1、 4.2 方差方差 随机变量随机变量X 的数学期望反映了其取值的的数学期望反映了其取值的“中心位置中心位置”，是，是其其全部可能值的全部可能值的“加权平均加权平均”在实际中，常常需要知道在实际中，常常需要知道X 的取的取值值与期望值与期望值E(X)的偏离程度，例如：设甲、乙两炮射击弹着点与的偏离程度，例如：设甲、乙两炮射击弹着点与目标的距离分别为目标的距离分别为X、Y，并有如下分布率，并有如下分布率 xi80859095100pi0.20.20.20.20.2 yi 8587.59092.595pi0.20.20.20.20.290)(90)( YEXE于于是是但从数据上看乙炮比甲炮准但从数据
2、上看乙炮比甲炮准(乙炮弹着点较集中乙炮弹着点较集中)。这说明仅仅用期望值不能完整地说明随机变量的分布特征这说明仅仅用期望值不能完整地说明随机变量的分布特征,还必须研究其偏差。那么，用怎样的量去度量这个偏差呢？还必须研究其偏差。那么，用怎样的量去度量这个偏差呢？如果用如果用XE(X)来衡量来衡量X与与E（X）的偏差，会因为正、负偏）的偏差，会因为正、负偏差相互抵消，而不能反映偏差的大小；用差相互抵消，而不能反映偏差的大小；用|XE(X)|又会因为绝又会因为绝对值运算不好处理数理统计中选用对值运算不好处理数理统计中选用EXE(X)2来刻划来刻划X 的取的取值与值与E（X）的偏差程度）的偏差程度一、
3、方差的定义和计算一、方差的定义和计算定义定义设设X是一个随机变量，若是一个随机变量，若EXE(X)2存在，则称其为存在，则称其为随机变量随机变量X 的的方差方差，记作，记作D(X)或或VarX，即，即 D(X)=EXE(X)2)(XD叫叫X的的标准差标准差,或或均方差均方差.也记作也记作).(X 若若X为离散型随机变量，其分布律为为离散型随机变量，其分布律为PX=xk=pk(k=1,2,)则则kkkpXExXD2)()( 若若X为连续型随机变量，其概率密度函数为为连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则，则 dxxfXExXD)()()(2按定义，按定义，随机变量随机变量X 的方差表达了的
4、方差表达了X 的取值与其数学期望的取值与其数学期望的偏离程度的偏离程度若若X取值比较集中，则取值比较集中，则D(X)较小；若较小；若X取值比较分取值比较分散，则散，则D(X)较大因此，较大因此，D(X)是刻划取值分散程度的度量是刻划取值分散程度的度量由由D(X)= EXE(X)2，可知，可知D(X)是随机变量函数的数学期是随机变量函数的数学期望用期望的性质，并注意到望用期望的性质，并注意到E(X)是一个数，不难得出是一个数，不难得出 D(X)= EXE(X)2=EX 22E(X)XE 2(X)=E(X2)2E 2(X)E 2(X)=E(X 2)E 2(X)即即D(X)= E(X 2)E 2(X
5、)例例1已知已知X 的概率密度，求的概率密度，求D(X)。.10, 01, 0,1,1)(其其他他 xxxxxf 10010)1()1()(dxxxdxxxXE解解： 102012261)1()1()(dxxxdxxxXE于是于是D(X)= E(X 2)E 2(X)=1/6二、一些重要分布的方差二、一些重要分布的方差例例2(两点分布两点分布)分布律为分布律为PX=1=p，PX=0=1p则则 E(X)=pE(X 2)=12p02(1p)=p于是于是D(X)= E(X 2)E 2(X)=pp2=p(1p)例例3(二项分布二项分布)X 服从参数为服从参数为n, p的二项分布，分布律为的二项分布，分布
6、律为knkknkqpCkXPp 由于由于E(X)=n p(k=0,1,2,n；0p1, q=1p)knkknnkknokqpCkpkXE 0222)(而而两边求导：两边求导：对对 nkknkknnqpCqp0)(将看作将看作把把p 看作变量看作变量 nkknkknnqkpCqpn011)(两边乘两边乘p得得 nkknkknnqkpCqpnp01)(再对再对p求导数得求导数得 nkknkknnnqpkCqppnnqpn01221)()1()(两边再乘两边再乘p得得 nkknkknnnqpkCqppnnqpnp02221)()1()(而而pq=12)1(pnnnp )()()(22XEXEXD 于
7、是于是knkknnkqpCkXE 022)(22pnnpq npqnppnnpq 222)(例例4(泊松分布泊松分布)设设XP()，求，求D(X)解：分布律为解：分布律为), 2 , 1 , 0(! kkekXPpkk )(XE由于由于所以所以E(X 2)= EX(X1)+ X= EX (X1)+E(X ) 0!)1(kkekkk 222)!2(kkke ee2 2 D(X)=E(X 2)E 2(X) 22例例5(均匀分布均匀分布)设设X在在a,b上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求D(X)解解X 的概率密度函数的概率密度函数 ,0,1)(baxbaxabxf2)(abXE 由由于于 dxxf
8、xXE)()(22322aabb 12)(4)(22abab 322aabb badxabx2所以所以 D(X)=E(X 2)E 2(X)例例6(正态分布正态分布)XN(,2),求求D（X）解解X的概率密度函数的概率密度函数222)(21)( xexf2)()(XEXEXD dtettxt22222 dteettt222222212 )(XE由由于于 dxxfx)()(2 dxexx222)(221)( 2222tdet 220 可见可见正态分布正态分布N(,2)中的参数中的参数2正是它的方差正是它的方差.特别当特别当X N(0,1)时，时，D(X)=1.例例7(指数分布指数分布)设设X 服从
9、参数为服从参数为的指数分布，求的指数分布，求D(X)解解X 的概率密度函数的概率密度函数 02)(xdex 00220dxeexxx . 0, 0, 0,)( xxexfx 1)( XE由由于于 dxxfxXE)()(22 0022dxxeexxx 20222 xe 02dxexx 所以所以 D(X)=E(X 2)E 2(X)2221)1(2 三、方差的性质三、方差的性质若若X与与Y的方差的方差D(X)和和D(Y)都存在，则有下列性质：都存在，则有下列性质：(1)D(C)=0，其中，其中C为常数；为常数；(2)D(kX)=k 2D(X)，其中，其中k为常数；为常数；(3)若若X、Y相互独立，则
10、有相互独立，则有D(XY)=D(X) D(Y)；(4)D(X)=0的充要条件是的充要条件是PX=a=1，其中常数，其中常数a=E(X)证明证明(1)E(C)=C，ECE(C)2=0(2)D(kX)=EkXE(kX)2=EkXkE(X)2= Ek2XE(X)= k 2EXE(X)2=k 2D(X)(3)D(XY)=E(XY)E(XY)2=EXE(X)22XE(X)YE(Y)YE(Y)2= EXE(X)22EXE(X)YE(Y)EYE(Y)2当当X、Y 相互独立时，相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y) EXE(X)YE(Y)= E(XY)E(X)E(Y)=0因此因此D(XY)= D(X)+D(
11、Y)性质性质(3)还可以推广到还可以推广到n个随机变量的情况个随机变量的情况若若X1,X2,Xn相互独立，那么相互独立，那么 D(X1+X2+Xn)=D(X1)D(X2)D(Xn)性质性质(4)证明从略证明从略例例8二项分布可以作为多个二项分布可以作为多个01分布之和分布之和若若XB(n,p)，则，则E(X)=np,D(X)=np(1p)从另一个角度从另一个角度来考虑，来考虑，X可以看作是可以看作是n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A出现的次数，其出现的次数，其中中A 在每次试验中出现的概率为在每次试验中出现的概率为p，现令，现令 .0,1不不出出现现次次试试验验中中在在第第出出现现次次试
12、试验验中中在在第第AiAiXi显然显然Xi是服从是服从01的随机变量，所以的随机变量，所以 E(Xi)=p D(Xi)= p(1p)而而X= X1X2Xn,且且X1、X2、Xn是相互独立的是相互独立的,于是于是由期望与方差的性质可得由期望与方差的性质可得E(X)=E(X1X2Xn)= E(X1)E(X2)E(Xn)=n p.D(X)=D(X1X2Xn)=D(X1) D(X2)D(Xn)=n p(1p)求这个投资组合收益的均值和方差求这个投资组合收益的均值和方差解解:事实上这个投资组合的收益为事实上这个投资组合的收益为)()()(11iniiiniiXEaXaEYE 于于是是 niiiXaY1投
13、资组合的风险通常用受益的方差来表示：投资组合的风险通常用受益的方差来表示：)()()(121iniiiniiXDaXaDYD 例例9设有设有n种股票种股票,月收益分别是互相独立的随机变量月收益分别是互相独立的随机变量X1，X2，Xn某投资者持有一个单位的资金某投资者持有一个单位的资金(比如比如100万元万元),他以投资组合他以投资组合(a1,a2,an)购买这购买这n种股票种股票,其中其中ai是投资于第是投资于第i 种股票的份额种股票的份额,如果不允许卖空如果不允许卖空,要求要求 niiiania11), 2, 1(0例例10设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，且相互独立，且 ,6 , 2),4 , 3(UYNX.34YXZ 求求Z的期望和方差。的期望和方差。 , 3)( XE, 4)( XD, 4)( YE.34)( YD解解由于由于 所以所以 )34()(YXEZE 0)(3)(4 YEXE)34()(YXDZD 52)(9)(16 YDXD
