1、 安徽省滁州市定远县民族中学 2017-2018 学年 高二下学期期中考试（理） （本卷满分（本卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟）分钟） 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第第 I 卷（选择题卷（选择题 60 分）分） 一、选择题一、选择题（本题有（本题有 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。 ）分。 ） 1.设 为虚数单位，则复数 的共轭复数为 （ ） A. B. C. D. 2.已知复数 在复平面对应的点在第四象限，则实数 的取 值范围是 （ ） A. B. C. D.-1,4 3.计算： =
2、（ ） A.2 B.2 C.2i D.2i 4.已知复数 z=2+i，则复数 的模为（ ） A.1 B. C. D.2 5.已知函数 32 32f xaxx，若14f，则a的值等于（ ） A. 19 3 B. 16 3 C. 10 3 D. 8 3 6.已知函数 f（x）= ，则 y=f（x）的图象大致为（ ） A.B.C.D. 7.已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=（x+1）ex则对任 意的 mR，函数 F（x）=f（f（x）m 的零点个数至多有（ ） A.3 个 B.4 个 C.6 个 D.9 个 8.定积分 =（ ） A.10ln3 B.8ln3 C.
3、D. 9.对任意的0x，总有 lg0f xaxx ，则a的取值范围是（ ） A. lglg lgee ， B. 1， C. 1 lglg lgee ， D. lglg lgee ， 10.由曲线 y= ，直线 y=x2 及 y 轴所围成的图形的面积为（ ） A. B.4 C. D.6 11.用数学归纳法证明 1+a+a2+an+1=（a1，nN*） ，在验证当 n=1 时， 等式左边应为（ ）. A. 1 B. 1+a C. 1+a+a2 D. 1+a+a2+a3 12.用反证法证明“若 a+b+c3，则 a，b，c 中至少有一个小于 1”时，“假设”应为 （ ） A. 假设 a，b，c 至少
4、有一个大于 1 B. 假设 a，b，c 都大于 1 C. 假设 a，b，c 至少有两个大于 1 D. 假设 a，b，c 都不小于 1 第第 II 卷（非选择题卷（非选择题 90 分）分） 二、填空题二、填空题（本题有（本题有 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。）分。） 13.观察下列数表： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 设 2017 是该表第m行的第n个数，则mn的值为_ 14.已知复数 ，则|z|= 15.若函数 f(x)xsin xcos x，则 f 2 _ 16.已知函数 下列四个命题： f(f（1）)f（3）；
5、x0(1,+),f(x0)=-1/3； f(x)的极大值点为 x=1； x1,x2(0,+),|f(x1)-f(x2)|1 其中正确的有 （写出所有正确命题的序号） 三、解答题三、解答题（本题有（本题有 6 小题，共小题，共 70 分。）分。） 17. （6 分）分）设复数，若，求实数的值 18. （14 分）分）已知函数 （ ） （1）求函数 的单调增区间； （2）若函数 在 上的最小值为 ，求 的值. 19. （14 分）分）在数列 n a中， 1 1a ，当2n时， 1 , 2 nnn aSS 成等比数列。 （1）求 234 ,a a a，并推出 n a的表达式； （2）用数学归纳法证明
6、所得结论. 20. （12 分）分）设 2 0 28(0) x F xttdt x （1）求 F x的单调区间； （2）求函数 F x在13，上的最值 21. （12 分）分）（1）当0n时，试用分析法证明： 211nnnn ； （2）已知xR， 2 1,22axbx.求证： ab、中至少有一个不小于 0. 22. （12 分）分）现有一张长为108cm，宽为cma（108a）的长方形铁皮ABCD， 准备用它做成一个无盖长方体铁皮容器，要求材料利用率为 100%，不考虑焊接 处损失.如图，在长方形ABCD的一个角上剪下一块边长为cmx的正方形铁皮， 作为铁皮容器的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮
7、容器的侧面，设长方体的高为 cmy，体积为 3 cmV. （）求y关于x的函数关系式； （）求该铁皮容器体积V的最大值. 参考答案 1.B 【解析】 由于 ，所以 的共轭复数为 ，故答案为：B. 把分母实数化乘以分母的共轭复数整理即可得到该复数的共轭复数。 2.C 【解析】复数 ， 在复平面内对应的点 在第四象限，则 ， 解得 . 实数 a 的取值范围是(1,4). 故答案为：C. 3. 【解析】 = = =2， 故答案为： A 4.B 【解析】：z=2+i， ， 则复数 的模 ， 故选：B 5.C 【解析】 2 10 36436, 3 fxaxxaa ,选 C. 6.B 【解析】：设 g(x
8、)=ln(x+1)-x, 则 g（x）= g（x）在（1，0）上为增函数，在（0，+）上为减函数 g（x）g（0）=0 f（x）= 0 得：x0 或1x0 均有 f（x）0 排除 A，C， 又 f（x）= 中， ，能排除 D 故答案为： B 7.A 【解析】当 x0 时，f（x）=（x+1）ex，可得 f（x）=（x+2）ex， 可知 x（，2），函数是减函数，x（2，0）函数是增函数， f（2）= ，f（1）=0，且 x0 时，f（x）1，又 f（x）是定义在 R 上的 奇函数，f（0）=0，而 x（，1）时，f（x）0， 所以函数的图象如图：令 t=f（x）则 f（t）=m， 由图象可知：
9、当 t（1，1）时，方程 f（x）=t 至多 3 个根，当 t（1，1） 时，方程没有实数根， 而对于任意 mR，方程 f（t）=m 至多有一个根，t（1，1）， 从而函数 F（x）=f（f（x）m 的零点个数至多有 3 个 故答案为：A 当 x0 时，f（x）=（x+1）ex，可得 f（x）=（x+2）ex可知 x（，2）， 函数是减函数，x（2，0）函数是增函数，并且 f（2）= ，f（1）=0， 且 x0 时，f（x）1，根据 f（x）为奇函数，其图像关于原点对称，根据分析 结果，作出 f（x）的大致图象，数形结合不难得出零点最多为 3 个. 8.B 【解析】 = =8ln3， 故答案为
10、：B 9.A 【解析】原问题即lgxxa 在区间0,上恒成立，考查临界情况，即函数 lgg xx与 h xxa 相切时的情形， 很明显切点横坐标位于区间0,1内，此时， 1 lg , ln10 g xx gx x ， 由 1gx 可得： 1 lg ln10 xe ， 则切点坐标为： lg , lg lgee， 切线方程为： lg lglgyexe， 令0x可得纵截距为： lglg lgee， 结合如图所示的函数图象可得则a的取值范围是lglg lgee ，. 10.C 【解析】联立方程 得到两曲线的交点（4，2）， 因此曲线 y= ，直线 y=x2 及 y 轴所围成的图形的面积为： S= 故答
11、案为：C 11.C 【解析】本题难度适中，直接代入，当时，左边，故选 C. 12.D 【解析】由于命题：“若 a，b，c 中至少有一个小于 1”的反面是：“a，b，c 都不小于 1”， 故用反证法证明“若 a+b+c3，则 a，b，c 中至少有一个小于 1”时，“假设”应为“a，b，c 都 不小于 1”， 故选 D 13.508 【解析】根据数表的数的排列规律， 1,3,5,.都是连续奇数第一行，有1个数，第二行，有 2个数,且第一个数是 2 21；第三行，有3个数，且第一个数是 3 21；第四行，有4个数， 且第一个数是 4 21.，第n行，有n个数，且第一个数是21 n ， 1011 21
12、 1023,212047 ， 2017在第10行， 20171023+12,498nn， 2017是第10行的第498个数， 10 498508m n，故答案为508. 14. 【解析】复数 = =i1， 则|z|= = 故答案为： 15.0 【解析】f(x)xsin xcos x， f(x)(xsin xcos x)(xsin x)(cos x)sin xxcos xsin xxcos x. f 2 2 cos 2 0. 答案：0 16. 【解析】 函数 的图形如图所示，对于 ， ， 正确；对于 ， 时， ，故 正确；对于 ，根据图形可判断 正确；对于 ， 时， ，故正确. 故答案为： .
13、17.a=-3,b=4. 【解析】 2 2 2 13 132355 1 2255 1121 13 214 iiiiii zi ii zazbiaibabaii aba ab 解： 解得： 18.（1）由题意， 的定义域为 ，且 . 当 时， ， 的单调增区间为 . 当 时， 令 ， 得 ， 的单调增区间为 . （2）解：由（1）可知， . 若 ， 则 ， 即 在 上恒成立， 在 上 为增函数， ， （舍去）. 若 ， 则 ， 即 在 上恒成立， 在 上 为减函数， ， （舍去）. 若 ，当 时， ， 在 上为减 函数， 当 时， ，所以 上为增函数， ， 综上所述， . 19.（1） 11 2
14、 2 2321 n n a n nn ； （2）见解析. 【解析】 （1） 1 , 2 nnn aSS 成等比数列， 2 1 2 2 nnn SaSn 由 12122 1,1aSaaa 代入得 2 2 3 a 由 1222 21 1, 33 aaSa 代入得 3 2 15 a 同理可得 4 2 35 a ，由此推出： 11 2 2 2321 n n a n nn . （2）证明：当1,2n 时，由（1）知成立， （2）假设2nk k时，命题成立，即 2 2321 k a kk ， 2 21 23212 kk SS kk 2 23 21210 kk kkSS ， 11 , 2123 kk SS
15、kk （舍） 2 111 1 2 kkk SaS ， 2 111 1 2 kkkkk SaaSa 2 111 111 21212 kkk aaa kk 1 2 21 21 k a kk 也就是说，当1nk时，命题也成立 根据（1） （2）对于任意 * nN， 11 2 2 2321 n n a n nn . 20.（1）函数的单调增区间是2 ，单调递减区间是0 2， （2）最大值是 36F ，最小值是 28 2 3 F 【解析】 （1）因为依题意得， 23232 0 0 11 288|8 33 x x F xttdttttxxx 定义域是0 ，然后求解 2 28Fxxx，结合二次不等式得到单调
16、区间。 （2）在第一问的基础上可知知道极值，然后比较机制和端点值的大小得到结论。 解：依题意得， 23232 0 0 11 288|8 33 x x F xttdttttxxx 2 分 定义域是0 ，3 分 （1） 2 28Fxxx5 分 令 0Fx，得2x或4x， 令 0Fx，得42x 7 分 由于定义域是0 ， 函数的单调增区间是2 ，单调递减区间是0 2，8 分 （2）令 0Fx，得24xx 舍，9 分 由于 20 1 3 F ， 28 2 3 F ， 36F ，11 分 F x在13，上的最大值是 36F ，最小值是 28 2 3 F 14 分 21.（1）见解析（2）见解析 【解析】
17、 (1)要证211nnnn 即证221nnn 只要证 22 221nnn 即证 222244nn nn 即证21n nn 只要证 22 221nnnn 而上式显然成立 所以 211nnnn 成立 （2）假设 0a且0b 由 2 10ax 得11x 由220bx得1x， 这与11x 矛盾 所以假设错误 所以ab、中至少有一个不小于 0 22. （） 2 108 4 ax y x （0xa） . （） 23 max 3 1 108cm,036, 4 108cm,36108. aaa V x a aa 【解析】 （ （）由题意得 2 4108xxya， 即 2 108 4 ax y x （0xa）. （）铁皮容器体积 2 22108 4 ax V xx yx x 3 1 108 4 xax（0xa）. 2 1 3108 4 Vxxa 3 66 4 xaxa， 当036a时，即6 aa，在0,a上， 0Vx恒成立，函数 V x单调递增， 此时 2 max 1 108 4 V xV aaa； 当36108a，即6 aa，在 0,6 a上， 0Vx，函数 V x单调递增，在 6 ,a a 上， 0Vx，函数 V x单调递减，此时 max 6108V xVaa a. 所以 23 max 3 1 108cm,036, 4 108cm,36108. aaa V x a aa
