1、转化 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22 第十二章 分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设 y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(两边积分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(则有恒等式 )(yG)(xF当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时, 说明由确定的隐函数 y(x) 是的解. 则有称为方程的隐式通解, 或通积分.同样,当
2、F(x)= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 为任意常数 )或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由
3、初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令 , 1yxu则yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数 )所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分离变量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1则故有ueu1积分Cxeuu1dCxeuu)1 (ln( C 为任意常数 )所求通解:Cyeyx)1(ln
4、ueeeuuud1)1 (机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 子的含量 M 成正比,0M求在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解解: 根据题意, 有)0(ddMtM00MMt(初始条件)对方程分离变量, MMd,lnlnCtM得即teCM利用初始条件, 得0MC 故所求铀的变化规律为.0teMMM0Mto然后积分:td)(已知 t = 0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.成正比,求解解: 根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,mtvkmgvdd然后积分 :得Cmtvkgmk
5、)(ln1)0( vkgm此处利用初始条件, 得)(ln1gmkC代入上式后化简, 得特解并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,)1 (tmkekgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. kmgv t 足够大时机动 目录 上页 下页 返回 结束 cm100例例6. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,.cm12S开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变r解解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为tVQddhgS262. 0即thgVd262. 0d求水小孔横截面积化规律.流量系数
6、孔口截面面积重力加速度设在d,ttt内水面高度由 h 降到 ),0d(dhhhhhdhho机动 目录 上页 下页 返回 结束 cm100rhhdhho对应下降体积hrVdd222)100(100hr2200hhhhhVd)200(d2因此得微分方程定解问题:hhhthgd)200(d262. 021000th将方程分离变量:hhhgtd)200(262. 0d2321机动 目录 上页 下页 返回 结束 gt262. 0两端积分, 得g262. 0hhhd)200(2321233400(h)5225hC利用初始条件, 得5101514262. 0gC因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系
7、:)310107(265. 4252335hhgt1000thcm100rhhdhho机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 微分方程的概念微分方程;定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如, 方程分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .解; 阶;通解; 特解 y = x 及 y = C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程
8、 ( 如: 例4 , 例 5 )3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 )(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 3. 解微分方程应用题的方法和步骤机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 求下列方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1) 分离变量(2) 方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业P 269 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 6第三节 目录 上页 下页 返回 结束 ,0) 1 ,0(,1FCF备用题备用题 已知曲线积分与路径无关, 其中求由确定的隐函数解解: 因积分与路径无关 , 故有xFxFxsincosxFxyFysinsin即因此有dcosdsin),(yxxxyyxFL0),(yxF. )(xfy xyFFyxtanxyytan10 xyxycos1xsecsin),(cos),(xyyxFyxyxFxy机动 目录 上页 下页 返回 结束
