1、特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学 一、特征函数的定义及例一、特征函数的定义及例 设设X, Y是实随机变量是实随机变量, ,复随机变量复随机变量Z=X + jY, ,的数学期望定义为的数学期望定义为1 j),()()(YEjXEZE 特别特别1.5 特征函数特征函数特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学 )(sin)(cosxtxdFjxtxdF )( xdFeitx注注,Rt 1） costx 和和 sintx 均为有界函数均为有界函数, 故故()jtXE e总存在总存在. .2) 是实变量是实变量t 的复值函数的复值函数. .()jtXE e)sin()cos()(tXjE
2、tXEeEjtX X是实随是实随机变量机变量求随机变量求随机变量X的函数的的函数的数学期望数学期望特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学 定义定义1.5.1 设设X是定义在是定义在(,F F, P )上的随机上的随机变量变量, ,称称()( ),jtXjtxE eedF xtR 为为X的的特征函数特征函数. .关于关于X的分布函的分布函数的数的Fourier-Stieltjes变换变换当当X是连续型随机变量是连续型随机变量 ;)()(dxxfetjtx.)( kkjtxpetk当当X是离散型随机变量是离散型随机变量)( t特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学, 1 cXPEx.1
3、 单点分布单点分布R.,)()( teeEtjtcjtcEx.2 两点分布两点分布pepetjtjt10)1()( .,1Rtpeqpepjtjt Ex.3 二项分布二项分布Rtpeqtnjt ,)()(Ex.4 泊松分布泊松分布Rtetjte ,)()1( 特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学 0)(dxeetxjtx 00sincostxdxejtxdxexx Rtjtttjt ,112222 )0(0.0,0;,)( xxexfx Ex.5 指数分布指数分布特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学Ex.6 均匀分布均匀分布,aaU Rtatatt ,sin)(Ex.7 正态分
4、布正态分布N(m m,s s2)2 212( ),j ttttRem m 特别正态分布特别正态分布N(0,1)，则，则Rttte ,221)(特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学2()221( )2jtxxteedxm ms s s s xum ms s 2()212ujtueedum sm s 22 2()12212u jtj tteedus smsms 证明证明22()21( ),2xf xexRm m 2122,j tttRemsms 特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学 二、特征函数性质二、特征函数性质性质性质1.5.1 随机变量随机变量X的特征函数满足：的特征函数满足
5、：; 1)0()()1 t. )()()2tt 22)(sin)(cos)()1tXjEtXEt 证证22)(sin)(costXEtXE 22(cos) (sin) EtXEtX 1)(sin)(cos22tXtXE司蒂阶积司蒂阶积分性质或分性质或矩的性质矩的性质)0(特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学)()()2jtXeEt )(sin)(costXjEtXE )(sin)(costXjEtXE )sin()cos(tXjEtXE )(XtjeE 性质性质1.5.2 随机变量随机变量X的特征函数为的特征函数为 则则Y= aX+b的特征函数是的特征函数是, )(tX)()(atet
6、XjbtY a, b是常数是常数.)(t 特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学 Ex.8 设设YN(m m,2), 求其特征函数求其特征函数. 解解 设设XN( 0, 1), ,有有Y=s sX+ m m, 且且.,)(221RtettX 2 212 ( ) (),.YXj tj ttteteetRmmmm 证证 ()() ( ) ()j aXb tYjbtj at XjbtXtE eE eeeat 特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学0, 0, 性质性质1.5.3 随机变量随机变量X的特征函数的特征函数 在在R上上一致连续一致连续. )( t)()( tht h使使 时时,对
7、对t 一致地有一致地有一般，一般，t),( 性质性质1.5.4 特征函数是非负定的函数，即对特征函数是非负定的函数，即对任意正整数任意正整数n, 任意复数任意复数z1, z2 , zn,及及,Rtr nrnssrsrzztt110.)( 有有, 21,nr 特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学证证 )()()(111,xdFezzzzttstrtjnrnsnsrsrsrsr )(1,xdFeezznsrsrxsjtxrjt . 0)(21 xdFeznrrxrjt注注 以上性质中以上性质中 一致连续性，非负定一致连续性，非负定性是本质性的性是本质性的.1,)0( 特征函数特征函数特征函
8、数特征函数电子科技大学 定理定理1.5.1 (波赫纳波赫纳辛钦辛钦) 函数函数 为特征为特征函数的充分必要条件是在函数的充分必要条件是在R上一致连续，非负上一致连续，非负定且定且 )( t. 1)0( 定理定理1.5.2 若随机变量若随机变量X 的的n阶矩存在阶矩存在, ,则则X的特征函数的特征函数 的的k 阶阶)( t导数导数 存在存在, ,且且)(tk)(0),)()(nkjXEkkk 三、特征函数与三、特征函数与矩的关系矩的关系注注 逆不真逆不真.特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学证证 仅证连续型情形仅证连续型情形设设X的概率密度为的概率密度为f(x)，有，有)()(xfexj
9、dtxfedjtxkkkjtxk )()(kkkjtxXEdxxfxdxxfxe( )()kjtxkkkjtXjex f x dxj E X e 两边求导，得两边求导，得对对dxxfetjtx)()()()(tk特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学令令t=0，得，得故故 Ex.9 随机变量随机变量X的概率密度为的概率密度为 .0,;22,cos21)(其它其它xxxf. )()(XDXE和和求求解解201( )2coscos( )()2txtx dxf xfx )() 0 ()(kkkXEj ) 0 ()()(kkkjXE 特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学 20)1(cos
10、)1(cos21dxxtxt.,2) 1(sin112) 1(sin1121Rttttt .412)0(0,)0(2 因因故故2.4141222 0) 0 ()(1 jXE ) 0 ()()(22jXEXD特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学 三、三、反演公式及唯一性定理反演公式及唯一性定理 由随机变量由随机变量X的分布函数可惟一确定其特的分布函数可惟一确定其特征函数：征函数：)()(txF问题问题能否由能否由X的特征函数唯一确定其分布函数？的特征函数唯一确定其分布函数？)()(xFt)()(xFt？从而从而特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学 定理定理1.5.3（反演公式）（
11、反演公式）设随机变量设随机变量X 的分布的分布函数和特征函数分别为函数和特征函数分别为F(x)和和 , )(t .)(21lim)()(2112dttiteexFxFTTitxitxT 则对则对F(x)的的任意连续点任意连续点x1, x2,（x1 x2）, ,有有 推论推论1(唯一性定理唯一性定理) )分布函数分布函数F1(x)和和F2(x)恒等的充要条件是它们的特征函数恒等的充要条件是它们的特征函数 和和 恒等恒等. .)(1t )(2t 特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学 推论推论2 若随机变量若随机变量X的特征函数的特征函数 在在R上上绝对可积，则绝对可积，则X为连续型随机变量
12、，其概率密为连续型随机变量，其概率密度为度为)(t dttexfitx)()(21反演公式反演公式注注 对于连续型随机变量对于连续型随机变量X，概率密度与特，概率密度与特征函数互为富氏变换征函数互为富氏变换( (仅差一个负号仅差一个负号).). 2.1,0, kkXPpk其特征函数为其特征函数为 推论推论3 随机变量随机变量X 是离散型的是离散型的, ,其分布律为其分布律为特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学 kiktkRtept.,)( )(21dttepitkk且且反演公式反演公式e( )itkistitkkst dtp e edt ,Ns 证证 设设 有有 e20it s kkk
13、kss kp dtpdtp 特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学 .)(21dttepitkk e0.it ksskdt 其其中中，当当时时 Ex.9 随机变量随机变量X在在 上服从均匀分布上服从均匀分布, Y=cosX,利用特征函数求利用特征函数求Y的概率密度的概率密度.,22解解X的概率密度为的概率密度为 .0,2,2,1)(其它其它xxf特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学Y的特征函数为的特征函数为)()()(cosXititYYeEeEt 2220coscos121dxedxexitxit偶偶函函数数令令dxuxdxduxu21sin,cos 102112)(duuet
14、ituY特征函数特征函数特征函数特征函数 根据特征函数与分布函数一一对应的惟根据特征函数与分布函数一一对应的惟一性定理一性定理, 知随机变量知随机变量Y的概率密度为的概率密度为 .0.1;0,112)(2其它其它yyyfYEx.10 已知随机变量已知随机变量X 的特征函数为的特征函数为Rttt ,cos)(2 试求试求X 的概率分布的概率分布.特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学解解 22)2(cos)(jtjteett jtjtee22412141 202202 XPeXPeXPejtjtjt 根据特征函数与分布函数一一对应的惟根据特征函数与分布函数一一对应的惟一性定理一性定理, 知
15、随机变量知随机变量X的分布律为的分布律为 X 2 0 2 p 1/4 1/2 1/4 特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学 四、独立随机变量和的特征函数四、独立随机变量和的特征函数 nkkXY1)()(1ttkXnkY 则则 定理定理1.5.4 随机变量随机变量X1 ,X2 ,Xn相互独立相互独立,令令 Ex.11 随机变量随机变量YB(n, p),写出其特征函数写出其特征函数.解解 二项分布随机变量二项分布随机变量Y可表示为可表示为 ,且且 nkkXY1XkB(1, p), ,k=1,2,n, 相互独立相互独立, ,故故Y 的特的特征函数为征函数为 nitXnkYpeqttk)()(
16、)(1 特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学 Ex.12 若若X1,X2,Xn相互独立相互独立, ,且且XkN(0,1),证明证明 也服从也服从N(0,1)分布分布. . nkkXnY1122)(tket 证证 Xk的特征函数为的特征函数为 , ,则则 RtettntXnkXknkk ,)()(2121212 ( )(),nkktYXttetRn 从而从而由唯一性定理知由唯一性定理知, ,YN(0,1).特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学 五、五、多维随机变量的特征函数多维随机变量的特征函数 定义定义1.5. 2 二维随机变量二维随机变量(X, Y)的特征函的特征函数定义为数
17、定义为 1212( ,)ej t X t Yt tE 12( , )j t x t yedF x y 连续型连续型 1212( ,)( , )j t x t yt tef x y dxdy 特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学 12s,.rj t xt yr srsep 离散型离散型 定义定义1.5.3 n维随机向量维随机向量(X1,X2,Xn)的分布的分布函数为函数为F(x1,x2,xn),则它的特征函数为则它的特征函数为 11()12( ,)nnj t Xt Xnt ttE e 111(,)nnnj t xt xedF xx 1212( ,)ej t Xt Yt tE 特征函数特征
18、函数特征函数特征函数电子科技大学性质性质1.5.51) 随机变量随机变量X1,X2,Xn相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是 ),(21nttt)(1kXnktk 与独立和与独立和 的特征函数性质有什么的特征函数性质有什么 nkkXY1差别差别? 2) 二维随机变量二维随机变量(X, Y)的特征函数为的特征函数为),(21tt则则Z=aX+bY+c 的特征函数为的特征函数为.),()(RtbtatetitcZ 特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学),()(tttYX 特别有特别有 ( )ejt aX bY cjt aX bYjtcZtE eeE证证jtcjatXjbtYee (,).jtcEat bt Ex.13 设设(X1,X2)服从二维正态分布服从二维正态分布, ,且且E(Xk)= = k, k=1,2,记记. .1,2.,),(ov jkjkXXCKjkij特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学 ),(21,21ttXX解解)4322(21)2(22212121ttttttie 求求Y=X1+X2的特征函数的特征函数. .221)(2222212121212211ttttttie ),()(21,tttXXY 263ttie 特征函数特征函数特征函数特征函数电子科技大学.,ee212213Rttti 故故 Y=X1+X2N(3,12).
