1、*三、向量的混合积三、向量的混合积 第二节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积机动 目录 上页 下页 返回 结束 数量积 向量积 *混合积 第七七章 1M一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,W1. 定义定义设向量的夹角为 ,称 记作数量积 (点积) .引例引例. 设一物体在常力 F 作用下, F位移为 s , 则力F 所做的功为cossFsFW2Mbacosba的与为baba,s机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,0时当a上的投影为在ab记作故,0,时当同理babj rPb2. 性质性质为两个非零向量, 则有baj rPcosbba
2、baaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba则2),(ba0,0ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 运算律运算律(1) 交换律(2) 结合律),(为实数abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事实上, 当0c时, 显然成立 ;时当0cc)(ba babcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac机动 目录 上页 下页 返回 结束 ABCabc例例1. 证明三角形余弦定理cos2222abbac证证:则cos2222abbac如
3、图 . 设,aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则, 10zzyyxxbababa当为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,两向量的夹角公式 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(MB, )(MA BM例例2. 已知三点, )2,1 ,2(),1 ,2,
4、2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1则AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故机动 目录 上页 下页 返回 结束 为 ) .求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度例例3. 设均匀流速为的流体流过一个面积为 A 的平面域 ,与该平面域的单位垂直向量,A解解:单位时间内流过的体积APAA的夹角为且vvncosvcosvnv vnn为单位向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则OQFFsinOPsinOP
5、MFOPOPM M矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P点上 ,则力 F 作用在杠杆上的力FoPFMFM 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义定义定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考: 右图三角形面积abba21S机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 性质性质为非零向量, 则，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0时当baba0basinab03. 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律(证明略)abcba )(cbcaba
6、 )()( ba)(baba) 1 (证明证明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaba
7、ibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx( 行列式计算见 P339P342 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 已知三点, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面积 解解: 如图所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三机动 目录 上页 下页 返回 结束 一点 M 的线速度例例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出刚体上 的表示式 . Ml解解: 在轴 l 上引进一个角速度向量使a其在 l 上任
8、取一点 O,O作它与则点 M离开转轴的距离a且符合右手法则的夹角为 , ,sinar, rOM vsinr,vr rvvv方向与旋转方向符合右手法则 ,r向径机动 目录 上页 下页 返回 结束 *三、向量的混合积向量的混合积1. 定义定义 已知三向量称数量混合积混合积 .记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高h故平行六面体体积为hAV coscba)(cba,cba的为cba,Abaccba,以则其cosbaccba)(cbabacba机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyxzyxbbbaaaxcyczckji2. 混合积的坐标表示混合积的坐标表示设xayazaxbybzbzxzx
9、bbaayxyxbbaacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质性质(1) 三个非零向量共面的充要条件是0(2) 轮换对称性 :(可用三阶行列式推出)cbacba,a b cab ca bcabc机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 已知一四面体的顶点),(kkkkzyxA,3,2, 1( k4 ) , 求该四面体体积 . 1A2A3A4A解解: 已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的,61故 61
10、V6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz ,21AA,31AA41AA413121AAAAAA机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 证明四点, )3,3,2(),6,5,4(, )1 , 1 , 1(CBA共面 .解解: 因0)17,15,10(DABCD34512291416故 A , B , C , D 四点共面 .ADACAB机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzy
11、xzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba机动 目录 上页 下页 返回 结束 混合积:2. 向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba机动 目录 上页 下页 返回 结束 0ba思考与练习思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法证明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC机动 目录
12、 上页 下页 返回 结束 证证: 由三角形面积公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因BabcACABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACB机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P310 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12第三节 目录 上页 下页 返回 结束 22343cos322)2(17备用题备用题1. 已知向量的夹角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 22200)2(211ABCD在顶点为三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 边上的高 BD .解：解：)3,4,0(AC, 5)3(422| AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面积为 |21ABACS21S| AC| BD5211| BD52|BD2.而故有机动 目录 上页 下页 返回 结束
