1、2.4 r.v. 函数的分布函数的分布方法方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件求求 随机因变量Y= g ( X )的密度函数 或分布律)(yfY问题问题 已知已知 r.v. X 的d.f.)(xfX或分布律.例例1 1 已知 X 的概率分布为X pk-1 0 1 221418181求 Y 1= 2X 1 与 Y 2= X 2 的分布律解解Y 1pi-3 -1 1 321418181离散型离散型 r.v.函数的分布函数的分布Y 2pi1 0 1 421418181Y 2pi0 1 4218381设 r.v. X 的分布律为, 2 , 1,)(kpxXPkk由已知函数 g( x)可求出 r.
2、v. Y 的所有可能取值，则 Y 的概率分布为, 2 , 1,)()(:ipyYPikyxgkki例例2 2 已知 X 的概率分布为, 2 , 1 , 0,)2(kpqkXPk其中 p + q = 1, 0 p 0 时，)(11)(byafayfXYba,当a 0 时，)(1)(byaXPyFY)(11byaFX)(11)(byafayfXY故)(1|1)(byafayfXY例如 设 X N ( ,2) , Y = a X +b, 则)(1|1)(byafayfXY2222)(|21 aabyeayY N ( a +b, a22 )特别地 ，若 X N ( , 2) , ) 1 , 0( NX
3、Y则正态分布性质1正态变量的线性函数仍是正态变量正态分布是概率论中最重要的分布具有很多好的性质，从本节起逐个介绍.例例4 4 已知 X N (0,1) , Y = X 2 , 求 f Y (y)解一解一 从分布函数出发)()(yYPyFYy)()(2yXPyFYyyy当 y 0 时，)(yXyP)()(yFyFXX)(yFY0, 0y0),()(yyFyFXX故)(yfY0, 0y0,)()(21yyfyfyXX)(yfY0, 0y0,2122/ 1yeyy解二解二 从p.d.f. 出发yyy1x11)( xx2x22)( xx0)(yyYyP)()(222111xxXxPxXxxP2211)
4、()()()(xxfxxfyyfXXY即当 y 0 时yyy2xy1122( )( )()YXXfyfxxfxx11()()22XXfyfyyy2)(2)(2221|2|121|2|1yyeyey221yey0,210, 0)(2yeyyyfyY故此答案是否此答案是否 对 ？0,210, 0)(2yeyyyfyY应修正为结论若 X N (0,1) , 则Y = X 22(1) 参数为1的卡方分布一般yx1x2x3y = g(x)x xn1( )()nYXkkkfyfxx( )yg x分区间严格单调，1( )xgy存在，则例例5 5 设xxxfX,)1 (1)(231XY求 f Y (y)x31
5、xyy(1 - y)3解解3)1(3)1 ()(yxXYdxdyyfyf3)1(3)1 (yxXdydxyfyyy,)1 (1)1 (362例例6 6 设 X 的 p.d.f.为其他, 00,2)(2xxxfXXYsin求的 p.d.f.解解故当 y 0 或 y 1 时yf Y (y) = 0 x)0(sinxxy100.511.522.530.20.40.60.81y由图可知, Y 的取值范围为(0,1)yarcsiny - arcsiny1x)0(sinxxy00.511.522.530.20.40.60.81当0 y 1 时222)arcsin(2arcsin211)(yyyyfY212
6、y故其他, 010,12)(2yyyfY注意注意 连续 r.v.的函数的分布 函数不一定是连续函数例如例如 X U (0,2)其他, 020,21)(xxfX1100, 1, 0)(xxxxxg令Y=g (X)xy11, 110,2, 0, 0)(yyyyyFYFY (y)不是连续函数 补充题通过点( 0, 1 )任意作直线与在 x 轴上的截距的分布密度.x 轴相交成 角 求直线, )0( 设设 r.v.Z 服从参数为服从参数为 1 的指数的指数分布，引入随机变量：分布，引入随机变量：21201110ZZYZZX求求 (X , Y) 的联合分布律的联合分布律 问问 题题设 r.v. 服从(0,1)内均匀分布,X1( )/2Xg Y 又其中dteygyot2222)(求 r.v. 的 p.d.f.Y 问问 题题
