17.解： （1） 由复数 1 iz ，得 1 iz 2 分 则 2 34zz 2 (1 i)3(1 i)4 1 2i 1 3
11、3i4 1 i 4 分 故 22 |( 1)( 1)2 5 分 （2） 3 ii 1 i aa z (i)(1 i) (1 i)(1 i) a 7 分 ii 1 2 aa 11i 22 aa 2i 。 9 分 由复数相等的充要条件得： 1 2, 2 1 1, 2 a a 解得 3a 10 分 18. 解： （1） 6 ( )2 (5)fxa x x ， 令 1x 得 (1)16fa ， (1)168fa ， 则曲线 ( )yf x 在点(1, (1)f 处的切线为 16(68 )(1)yaa x ， 由(0, 6)在切线上得6 16 86aa 1 2 a 6 分 （2） 由（ ）知， 2 (
12、)(5)6lnf xa xx （ 0x ） ， 6(2)(3) ( )5 xx fxx xx ， 7 分 由 ( )0fx 得 3x 或0 2x ； 9 分 由 ( )0fx 得2 3x ， 11 分 故 ( )f x 的单调递增区间为(0, 2)，(3, ) ；单调递减区间为(2, 3)12 分 19.解： （1）若 12 ,R n a aa ， 12 1 n aaa . 上式的推广式为： 222 12 1 n aaa n . 4 分 （2）证明：构造函数 222 12n fxxaxaxa 6 分 2222 12 2 n nxxaaa . 8 分 对一切 Rx ，都有 0f x ， 10 分
13、 222 12 440 n n aaa . 11 分 故 222 12 1 n aaa n . 12 分 20. 解： （1） 由 ( )e1 x f xx ，得 ( )e1 x fx 又 0 (0)e10 f ， 1 分 当 0x ， ( )0fx ， ( )f x 为减函数； 2 分 当 0x ， ( )0fx ， ( )f x 为增函数. 3 分 ( )(0)0f xf 成立 4 分 （2） 函数 ( )e1 x f xax 得 ( )exfxa 5 分 当 0a 时， ( )0fx ， ( )f x 在上为增函数，无极值点； 6 分 当 0a ，令 ( )0fx 得 lnxa ， 7
14、分 由 ( )0fx 得， lnxa ； 8 分 由 ( )0fx 得， lnxa 。 9 分 当x的变化时， ( )fx ， ( )f x 的变化情况如下表： x 0 ( )f x 极小值 11 分 综上：当 0a 时， ( )f x 在 R 上无极值点； 当 0a ，有一个极小值点 lnxa 12 分 21. 解： （1） 1 ( )(1)nf nn n ， (,ln )alna(ln ,)a ( )fx (1)1f ， 2 11 (2)(1)2 24 f ， 3 16417 (3)(1)33 32727 f 3 分 （2） 猜想： 3n ， 1 ( )(1)0 n f nn n ，5 分
15、 证明： 当 3n 时， 17 (3)0 27 f 成立， 6 分 假设当n k ( 3,N*nn )时猜想正确， 即 1 ( )(1)0 k f kk k ，所以 1 (1)kk k ， 7 分 则当 1nk 时，由于 1 1 (1) 1 k k 11 (1) (1) 11 k kk 11 (1) (1) 1 k kk 9 分 1 (1) 1 k k 1 1 k kk k . 10 分 1 1 (1)1 1 k k k ， 即 1 1 (1)(1)(1)0 1 k f kk k 成立，11 分 由可知，对 3n ， 1 ( )(1)0 n f nn n 成立12 分 22. 解： （1） 由
16、题知 ( )2 a fxbx x ， 1 分 函数 ( )f x 在 1x 处与直线 1 2 y 相切， (1)20, 1 (1), 2 fab fb 解得 1, 1 , 2 a b 2 分 2 1 ( )ln 2 f xxx （ 0x ） ， 2 11 ( ) x fxx xx ， 3 分 当 1 e e x 时，令 ( )0fx ，得 1 1 e x ； 4 分 令 ( )0fx ，得1 ex ， 5 分 ( )f x 在 1 ,1 e 上单调递增，在1, e上单调递减， max 1 ( )(1) 2 f xf 6 分 （2） 当 0b 时， ( )lnf xax ， 若不等式 ( )f xmx 对所有的 3 0, 2 a ， 2 (1, e x 都成立， 即 lnmaxx 对所有的 3 0, 2 a ， 2 (1, e x 都成立，7 分 令 ( )lnh aaxx ，则 ( )h a 为一次函数，所以 min ( )mh a 8 分 2 (1, e x ，所以ln 0x ，所以 ( )h a 在 3 0, 2 a 上单调递增， min ( )(0)h ahx ， 10 分 m x 对所有的 2 (1, e x 都成立 2 1ex ，所以 2 e1x ， 2 min ()emx 则实数m的取值范围为 2 (,e 12 分
