1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数 一、一、随机变量随机变量 在第一章里讨论了如何用字母表示事件以及求事件概率的在第一章里讨论了如何用字母表示事件以及求事件概率的基本方法为了全面地研究随机试验的结果，揭示客观存在着基本方法为了全面地研究随机试验的结果，揭示客观存在着的统计规律性，我们将随机试验的结果与实数对应起来，将随的统计规律性，我们将随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果机试验的结果数量化数量化，引入随机变量的概念，引入随机变量的概念 有许多随机试验的可能结果本身就是数字，如：有许多随机试验的可能结果本身就是数字，如： 掷
2、一颗骰子观察出现的点数掷一颗骰子观察出现的点数 某射手射击某射手射击10次，观察命中的次数次，观察命中的次数 测定一批电子元件的使用寿命测定一批电子元件的使用寿命 还有一些随机试验的可能结果本身不是数字，如：还有一些随机试验的可能结果本身不是数字，如： 抽查产品质量，结果是抽查产品质量，结果是“正品正品”或或“次品次品” 射击结果射击结果“中中”或或“不中不中”但这些结果也可以用实数来代替，如用但这些结果也可以用实数来代替，如用“1”代表代表“中中”、“0”代表代表“不中不中”等。等。 定义定义 设随机试验设随机试验E 的样本空间为的样本空间为 ，若对每一个样本点，若对每一个样本点，存在唯一实
3、数，存在唯一实数X()与之对应，且对任何实数与之对应，且对任何实数x，事，事件件X() x 都有确定的概率，则称都有确定的概率，则称X() 是一个是一个随机变量随机变量，简单地记为简单地记为X 许多教材习惯用希腊字母许多教材习惯用希腊字母、等表示随机变量。等表示随机变量。 随机变量是研究随机试验的有效工具引入随机变量后，随机变量是研究随机试验的有效工具引入随机变量后，就可以用随机变量就可以用随机变量X 描述事件例如描述事件例如 掷一颗骰子，用掷一颗骰子，用X 表示出现的点数，则表示出现的点数，则X= i表示表示“出现出现 i 点点”，X0是不可能事件，是不可能事件， X7是必然事件，是必然事件
4、， X2表示出现的表示出现的点数大于或等于点数大于或等于2。 随机变量随机变量X 的取值随试验结果而定，的取值随试验结果而定， 在试验之前只知道其在试验之前只知道其可能取值的范围，因为试验的各种结果出现的概率是可以确定可能取值的范围，因为试验的各种结果出现的概率是可以确定的那么，随机变量取各个值的概率或在某个范围内取值的概的那么，随机变量取各个值的概率或在某个范围内取值的概率也就可以确定率也就可以确定随机变量是随机事件的函数随机变量是随机事件的函数. 上例中上例中P X= i =1/6，P X0 =0，P X7 = 1 PX2 =5/6二、随机变量的二、随机变量的分布函数分布函数 引进随机变量
5、后，我们可以用随机变量引进随机变量后，我们可以用随机变量X取值的集合来表取值的集合来表示随机事件。即对于任意示随机事件。即对于任意 实数实数 a 和和 b ,X a、X a、X a、X a、 X a、 a X b 等都是随机事件。等都是随机事件。 定义定义 设设X 是随机变量，是随机变量，x 是任意实数，函数是任意实数，函数 F(x) =P(X x)称为称为X 的分布函数。的分布函数。 对任意实数对任意实数x1、x2（x1x2）有）有 P x1X x2 =PX x2PX x1 = F(x2) F(x1) 因此，若已知因此，若已知X 的分布函数，就知道的分布函数，就知道X 落在任一区间上的概率落
6、在任一区间上的概率,在这个意义上分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性在这个意义上分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性 首先分布函数首先分布函数F(x) 描述的是事件描述的是事件“X x”的概率，其次，它的概率，其次，它 又是一个定义于全体实数且以区间又是一个定义于全体实数且以区间 0, 1 为值域的普通函数正为值域的普通函数正 是由于它的这种双重属性使我们得以用数学分析的方法来研究随是由于它的这种双重属性使我们得以用数学分析的方法来研究随 机变量的概率问题机变量的概率问题 由分布函数的定义可知由分布函数的定义可知F(x) 具有以下基本性质：具有以下基本性质： (1) 0 F(x) 1，
7、(x) (2) 对任意实数对任意实数x1、x2，当，当x1x2时，时， 有有F(x1)F(x2)（不减）（不减）1)(lim, 0)(lim)3( xFxFxx)()(lim)0()4(0 xFtFxFxt （右连续）（右连续）此外，还有此外，还有)(11) 5(xFxXPxXP )0()()6( xFxFxXP)0()7( xFxXP这是因为这是因为xXPxXPxXP )0(1)8( xFxXP这是因为这是因为)(1xXPxXP 解解 当当x0时，时，X x为不可能事件，为不可能事件，PX x= 0 当当0 x 1时，时，PX x= PX = 0= 0.5， 当当x1时，时，PX x= PX
8、 = 0 PX = 1=1这是一个分段函数，图形为这是一个分段函数，图形为 11105 . 000)(xxxxXPxF 例例1 设设X 为掷一枚硬币出现正面的次数，求随机变量为掷一枚硬币出现正面的次数，求随机变量X 的的 分布函数分布函数oxy0.5 1 1例例2 向区间向区间0，1 上随机投一点，使所投点落在上随机投一点，使所投点落在0，1内内 任一子区间的概率与子区间长度成正比（比例系数为任一子区间的概率与子区间长度成正比（比例系数为1），而），而 与子区间所在位置无关令与子区间所在位置无关令X 表示落点的坐标，则表示落点的坐标，则X 是一个随是一个随 机变量，求机变量，求X 的分布函数的
9、分布函数 解解 X 是一个非离散型随机变量，分布函数是一个非离散型随机变量，分布函数F(x)=PX x 根据题意有：根据题意有： x0时，时，X x为不可能事件，为不可能事件， F(x) =PX x= 0 0 x 1时，时， F(x)= PX x =P0 X x = x x1时，时，X x为必然发生，为必然发生， F(x)=PX x =1 因此，因此，X 的分布函数的分布函数 111000)(xxxxxF 例例2 设设X 的分布函数为的分布函数为)(arctan)( xxBAxF0)(lim xFx1)(lim xFx求常数求常数A与与B的值。的值。解：由于解：由于所以所以02 BA 12 BA 21 A 1 B于是于是 51546.0425.0202.000)(xxxxxxF 例例3 设设X 的分布函数为的分布函数为求求 P13。 解解 P1X 2= F(2)F(1) = 0.50.2 = 0.3P2X 4= PX =2+ P2X 4= F(2) F(20)+ F(4)F(2) = 0.60.2= 0.4P X3=1P X3=1F(3) = 10.5 = 0.5
