1、 福建省福州市八县（市）协作校 2017- 2018 学年 高二下学期期中联考（理） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分；在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1i 是虚数单位，复平面内，复数 7i 34i对应点位于( * ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知 A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)三点，则ABC 是( * ) A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D等腰三角形 3用反证法证明命题：“若 a，bN，ab 能被 3 整除，那么 a，b 中至少有一个能被 3 整除” 时，假设应为( * ) Aa
2、，b 都能被 3 整除 Ba，b 都不能被 3 整除 Ca，b 不都能被 3 整除 Da 不能被 3 整除 4由y2x5 是一次函数；y2x5 的图象是一条直线；一次函数的图象是一条直 线写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( * ) A B C D 5曲线 y4xx3在点(1，3)处的切线方程是( ) Ay7x4 Byx4 Cy7x2 Dyx2 6曲线 yx33x 和 yx 围成图形的面积为( * ) A4 B8 C10 D9 7在复平面内，若复数 z 满足|z1|1iz|，则 z 在复平面内对应点的轨迹是( * ) A直线 B圆 C椭圆 D抛物线 8在长方体
3、ABCD- A1B1C1D1中，底面是边长为 2 的正方形，高为 4，则点 A1到截面 AB1D1 的距离为( * ) A.8 3 B. 3 8 C. 4 3 D.3 4 9已知函数 f(x)x3ax2x1 在(，)上是单调函数，则实数 a 的取值范围是 ( * ) A(， 3)( 3，) B( 3， 3) C 3， 3 D(， 3) 3，) 10观察(x2)=2x，(x4)=4x3，y=f(x)，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(- x)=f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(- x)=( * ) A.g(x) B.- g(x) C.f(x) D.- f
4、(x) 11已知函数 f(x)的导函数 f(x)a(xb)2c 的图象如图所示，则函数 f(x)的图象可能是 ( * ) 12已知函数 f(x)x3ln( x21x)，则对于任意实数 a，b(ab0)，则 ba bfa )()(f 的值 为( * ) A恒正 B恒等于 0 C恒负 D不确定 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分；将正确答案填在题中的横线上) 13若复数 z 2 1 3i，其中 i 是虚数单位，则| z |_*_*_*_*_. 14正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 BC1与平面 A1BD 夹角的正弦值是_*_*_*_ 15.请阅读下列材料：若两个正
5、实数 a1、a2满足 a21a221，那么 a1a2 2.证明：构造函数 f(x)(xa1)2(xa2)22x22(a1a2)x1.因为对一切实数 x，恒有 f(x)0，所以 0，从 而得 4(a1a2)280，所以 a1a2 2.类比上述结论，若 n 个正实数满足 a21a22a2n 1，你能得到的结论为 * * * * * * * * 16观察下图中各正方形图案，各边上有 n(n2)个点，第 n 个图中圆点的总数是 Sn. n2，S24；n3，S38；n4，S412；.按此规律，推出 Sn与 n 的关系式为 _*_*_*_*_*_*_*_*_*_*_ 三、解答题(本大题共 6 小题，共 7
6、0 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)已知 aR，问复数 z(a22a4)(a22a2)i 所对应的点在第几 象限？复数 z 对应点的轨迹是什么？ 18 (本小题满分 12 分)如图， 在直三棱柱 A1B1C1ABC 中， ABAC， ABAC2， A1A4， 点 D 是 BC 的中点 (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值； (2)求平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值 19(本小题满分 12 分) (1)用分析法证明:设 a，b，c 为一个三角形的三边，S1 2(abc)，且 S 22ab，求证： S2a. (2)已知函
7、数 f(x)axx2 x1(a1)，用反证法证明方程 f(x)0 没有负根 20(本小题满分 12 分)是否存在常数 a，b，使等式+ =对于一切 nN*都成立？若不存在， 说明理由； 若存在， 请用数学归纳法证明.(提示：可先令 n=1，2 求出 a，b 的值再证明) 21(12 分)如图，有一个长方形地块 ABCD，边 AB 为 2km，AD 为 4km，地块的一角是湿 地(图中阴影部分)，其边缘线 AC 是以直线 AD 为对称轴，以 A 为顶点的抛物线的一部分， 现要铺设一条过边缘线 AC 上一点 P 的直线型隔离带 EF，E，F 分别在边 AB，BC 上(隔离 带不能穿越湿地，且占地面
8、积忽略不计).设点 P 到边 AD 的距离为 t(单位：km)，BEF 的面 积为 S(单位：km2). (1)求 S 关于 t的函数解析式，并指出该函数的定义域. (2)是否存在点 P，使隔离出的BEF 面积 S 超过 3km2？并说明理由. 22(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)lnx1 2ax 22x(a0 时恒成立，即 ax22x10 在 x0 时恒成立， 则 a12x x2 (1 x1) 21 在 x0 时恒成立， 即 a(1 x1) 21) min (x0)，- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
9、- - - - - - - - 3 分 当 x1 时，(1 x1) 21 取最小值1， a 的取值范围是(，1- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4 分 (2)a1 2，f(x) 1 2xb 1 4x 23 2xlnxb0. 设 g(x)1 4x 23 2xlnxb(x0)，则 g(x) x xx 2 ) 1)(2( .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
10、 - - 5 分 g(x)，g(x)随 x 的变化如下表： x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g(x) 0 0 g(x) 极大值 极小值 g(x)极小值g(2)ln2b2，g(x)极大值g(1)b5 4， 又 g(4)2ln2b2，- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7 分 方程 g(x)0 在1,4上恰有两个不相等的实数根则 0)4( 0)2( 0) 1 ( g g g ， 得 ln22b5 4.- - - - - - - - - - - - - -
11、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8 分 (3)设 h(x)lnxx1，x1，)，则 h(x)1 x10， h(x)在1，)上为减函数 h(x)maxh(1)0，故当 x1 时有 lnxx1.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 10 分 当 n1 时，a111 成立； 假设 nk 时，ak2k1，则当 nk1 时， 2k11，ln(2k1)(2k1)12k2， ak1lnakak2ln(2k1)(2k1)2 (2k2)(2k1)22k 11， 所以当 nk1 时结论也成立， 由得，对nN*有 an2n1 成立- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 12 分
