1、高等数学配套完整课件高等数学配套完整课件(上册）上册）引引 言言一、什么是高等数学一、什么是高等数学 ?初等数学 研究对象为常量常量, 以静止观点研究问题.高等数学 研究对象为变量变量, 运动运动和辩证法辩证法进入了数学.数学中的转折点转折点是笛卡儿的变数变数.有了变数 , 运动运动进入了数学,有了变数，辩证法辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生. 恩格斯恩格斯笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束 1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分(上册)(下册)3. 向量代数与空间解析几何4. 无穷级数5. 常微分
2、方程主要内容主要内容多元微积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、如何学习高等数学二、如何学习高等数学 ?1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.2. 学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习聪明在于学习 , 天才在于积累天才在于积累 .学而优则用学而优则用 , 学而优则创学而优则创 .由薄到厚由薄到厚 , 由厚到薄由厚到薄 .马克思马克思 恩格斯恩格斯要辨证而又唯物地了解自然 ,就必须熟悉数学.一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步 .第一节 目录 上页 下页 返回 结束 华罗庚华罗庚给出了几何问题的统一笛卡儿笛卡儿 (15961650)法国哲学家, 数学家
3、, 物理学家, 他 是解析几何奠基人之一 . 1637年他发表的几何学论文分析了几何学与 代数学的优缺点, 进而提出了 “ 另外 一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”, 从而提出了解析几何学的主要思想和方法, 恩格斯把它称为数学中的转折点.把几何问题化成代数问题 ,作图法,华罗庚华罗庚(19101985)我国在国际上享有盛誉的数学家.他在解析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛的数学领域中,程,都作出了卓越的贡献 ,发表专著与学术论文近 300 篇.偏微分方多复变函数论,矩阵几何学, 典型群,他对青年学生的成长非常关心, 他提出治学之道是 “ 宽宽, 专专, 漫漫 ”, 即基础要宽,
4、专业要专, 要使自己的专业知识漫到其它领域. 1984年来中国矿业大学视察时给给师生题词: “ 学而优则用学而优则用, 学而优则创学而优则创 ”.第一章分析基础 函数 极限 连续 研究对象 研究方法 研究桥梁函数与极限 第一章 二、映射 三、函数 一、集合第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 映射与函数元素 a 属于集合 M , 记作元素 a 不属于集合 M , 记作一、一、 集合集合1. 定义及表示法定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . Ma( 或Ma) .Ma注: M 为数集 *M表示 M 中排除 0 的集
5、;M表示 M 中排除 0 与负数的集 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示法表示法：(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .例: 有限集合naaaA,21niia1自然数集,2,1,0Nnn(2) 描述法： xM x 所具有的特征例: 整数集合 ZxNx或Nx有理数集qpQ,N,Zqp p 与 q 互质实数集合 Rx x 为有理数或无理数开区间 ),(xbabxa闭区间 ,xbabxa机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(aa ),(Uxa ),xbabxa ,(xbabxa无限区间 ),xaxa ,(xb bx ),(xRx点的 邻域a ),(xaaxa xaxax0其中,
6、 a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .半开区间去心 邻域左 邻域 :, ),(aa右 邻域 :. ),(aa机动 目录 上页 下页 返回 结束 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,2. 集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义2 .则称 A.BA若BA,AB 且则称 A 与 B 相等,.BA 例如 ,ZNQZRQ显然有下列关系 :;) 1 (AA;AA BA)2(CB 且CA , ,A若Ax,Bx设有集合,BA记作记作必有机动 目录 上页 下页 返回 结束 AcABB定义定义 3 . 给定两个集合 A, B, 并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 xBAAxBx且定义下列运算
7、:ABBA余集)(ABBABcA其中直积 ),(yxBA,AxBy特例:RR记2R为平面上的全体点集ABABBABA机动 目录 上页 下页 返回 结束 Bx或二、二、 映射映射1. 映射的概念 某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例1. 引例引例2.xxysinRxRy引例3.oxy1QP1),(22yxyxC11), 0(yyY(点集)(点集)CP点向 y 轴投影YQ投影点xysinxy oxy1x2xxxysin机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义4.设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应
8、规则 f , 使得,Xx有唯一确定的Yy与之对应 , 则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作.:YXf元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作).(xfy 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 .集合 X 称为映射 f 的定义域 ;Y 的子集)(XfXxxf)(称为 f 的 值域 .注意: 1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . XYfxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 对映射YXf:若YXf)(, 则称 f 为满射; XYf)(Xf若,2121xxXxx有 )()(21xfxf
9、则称 f 为单射;若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射. XY)(Xff引例2, 3机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例2引例2例例1.三角形)(三角形集合海伦公式bcaS面积),0(例2. 如图所示,Sxyoxey x),0 x对应阴影部分的面积),0S则在数集),0自身之间定义了一种映射(满射)例3. 如图所示,xyo),(yxrcosrx sinry 2R),(yxf)2,0),0),(r:f则有(满射) (满射)机动 目录 上页 下页 返回 结束 X (数集 或点集 ) 说明说明:在不同数学分支中有不同的惯用 X ( ) Y (数集)机动 目录 上页 下页 返回
10、 结束 f f 称为X 上的泛函X ( ) X f f 称为X 上的变换 R f f 称为定义在 X 上的为函数映射又称为算子. 名称. 例如, 2. 逆映射与复合映射逆映射与复合映射(1) 逆映射的定义 定义: 若映射)(:DfDf为单射, 则存在一新映射,)(:1DDff使习惯上 ,Dxxfy, )(的逆映射记成)(,)(1Dfxxfy例如, 映射, 0,(,2xxy其逆映射为,xy),0 x)(DfDf1f,)(, )(1xyfDfy其中,)(yxf称此映射1f为 f 的逆映射 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 复合映射机动 目录 上页 下页 返回 结束 1Dfg手电筒DD2
11、D2D引例. 复合映射 定义. Dxg)()(Dgxgu1Duf)(ufy 则当1)(DDg由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复, )(xgfy .),(Dxxgf设有映射链记作)(1DfY 合映射 ,时,或)(1DfY )(ufy )(xgf1DDx)(xgu gfgf )(Dg机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 构成复合映射的条件 1)(DDg不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.定义域三、函数三、函数1. 函数的概念 定义4. 设数集,RD则称映射R:Df为定义在D 上的函数 , 记为Dxxfy, )( f ( D ) 称为值域 函数图形: ),(yxC Dx, )(xfy
12、 xy) ,(baDabxy)(DfD机动 目录 上页 下页 返回 结束 自变量因变量DxfDxxfyyDfy),()(对应规则)(值域)(定义域)例如, 反正弦主值xxfyarcsin)(, 1, 1D,)(22Df 定义域 对应规律的表示方法: 解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域xyoxy xxf)(又如, 绝对值函数0,xx0,xx定义域RD值 域),0)(Df机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 已知函数 1,110,2)(xxxxxfy求 )(21f及, )(1tf解:21212)(f2)(1tf10t,11t1t,2t时0t函数无定义并
13、写出定义域及值域 .定义域 ),0D值 域 ),0)(Df机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数的几种特性函数的几种特性设函数, )(Dxxfy且有区间.DI (1) 有界性,Dx,0M使,)(Mxf称 )(xf, Ix,0M使,)(Mxf称 )(xf说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P11 )(2) 单调性为有界函数.在 I 上有界. ,Dx使若对任意正数 M , 均存在 ,)(Mxf则称 f ( x ) 无界.称 为有上界称 为有下界,)(,Mxf),(,xfM 当,21Ixx21xx 时, )()(21xfxf若称 )(xf为 I 上的, )()(21xfxf若称
14、)(xf为 I 上的单调增函数 ;单调减函数 .xy1x2x机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoxx(3) 奇偶性奇偶性,Dx且有,Dx若, )()(xfxf则称 f (x) 为偶函数;若, )()(xfxf则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若)(xf在 x = 0 有定义 ,. 0)0(f)(xf为奇函数时,则当必有例如,2)(xxeexfyxch 偶函数xyoxexexych双曲余弦 记机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyo又如,2)(xxeexfy奇函数xexexyshxsh双曲正弦 记再如,xxychshxxxxeeee奇函数oyx11xth双曲正切 记xyth机动 目录
15、 上页 下页 返回 结束 (4) 周期性周期性,0,lDx且,Dlx)()(xflxf则称)(xf为周期函数 ,to)(tf22xo2y2若称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).周期为 周期为2注: 周期函数不一定存在最小正周期 .例如, 常量函数Cxf)(狄里克雷函数)(xfx 为有理数x 为无理数, 1,0机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 反函数与复合函数反函数与复合函数(1) 反函数的概念及性质若函数)(:DfDf为单射, 则存在逆映射DDff)(:1习惯上,Dxxfy, )(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为 f 的反函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结
16、束 其反函数(减)(减) .1) yf (x) 单调递增,)(1存在xfy且也单调递增 性质: 2) 函数)(xfy 与其反函数)(1xfy的图形关于直线xy 对称 .例如 ,),(,xeyx对数函数),0(,lnxxy互为反函数 ,它们都单调递增, 其图形关于直线xy 对称 .)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baPxyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 指数函数(2) 复合函数 1),(Duufy,),(Dxxgu1)(DDg且则Dxxgfy, )(设有函数链称为由, 确定的复合函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合映射的特例 u 称为中间变量. 注意: 构成复
17、合函数的条件 1)(DDg不可少. 例如, 函数链 :,arcsinuy ,122xu函数,12arcsin2xyDx,1231,23但函数链22,arcsinxuuy不能构成复合函数 .可定义复合机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 0,uuy可定义复合函数:,2cotxy ,) 12( ,2(kkxZn02cot,22xkxk时),2, 1, 0(,cotkkvvu),(,2xxv4. 初等函数初等函数(1) 基本初等函数幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数(2) 初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数 . 例如 ,2xy
18、y0,xx0,xx并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步骤所构成 ,称为初等函数 .可表为故为初等函数.又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .( 自学, P17 P21 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 非初等函数举例:符号函数xysgn当 x 0,1当 x = 0,0当 x N 时,SAn用其内接正 n 边形的面积总有刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 自变量取正整数的函数称为数列,记作)(nfxn或.nxnx称为通项(一般项) .若数列nx及常数 a 有下列关系 :,0,N正数当 n N 时, 总有记作此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .几何解释
19、 :aaa)(axan)(Nn 即),(axn)(Nn axnnlim或)(naxn1Nx2Nxaxn则称该数列nx的极限为 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趋势不定收 敛发 散机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 已知,) 1(nnxnn证明数列nx的极限为1. 证证: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 1N则当Nn 时, 就有1) 1(nn
20、n故1) 1(limlimnnxnnnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 已知,) 1() 1(2nxnn证明.0limnnx证证:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11N则当Nn 时, 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2) 1(10nnx. 11N 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明说明: 取11N机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设,1q证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,1n
21、q即,lnln) 1(qn亦即因此 , 取qNlnln1, 则当 n N 时, 就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为 0 . 1nq机动 目录 上页 下页 返回 结束 23baab22abnabax二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质证证: 用反证法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax从而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有2banx1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时, 2ba2ab2ab假设22abnabbxnbax223ab,2abn
22、bx从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, ,max21NNN 取故假设不真 !nx满足的不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明数列),2, 1() 1(1nxnn是发散的. 证证: 用反证法.假设数列nx收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .取,21则存在 N ,2121axan但因nx交替取值 1 与1 , ),(2121aa内,而此二数不可能同时落在21a21aa长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有因此该数列发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证: 设,limaxnn取,1,N则当Nn
23、时, 从而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1则有. ),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.说明说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,1)1(n虽有界但不收敛 .aaxn)(, 1axn有数列机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若,limaxnn且0a,NN则Nn 当时, 有0nx, )0(. )0(证证: 对 a 0 , 取,2a,NN则,时当Nn axn2anx02aaax2a2a推论推论: 若数列从某项起0nx,limaxnn且0a则)0(. )0(用反证法证明)机动 目录 上页 下页 返回 结束 *,axkn4. 收敛数列的
24、任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .证证: 设数列knx是数列nx的任一子数列 .若,limaxnn则,0,N当 Nn 时, 有axn现取正整数 K , 使,NnK于是当Kk 时, 有knKnN从而有由此证明 .limaxknk*NKnNxKnx机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx发散 !则原数列一定发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 三、极限存在准则三、极限存在准则由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极
25、限 ,例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx发散 !夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .则原数列一定发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: azynnnnlimlim)2(1. 夹逼准则夹逼准则 (准则1) (P49),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim证证: 由条件 (2) ,0,1N当1Nn 时,ayn当2Nn 时,azn令,max21NNN 则当Nn 时, 有,ayan,azan由条件 (1)nnnzxya a即,axn故 .limaxnn,2N机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 证明11211lim
26、222nnnnnn证证: 利用夹逼准则 .nnnnn2221211nnn2222nn且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 ) Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 证明略 )ab机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设, ),2, 1()1 (1nxnnn证明数列nx极限存在 . (P52P54)证证: 利用二项式公式
27、, 有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n机动 目录 上页 下页 返回 结束 11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又比较可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据准则 2 可知
28、数列nx记此极限为 e ,ennn)1 (lim1 e 为无理数 , 其值为590457182818284. 2e即有极限 .原题 目录 上页 下页 返回 结束 11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n*3. 柯西极限存在准则柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (P55)数列nx极限存在的充要条件是:,0存在正整数 N , 使当NnNm,时,mnxx证证: “必要性”.设,limaxnn则,0NnNm,时, 有 使当,2axn2axm因此mnxx)()(axaxmnaxnaxm“充分性” 证明从略 .,N有柯西 目录 上页 下页 返回 结束 内
29、容小结内容小结1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限3. 极限存在准则:夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 如何判断极限不存在?方法1. 找一个趋于的子数列;方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.2. 已知),2, 1(21,111nxxxnn, 求nnxlim时, 下述作法是否正确? 说明理由.设,limaxnn由递推式两边取极限得aa211a不对不对!此处nnxlim机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P30 3 (2) , (3) ,
30、 4 , 6P56 4 (1) , (3)4 (3) 提示:222nx12nx可用数学归纳法证 2nx第三节 目录 上页 下页 返回 结束 故极限存在，备用题备用题 1.1.设 )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：设Axnnlim则由递推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设, ),2, 1(0iai证证: 显然,1nnxx证明下述数列
31、有极限 .)1 ()1)(1 ()1)(1 (12121211nnaaaaaaaaanx),2, 1(n即nx单调增, 又nkkknaaax11)1 ()1 (1111a1(1)nkkaa211)1 ()1 (1)1 ()1 (11kaa )1 ()1 (111naa1nnx lim存在“拆项相消拆项相消” 法法刘徽刘徽(约约225 295年年)我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的重 差对九章算术中的方法和公式作了全面的评 注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 . 他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 “ 割之弥细割之弥细 , 所失弥小所失弥小, 割之又割割
32、之又割 , 以至于不可割以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣 ”它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知 , 用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要极限思想 . 的方法 :柯西柯西(1789 1857)法国数学家, 他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程, 无穷小分析概论, 微积分在几何上的应用 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 .对数学的影他是经典分析的奠人之一, 他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 第一章 一、自变量趋于有限值
33、时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1. 0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义引例引例. 测量正方形面积.面积为A )边长为(真值:;0 x边长面积2x直接观测值间接观测值任给精度 , 要求 Ax2确定直接观测值精度 :0 xx0 xAx机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义
34、定义1 . 设函数)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义 ,0,0当00 xx时, 有 Axf)(则称常数 A 为函数)(xf当0 xx 时的极限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf当即,0,0当),(0 xx时, 有若记作 Axf)(Axfxx)(lim0几何解释几何解释:0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 极限存在函数局部有界(P36定理2)这表明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明)(lim0为常数CCCxx证证:Axf)(CC 0故,0对任意的,0当00 xx时 , 0CC因此CCxx0lim总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明1)1
35、2(lim1xx证证:Axf)(1) 12(x12x欲使,0取,2则当10 x时 , 必有1) 12()(xAxf因此,)( Axf只要,21x1)12(lim1xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明211lim21xxx证证:Axf)(2112xx21 x故,0取,当10 x时 , 必有2112xx因此211lim21xxx1 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明: 当00 x证证:Axf)(0 xx 001xxx欲使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因此,)( Axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时00 xxxx故取,min00
36、 xx则当00 xx时,00 xxx保证 .必有ox0 xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 保号性定理保号性定理定理定理1 . 若,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0时使当xx. 0)(xf)0)(xf证证: 已知,)(lim0Axfxx即,0, ),(0 x当时, 有.)(AxfA当 A 0 时, 取正数,A则在对应的邻域上. 0)(xf( 0)(A则存在( A 0 ),(0 x),(0 xx),(0 x(P37定理3)0 x0 xAAAx0 xy)(xfy )0(机动 目录 上页 下页 返回 结束 AxfA)(:0A:0A若取,2A则在对应的邻域上 若,0)(lim0A
37、xfxx则存在使当时, 有.2)(Axf推论推论:23)(2AxfA2)(23AxfA),(0 x, ),(0 x),(0 xx(P37 推论)0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2 . 若在0 x的某去心邻域内0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx则. 0A)0(A证证: 用反证法.则由定理 1,0 x的某去心邻域 , 使在该邻域内,0)(xf与已知所以假设不真, .0A(同样可证0)(xf的情形)思考: 若定理 2 中的条件改为, 0)(xf是否必有?0A不能不能! 0lim20 xx存在如 假设 A 0 ,000
38、 xx一切满足不等式的 x , 总有则称函数)(xf当0 xx 时为无穷大, 使对.)(lim0 xfxx若在定义中将 式改为Mxf)(则记作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正数正数 X ) ,记作, )(Mxf总存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !例如例如, 函数),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n当n2但0)(2nf所以x时 ,)(xf不是无穷大 !oxyxxycos机动 目录 上页 下页 返回 结束 例
39、例 . 证明11lim1xx证证: 任给正数 M , 要使,11Mx即,11Mx只要取,1M则对满足10 x的一切 x , 有Mx11所以.11lim1xx11xy若 ,)(lim0 xfxx则直线0 xx 为曲线)(xfy 的铅直渐近线 .渐近线1说明说明:xyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系若)(xf为无穷大,)(1xf为无穷小 ;若)(xf为无穷小, 且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则(自证)据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束
40、 内容小结内容小结1. 无穷小与无穷大的定义2. 无穷小与函数极限的关系Th13. 无穷小与无穷大的关系Th2思考与练习思考与练习P41 题1 , 3P41 题3 提示:21xy,21x210140 x 作业作业P41 2 (1) , (2) ; 7第五节 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则时, 有,min21一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证证
41、: 考虑两个无穷小的和 . 设,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01当100 xx时 , 有2, 02当200 xx时 , 有2取则当00 xx22因此.0)(lim0 xx这说明当0 xx 时,为无穷小量 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1( P56 , 题 4 (2) )解答见课件第二节解答见课件第二节 例例5机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设, ),(10 xx
42、Mu 又设,0lim0 xx即,0,02当),(20 xx时, 有M取,min21则当),(0 xx时 , 就有uuMM故,0lim0uxx即u是0 xx 时的无穷小 .推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyx例例1. 求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理 2 可知.0sinlimxxxxxysin说明说明 : y = 0 是xxysin的渐近线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有)
43、()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因,)(lim,)(limBxgAxf则有BxgAxf)(,)(其中,为无穷小) 于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小BA的关系定理 , 知定理结论成立 .定理定理 3 . 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论: 若,)(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf则.BA( P45 定理定理 5 )()()(xgxfx利用保号性定理证明 .说明说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .提示提示: 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 4 . 若
44、,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .说明说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数 )推论推论 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数 )例例2. 设 n 次多项式,)(10nnnxaxaaxP试证).()(lim00 xPxPnnxx证证:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPnBA机动 目录 上页 下页 返回 结束 为无穷小(详见详见P44)B2B1)(
45、1xg)(0 xx定理定理 5 . 若,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因,)(lim,)(limBxgAxf有,)(,)(BxgAxf其中,设BAxgxf)()(BABA)(1BB)(AB无穷小有界BA因此由极限与无穷小关系定理 , 得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(为无穷小,机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理6 . 若,lim,limByAxnnnn则有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA提示
46、提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 x = 3 时分母为 0 !31lim3xxx例例3. 设有分式函数,)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都是多项式 ,0)(0 xQ试证: . )()(lim00 xRxRxx证证: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR说明说明: 若,0)(0 xQ不能直接用商的运算法则 .例例4.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 若机动 目录 上页 下页 返回
47、结束 例例5 . 求.4532lim21xxxx解解: x = 1 时3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6 . 求.125934lim22xxxxx解解: x时,分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则54分母“ 抓大头抓大头”原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数 )nmba,0(00mn 当( 如如P47 例例5 )( 如如P47 例例6 )( 如如P47 例例7 )mmmxaxaxa110limnnnbxbxb1
48、10,00ba,0,机动 目录 上页 下页 返回 结束 mn 当mn 当三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理7. 设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limAufau则有 )(lim0 xfxxAufau)(lim证证: Aufau)(lim,0,0当au0时, 有 Auf)(axxx)(lim0,0,02当200 xx时, 有ax)(对上述取,min21则当00 xx时ax )(au 故0Axf)(Auf)(,因此式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理7. 设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax
49、又,)(limAufau则有 )(lim0 xfxxAufau)(lim 说明说明: 若定理中若定理中,)(lim0 xxx则类似可得 )(lim0 xfxxAufu)(lim机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求求解解: 令.93lim23xxx932xxu已知ux3lim61( 见见 P46 例例3 ) 原式 =uu61lim6166( 见见 P33 例例5 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8 . 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 则, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(l
50、im1xxxx) 1(lim1xx2机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法0) 1xx 时, 用代入法( 分母不为 0 )0)2xx 时, 对00型 , 约去公因子x)3时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”(2) 复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考及练习思考及练习1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 为什么 ?答答
