1、第三节二、二、 曲线的渐近线曲线的渐近线三、三、 函数图形的描绘函数图形的描绘机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数图形的描绘 第三三章 曲线的凹凸性与一、曲线的凹凸与拐点一、曲线的凹凸与拐点AB定义定义 . 设函数)(xf在区间 I 上连续 ,21Ixx(1) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf图形是凹凹的;(2) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点拐点 .图形是凸凸的 .yox2x1x221xx yox1x221xx 2xyox一、曲线的凹凸与拐点一、曲线的凹凸与拐点机动 目录 上页 下页 返回 结束
2、 定理定理1.(凹凸判定法)(xf(1) 在 I 内,0)( xf则 在 I 内图形是凹的 ;)(xf(2) 在 I 内,0)( xf则 在 I 内图形是凸的 .)(xf证证:,21Ixx利用一阶泰勒公式可得)()(1fxf221xx !2)(1f 21)(x221xx )()(2fxf221xx )(f 221xx )(2x221xx !2)(2f 22)(x221xx 两式相加两式相加)(2)()(21fxfxf221xx 22!21)(12xx )()(21ff ,0)(时当 xf),(2)()(21fxfxf221xx 说明 (1) 成立;(2)(f 221xx )(1x221xx 机
3、动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数在区间I 上有二阶导数证毕例例1. 判断曲线4xy 的凹凸性.解解:,43xy 212xy 时，当0 x;0 y,0时x, 0 y故曲线4xy 在),(上是向上凹的.说明说明:1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:若曲线)(xfy ,0连续在点x0)(0 xf或不存在,但)(xf 在 两侧异号异号,0 x则点)(,(00 xfx是曲线)(xfy 的一个拐点.则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号,xyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求曲线3xy 的拐点. 解解:,3231xy3592
4、 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线3xy 的拐点 .oxy凹凸机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxy24362 )(3632xx例例3. 求曲线14334xxy的凹凸区间及拐点.解解:1) 求y ,121223xxy2) 求拐点可疑点坐标令0 y得,03221xx对应3) 列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸机动 目录 上页 下页 返回 结束 32) 1 , 0(),(271
5、132 .),(21)1,(2121e2. 曲线21xey的凹区间是凸区间是拐点为提示提示:)21 (222xeyx ),(2121),(21及及yox)1,(2121e)1,(2121e ; ;第五节 目录 上页 下页 返回 结束 112xxy有位于一直线的三个拐点.3.求证曲线 证明：证明： y y222) 1(21xxx3223) 1() 133(2xxxx32) 1()32)(32)(1(2xxxxxxx2) 1() 1(222) 1(x42) 1(x)22(x22) 1(x)21 (2xx ) 1(22xx2机动 目录 上页 下页 返回 结束 令0 y得,11x, )1,1(从而三个
6、拐点为因为32所以三个拐点共线.323x,322x, )34831,32()34831,32(3211348311134831机动 目录 上页 下页 返回 结束 2xy 无渐近线 .点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,二、 曲线的渐近线曲线的渐近线定义定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点时,则称直线 L 为曲线C 的渐近线渐近线 .例如, 双曲线12222byax有渐近线0byax但抛物线或为“纵坐标差纵坐标差”NLbxkyMxyoC)(xfy Pxyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线若,)(limbxfx则曲线)(xfy 有水平渐
7、近线.by )(x或若,)(lim0 xfxx则曲线)(xfy 有垂直渐近线.0 xx )(0 xx或例例4. 求曲线211xy的渐近线 .解解:2)211(limxx2 y为水平渐近线;,)211(lim1xx1 x为垂直渐近线.21机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 斜渐近线斜渐近线有则曲线)(xfy 斜渐近线.bxky)(x或若,0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(x或)(x或( P75 题题13)例
8、例5. 求曲线3223xxxy的渐近线 .解解:,) 1)(3(3xxxy,lim3yx) 1(x或所以有铅直渐近线3x及1x又因xxfkx)(lim32lim22xxxx1)(limxxfbx3232lim22xxxxx22xy为曲线的斜渐近线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 312 xy思考与练习思考与练习 1. 曲线)(1122xxeey(A) 没有渐近线；(B) 仅有水平渐近线；(C) 仅有铅直渐近线；(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示:;111lim22xxxee2211lim0 xxxeeD机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、函数图形的描绘三、函数图形的描绘步
9、骤步骤 :1. 确定函数)(xfy 的定义域 ,期性 ;2. 求, )(, )(xfxf 并求出)(xf 及)(xf 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;4. 求渐近线 ;5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .为 0 和不存在的点 ;并考察其对称性及周机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 描绘22331xxy的图形.解解: 1) 定义域为, ),(无对称性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(极大)(拐点）32(极小)4)xy133220机动 目录 上页
10、 下页 返回 结束 1231例例7. 描绘方程044)3(2yxyx的图形.解解: 1),) 1(4)3(2xxy定义域为), 1 ( , ) 1 ,(2) 求关键点)3(2xy4044yxy) 1(223xyxy2) 1(4) 1)(3(xxxy 42048 yxy) 1(241 xyy3) 1(2x得令0 y;3, 1x机动 目录 上页 下页 返回 结束 113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(xyy y20,) 1(4)3(2xxy,) 1(4) 1)(3(2xxxy3) 1(2 xy3) 判别曲线形态00(极大极大)(极小极小)4) 求渐近线,lim1yx为铅直渐近线无
11、定义无定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 1x又因xyxlim,4141k即)41(limxybx41) 1(4)3(lim2xxxx) 1(495limxxx45) 1(4)3(2xxy5) 求特殊点xy049241为斜渐近线4541xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 1(4) 1)(3(xxxy3) 1(2 xy6）绘图(极大极大)(极小极小)斜渐近线1x铅直渐近线4541xy特殊点11302) 1( 4) 3(2xxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 2无定义无定义xy113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(0 xy049241例例8. 描绘函数21y22
12、xe的图形. 解解: 1) 定义域为, ),(图形对称于 y 轴.2) 求关键点 y21,22xex y2122xe)1 (2x得令0 y;0 x得令0 y1x机动 目录 上页 下页 返回 结束 2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (3) 判别曲线形态(极大极大)(拐点拐点)(极大极大)(拐点拐点)0limyx0y为水平渐近线5) 作图4) 求渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结束 2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (2221xeyxyoBA21水平渐近线 ; 垂直渐近线; 内容小结内容小结1. 曲线渐近线的求法斜渐近线按作图步骤进行2. 函数图形的描绘机动 目录 上页 下页 返回 结束
