1、第七节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关机动 目录 上页 下页 返回 结束 主要内容主要内容:一、一、 弧微分弧微分 二、二、 曲率及其计算公式曲率及其计算公式 三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 MMM 平面曲线的曲率 第三三章 一、一、 弧微分弧微分)(xfy 设在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,弧长)(xsAMsxsMMMMxMMMMMMxyx22)()(MMMM2)(1xyxsxsx0lim)(2)(1yxAB)(xfy abxoyxMxxMy1lim0MMMMx机动 目录 上页 下页 返回 结束 则弧长微分公式为tyxsdd22 )(xs2)(1yx
2、ysd)(1d2或22)(d)(ddyxsxxdxdxoyxMydT几何意义几何意义:sdTM;cosddsxsinddsy若曲线由参数方程表示:)()(tyytxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为,s对应切线,定义弧段 上的平均曲率ssKMMs点 M 处的曲率sKs0limsdd注意注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为例例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .解解: 如图所示 ,RssKs0limR1可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈
3、大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .sRMM机动 目录 上页 下页 返回 结束 有曲率近似计算公式,1时当 yytan)22(设y arctan得xyd)arctan(d xyyd12 xysd1d2故曲率计算公式为sKdd23)1(2yyK yK 又曲率曲率K 的计算公式的计算公式)(xfy 二阶可导,设曲线弧则由机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: (1) 若曲线由参数方程)()(tyytxx给出, 则23)1(2yyK (2) 若曲线方程为, )(yx则23)1(2xxK 23)(22yxyxyxK 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 我国铁路常用立方抛物线361
4、xlRy 作缓和曲线,处的曲率.)6,(, )0,0(2RllBO点击图片任意处播放暂停说明说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 结束 且 l R. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 离心力必须连续变化 , 因此铁道的曲率应连续变化 . 例例2. 我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线,且 l R. 处的曲率.)6,(, )0,0(2RllBO其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:,0时当lxRl20 xlRy1 yK xlR1显然;00
5、xKRKlx1221xlRy RByox361xlRy l例例3. 求椭圆tbytaxsincos)20(t在何处曲率最大?解解:故曲率为 ba23)cossin(2222tbta;sintax;costby taxcos tbysin 23)(22yxyxyxK K 最大tbtatf2222cossin)(最小机动 目录 上页 下页 返回 结束 ttbttatfsincos2cossin2)(2tba2sin)(22求驻点: 的导数数表示对参tx ,0)( tf令,0t得,2,232,设tbatf2sin)()(22t)(tf022322b2b2a2b2a从而 K 取最大值 .这说明椭圆在点
6、,0ab 时则2,0t)0,(a处曲率机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算驻点处的函数值:yxbaba,)( 取最小值tf最大.三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径Tyxo),(DR),(yxMC设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点在曲线KRDM1把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 .M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使机动 目录 上页 下页 返回 结束 设曲线方程为, )(xfy 且,0
7、 y求曲线上点M 处的曲率半径及曲率中心),(D设点M 处的曲率圆方程为222)()(R故曲率半径公式为KR1 23)1 (2yy 满足方程组,222)()(Ryx),(在曲率圆上yxM)(MTDM yyx的坐标公式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 TCyxo),(DR),(yxM由此可得曲率中心公式yyyx )1 (2yyy 21(注意y与y 异号 )当点 M (x , y) 沿曲线 )(xfy 移动时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线渐屈线 ,相应的曲率中心Cyxo),(yxM),(DRT曲率中心公式可看成渐曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线渐伸线 .机动 目录 上页 下页 返回 结
8、束 屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停例例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?解解: 设椭圆方程为tbytaxsincos),20(abx由例3可知, 椭圆在)0,( aoyx处曲率最大 ,即曲率半径最小, 且为 R23)cossin(2222tbtaba0tab2显然, 砂轮半径不超过ab2时, 才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题.ab例3 目录 上页 下页 返回 结束 ( 仍为摆线 )sin( a)cos1 ( a例例5. 求摆线)cos1 ()sin(tayttax的渐屈线方程 . 解解:xyy,co
9、s1sinttxyyt)(dd 2)cos1 (1ta代入曲率中心公式 ,)sin(tta) 1(cos ta得,t令aa2摆线 目录 上页 下页 返回 结束 yoxMo摆线摆线半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时 ,点击图中任意点动画开始或暂停Moyxta其上定点 M 的轨迹即为摆线 .)sin(ttax)cos1 (tay参数的几何意义摆线的渐屈线点击图中任意点动画开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 弧长微分xysd1d2或22)(d)(ddyxs2. 曲率公式sKdd23)1 (2yy 3. 曲率圆曲率半径KR1yy 23)1 (2曲率中心yyyx )1 (2yyy 21机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答答: 有公切线 ;凹向一致 ;曲率相同.2. 求双曲线1yx的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小?解解:,12xy,23xy 则 R23)1 (2yy 234)1 (1x32x232)(1221xx 利用baba2222.21为最小值显然xR机动 目录 上页 下页 返回 结束 11yox作业作业第八节 目录 上页 下页 返回 结束 P175 4 ； 5 ； 7 ； 8 ； 9
