1、多多维维分分布布 第第 三三 章章 多维多维 随机变量及其分布随机变量及其分布在实际问题中在实际问题中, 试验结果有时需试验结果有时需同时用两个或两个以上的同时用两个或两个以上的 r.v.来描述来描述. 例如例如 用温度和风力来描述天气用温度和风力来描述天气情况情况. 通过对含碳、含硫、含磷量的通过对含碳、含硫、含磷量的之间的联系之间的联系, 就需考虑多维就需考虑多维 r.v.及其取及其取测定来研究钢的成分测定来研究钢的成分. 要研究这些要研究这些 r.v.值规律值规律多维分布多维分布.3.1 二维随机变量及其分布定义定义 设设 为随机试验的样本空间为随机试验的样本空间，2)(),(RYX一定
2、法则则称则称( X , Y )为为二维二维r.v.或或二维随机向量二维随机向量讨论：讨论： 二维二维r.v.作为一个整体的概率特性作为一个整体的概率特性 其中每一个其中每一个r.v.的概率特性与整体的概率特性与整体 的概率特性之间的关系的概率特性之间的关系 二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数定义定义 设设( X , Y ) 为二维为二维 r.v. 对任何一对对任何一对)()(yYxX定义了一个二元定义了一个二元实函数实函数 F ( x , y )，称为二维，称为二维 r.v.( X ,Y ) 的分布函数，即的分布函数，即yYxXPyxF,),(记为记为 )yYxX ,的概率的
3、概率yYxXP ,实数实数( x , y ), 事件事件分布函数的几何意义如果用平面上的点如果用平面上的点 (x, y) 表示二维表示二维r.v. (X , Y )的一组可能的取值，则的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示表示 (X , Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率的取值落入图所示角形区域的概率.(x, y)xy(,) 联合分布函数的性质联合分布函数的性质(,) 0F ),(xy(x, y)xy),(1),(0yxF(,) 1F ( ,)0F x xyxy(, )0Fy固定 x , 对任意的 y1 y2 , 固定 y , 对任意的 x1 x2 , F (x0 , y0) = F
4、 (x0+ 0 , y0 )F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 )对每个变量单调不减对每个变量单调不减对每个变量右连续对每个变量右连续F (x, y1) F (x, y2)F (x1,y) F (x2, y)F (b,d) F (b,c) F (a,d) + F (a,c) 0事实上事实上对于任意对于任意 a b , c 2)解解 (1)122),(CBAF022),(CBAF022),(CBAF21,2,2ACB(2),()(xFxFX.,2arctan121xx),()(yFyFY.,2arctan121yy(3) 2(1) 2(XPXP22arctan1211.4/
5、1可以将二维可以将二维 r.v.及其边缘分布函数的及其边缘分布函数的概念推广到概念推广到 n 维维 r.v.及其联合分布函及其联合分布函数与边缘分布函数数与边缘分布函数定义定义 若二维若二维 r.v.(X ,Y )所有可能的取值所有可能的取值 为有限多个或无穷可列多个为有限多个或无穷可列多个, 则称则称 (X ,Y ) 为为二维离散型二维离散型 r.v.要描述二维离散型要描述二维离散型 r.v.的概率特性及的概率特性及其与每个其与每个 r.v.之间的关系常用其之间的关系常用其联合联合概率分布概率分布和和边缘概率分布边缘概率分布二维离散型二维离散型 r.v.及其概率特性及其概率特性联合分布律联合
6、分布律设( X ,Y )的所有可能的取值为则称为二维 r.v.( X ,Y ) 的联合概率分布也简称 概率分布 或 分布律显然，, 2 , 1,),(jipyYxXPijji, 2 , 1,),(jiyxji, 2 , 1, 0jipij111ijijp二维离散二维离散 r.v.的联合分布函数的联合分布函数,.xy已知联合分布律可以求出其联合分布函数反之, 由分布函数也可求出其联合分布律,2, 1, ji,),(xxyyijijpyxF) 0, 0(), 0(jijiyxFyxF) 0,(),(),(jijijiyxFyxFyYxXP二维离散二维离散 r.v.的边缘分布律的边缘分布律, 2 ,
7、 1,)(1ippxXPijiji记作, 2 , 1,)(1jppyYPjiijj记作由联合分布可确定边缘分布由联合分布可确定边缘分布, ,其逆不真其逆不真. .x1 xi 11pjp11 ipijpXY ( X ,Y ) 的联合分布律y1yj1x1 xi 11pjp11 ipijppip1pip jp1p jyjy1XY 联合分布律联合分布律及边缘分布律及边缘分布律),(jiijyYxXPp的求法的求法 利用古典概型直接求；利用古典概型直接求； 利用乘法公式利用乘法公式. )()(ijiijxXyYPxXPp例例3 3 某校新选出的学生会某校新选出的学生会 6 名女委员名女委员, 文、文、理
8、、工科各占理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机，现从中随机指定指定 2 人为学生会主席候选人人为学生会主席候选人. 令令X , Y 分分别为候选人中来自文、理科的人数别为候选人中来自文、理科的人数. 解解 X 与与Y 的可能取值分别为的可能取值分别为0 , 1与与0 , 1 , 2. 求求(X, Y) 的联合分布律和边缘分布律的联合分布律和边缘分布律.,15/325232625CCCC) 00() 0() 0, 0(XYPxPYXP由乘法公式由乘法公式,15/ 3/) 0, 1(261311CCCYXP,15/2/) 1, 1(261211CCCYXP. 0) 2, 1( YXP,1
9、5/6/) 1, 0(261312CCCYXP;15/ 1/) 2, 0(2622CCYXP,15/3/)0, 0(2623CCYXP或由古典概型或由古典概型相仿有相仿有故联合分布律与边缘分布律为 0 10 1 23/15 6/15 1/153/15 2/15 0XY pip j1/32/316/15 8/15 1/15例例4 4 二元两点分布XY pijp jpi1 010p 00 qp qpq1p + q = 1 ，0 p 1二维连续二维连续 r.v.及其概率特性及其概率特性定义定义 设二维设二维 r.v.( X ,Y )的分布函数为的分布函数为 F(x ,y ),若存在非负可积函数若存在
10、非负可积函数 f (x,y) , 使得对于任意实数使得对于任意实数 x , y 有有 xydvduvufyxF),(),(则称则称( X ,Y ) 为为二维连续型二维连续型 r.v. f (x,y) 为为( X ,Y ) 的的联合概率密度函数联合概率密度函数简称简称概率密度函数概率密度函数简记简记 p.d.f.联合密度与联合分布函数的性质联合密度与联合分布函数的性质除除 d.f. 的一般性质外还有下述性质的一般性质外还有下述性质),(2yxfyxFyxyxf),(),(yyYyxxXxP从而有从而有0),(yxf11),( dydxyxf2对每个变元连续对每个变元连续, 在在 的连续点处的连续
11、点处),( yxf3P( X = a ,- Y + ) = 0P(- X + , Y= a ) = 0GdxdyyxfGYXP),(),(若若G 是平面上的区域，则是平面上的区域，则P( X = a ,Y = b ) = 04 xXdvduvufxF),()(边缘分布函数与边缘边缘分布函数与边缘 d.f. yYdudvvufyF),()( )( , )Xfxf x y dy( )( , )Yfyf x y dx例5 设 r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为其他, 0, 10 ,0,),(yyxkxyyxf其中k 为常数. 求(1)常数 k ;(2) P ( X + Y 1) , P
12、( X X 2 );(3) ( X ,Y ) 在平面上的落点到 y 轴距离小于0.3的概率.求解解 (1)y=x10 xy1其他, 010 ,0, 2),(xxyyxfG(2)y = x21022xxdydx. 3/ 1)(2XYP(3) 3 . 03 . 0() 3 . 0|(|XPXP09. 0)3 . 0(2122y = x10 xy10.3若r.v.( X ,Y ) 的联合为yx,则称( X ,Y ) 服从参数为1,12,2,22, 的正态分布, 记作( X ,Y ) N(1,12;2,22; ) 其中1,20, -1 1 .二维正态分布二维正态分布2222212121212)()(2
13、)()1 ( 21yyxxe221121),(yxf二维正态分布图二维正态分布图二维正态分布剖面图二维正态分布剖面图正态分布的边缘分布仍为正态分布正态分布的边缘分布仍为正态分布xexfxX,21)(21212)(1yeyfyY,21)(22222)(2正态分布性质2设(X,Y )为二维 r.v. 若对任何)()(),(yYPxXPyYxXP则称 r.v. X 和Y 相互独立 两个两个 r.v. 的相互独立性的相互独立性 将事件独立性推广到 r.v.实数 x, y 都有定义由定义知二维 r.v. ( X, Y ) 相互独立)()(),(yFxFyxFYX)()(),(,dYcPbXaPdYcbX
14、aPdcba)()(),(,cYPaXPcYaXPRcaX与Y 独立)()(),(jijiyYPxXPyYxXP即jiijppp连续型)()(),(yfxfyxfYX二维随机变量二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立相互独立, ,则边缘分布完全确定联合分布则边缘分布完全确定联合分布对一切 i , j 有离散型X与Y 独立对任何 x ,y 有.).( ea设离散 r.v. X ,Y 相互独立, 且服XP-1 10.5 0.5Y P-1 10.5 0.5问题问题从同一分布, 是否有 X = Y ？为简单计不妨假设-1 1 -1 10.25 0.250.25 0.250.5 0.5 ipjp0.5
15、 0.5XY 由X ,Y 独立性故不能说 X = Y .由上表易得:) 1, 1(YXP)(YXP) 1,1(YXP5 . 025. 025. 0（即使概率为1的事件未必是必然事件）02222212121212)()(2)()1 ( 21221121yyxxe证对任何 x, y 有21,yx取);,;,(),(222211NYXX与Y 相互独立正态分布性质3(必要性必要性)222221212)(22)(12121yxee212212121121故0充分性充分性 将0代入),(yxf即得)()(),(yfxfyxfYX例例1 1 已知 ( X, Y ) 的联合 d. f.为其他, 010 , 1
16、0,4),(1yxxyyxf(1)其他, 010 ,0,8),(2yyxxyyxf(2)讨论X ,Y 是否独立？解解(1) 由图知边缘 d.f. 为11其他, 0, 10,2)(xxxfX其他, 0, 10,2)(yyyfY显然，)()(),(1yfxfyxfYX故 X ,Y 相互独立(2) 由图知边缘 d. f. 为其他0, 10, )1 (4)(2xxxxfX其他, 0, 10,4)(3yyyfY显然，)()(),(2yfxfyxfYX故 X ,Y 不独立11判独立的一个重要命题个重要命题 设 X ,Y 为相互独立的 r.v. u(x),v(y)为连续函数, 则 U=u ( X ) , V
17、=v (Y ) 也相互独立. 即独立 r.v.的连续函数仍独立.若 X ,Y 为相互独立的 r.v.则a X + b, cY + d 也相互独立；X 2, Y 2 也相互独立；随机变量相互独立的概念随机变量相互独立的概念可以推广到可以推广到 n n 维随机变量维随机变量)()()(2211nnxXPxXPxXP),(2211nnxXxXxXP若则称 r.v. X 1, X 2 , , X n 相互独立由命由命题知题知876. 6脚印长度身高算出罪犯的身高. 这个公式是 公安人员根据收集到的罪犯脚印，通过公式 由脚印估计罪犯身高 如何推导出来的?显然，两者之间是有统计关系的，故X设一个人身高为
18、,脚印长度为 .Y 由于影响人类身高与脚印的随机因素是大量的、相互独立的，且各因素的影响又是微小的,可以叠加的. 故),(YX应作为二维随机变量 来研究. 由中心极限定理知 可以近似看),(YX. );,(222211uuN成服从二维正态分布;,;,222211uu其中参数 因区域、民族、生活习惯的不同而有所变化 ，但它们都能通过统计方法而获得.密度为现已知罪犯的脚印长度为 , 要y估计其身高就需计算条件期望 , 条件)(),()|(|yfyxfyxfYYX 的密度函数, 因此 )1 (),(2212211uyuN 这正是正态分布 )()|(2211uyuyYXE2)(exp)()(2)()1 ( 21exp.12222222222212122122212uyuyuyuxux 如果按中国人的相应参数代入上式，即可得出以脚印长度作自变量的身高近似公式. 设随机变量 Z 服从参数为 1 的指数分布，引入随机变量：21201110ZZYZZX求 ( X , Y ) 的联合分布律和联合 问问 题题分布函数.
