1、第六单元第六单元 正比例和反比例正比例和反比例教材分析：教材分析：本单元在比和比例，以及常见数量关系的基础上编排。通过两个数量保持商一定或者积一定的变化，教学正比例和反比例关系。让学生在建立正比例和反比例概念的同时，受到函数思想的熏陶，为第三学段的数学教学打基础。正比例和反比例历来是小学数学的重要内容之一。与过去教材相比，本单元进一步加强正、反比例的概念教学，突出正比例关系的图像以及简单应用，淡化脱离现实背景的判断，加强正、反比例知识与现实生活的联系，不要求应用正比例、反比例解决实际问题。全单元编排三道例题，具体安排见下表：例 1正比例的意义XkB1. c om例 2正比例关系的图像及应用例
2、3反比例的意义教学目标：教学目标：1.结合实际情境认识成正比例和反比例的量， 初步认识到正比例的图像是一条直线，会判断两个相关联的量的比例关系。2.学生在认识成正比例、反比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同的数学模型，进一步提升逻辑思维水平。3.根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例，利用给出的具有正比例的数据在方格纸上画出相应的图像，并能根据图像，由具有正比例关系的一个量的数值估计另一个量的数值。4.进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强探究数学知识和规律的意识，养成积极主动地参与学习活动的习惯，提高学好数学的信心。教
3、学重难点：教学重难点：教学重点：教学重点：正反比例的意义。新|课| 标|第|一| 网教学教学难点：难点：正反比例的判断。第第 1 课时课时 认识成正比例的量（一）认识成正比例的量（一）教学内容：教学内容：教科书第 56 页的例 1、第 57 页的“试一试”和“练一练” ，完成练习十的第13 题。教学目标：教学目标：1使学生经历从具体实例中认识成正比例的量的过程，初步理解正比例的意义，学会根据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例。2使学生在认识成正比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步培养观察能力和发现规律的能力。3使学生
4、进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强从生活现象中探索数学知识和规律的意识。教学重点：教学重点：结合实际情境认识成正比例的量的特点，加深对成正比例的量的理解。教学难点：教学难点：能根据正比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例。教学资源：教学资源：课件教学过程：教学过程：一、谈话引入一、谈话引入我们已经了解了一些数量之间的关系，谁来说说你知道哪些常见的数量关系？引导回顾：（1）速度时间路程（2）单价数量总价（3）工作效率工作时间工作总量引入： 这些是我们已经学过的一些常见数量关系， 每组数量之间是有联系的。今天，我们就来研究和认识这种变化规律。二、互动新授二、互动新授出示例 1。1探究时间与
5、路程两个量之间的关系。提问： 仔细观察这张表格， 它为我们提供了哪些数学信息？ （学生自由发言）引导：表格中的路程和时间有关系吗？说说是怎样的关系？可先让同桌相互说一说，再组织全班交流。通过交流，使学生初步感知两种量的变化情况。预设： （1）行驶的路程随着时间的变化面变化。（2）行驶的时间越长，行驶路程越多；行驶的时间越短，行驶路程越少。小结：路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。2.分析时间与路程这两个量的比值。提问：表格中时间越长，路程越多；时间越短，路程越少。现在我们就来探究时间与路程之间有没有什么关系？让学生动手写出几组对应的路程和时间的比，并求出比值。学生观察比值，发
6、现规律，汇报小结。引导学生回答：通过计算，我们发现这些比值都是相等的，它们表示行驶的速度。提问：谁能用一个式子来表示上面的规律呢？学生回答，教师板书：时间路程=速度（一定）3.揭示正比例的意义。教师对两种量之间的关系作具体说明： 例 1 中的路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。当路程和相对应时间的比的比值总是一定（也就是速度一定）时，行驶的路程和时间成正比例关系，行驶的路程和时间是成正比例的量。（板书：路程和时间成正比例）4.正比例意义的应用做第 57 页的“试一试”（1）要求学生根据表中的已知条件先把表格填写完整。（2）根据表中的数据，依次讨论表格下面的四个问题，并仿照例
7、1 作适当的板书。（3）让学生根据板书完整地说一说铅笔的总价和数量成什么关系？5.用含有字母的式子表示正比例关系。谈话：通过刚才的学习，我们知道了：时间路程=速度（一定） ，路程和时间成正比例关系；那么数量总价=单价（一定） ，总价和数量成正比例关系。如果用 x 和y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值，正比例关系可以用怎样的式子来表示呢？根据学生回答，板书：xy=k（一定）三、巩固练习三、巩固练习1第 57 页的“练一练”第 1 题。先让学生独立思考并作出判断，再要求说明判断理由。2第 57 页的“练一练”第 2 题。提问：题中的两种量是否相关联，小组内讨论本题数量之间的关系，并说说
8、两种量是否成正比例关系，为什么？学生小组讨论交流，然后全班交流。3.练习十第 1 题。先让学生独立进行判断，再指名说判断的理由。4.练习十第 2 题。先让学生说说题目要求我们把已知的正方形按怎样的比放大， 放大后正方形的边长各是几厘米，再让学生在图上画一画。填好表格后，组织学生讨论，明确：只有当两种相关联的量的比值一定时，它们才能成正比例。四、全课小结四、全课小结这节课你学会了什么？通过这节课的学习，你还有哪些收获？引导总结：两种相关联的量，当一个量随着另一个量的变化而变化，且它们的比值总是一定。我们就说这两种量成正比例关系。在判断两种量是否成正比例时，我们一要看两种量是否相关联，二要看一个量
9、是否随着另一个量的变化而变化，最后看比值是否一定。五、课堂作业五、课堂作业：练习十第 3 题。板书设计正比例的意义（一）时间和路程路程和时间是两种相关联的量。216080324080648080时间路程速度（一定）xyk（一定）第第 2 课时课时 认识成正比例的量（二）认识成正比例的量（二）教学内容：教学内容：教科书第 58 页的例 2,“练一练”和练习十的第 4、5 题。教学目标：教学目标：1.能用“描点法”画出表示正比例关系的图像，帮助学生初步认识正比例的图像，进一步认识成正比例的量的变化规律。2.使学生能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。初步体会正比例图像的实际应用
10、，进一步培养观察能力和估计能力。3.使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系， 养成积极主动地参与学习活动的习惯。教学重点：教学重点：能认识正比例关系的图像。教学难点：教学难点：利用正比例关系的图像解决实际问题。教学资源：教学资源：课件、直尺、铅笔、橡皮教学过程教学过程: :一、复习激趣一、复习激趣1判断下面两种量能否成正比例，并说明理由。数量一定，总价和单价和一定，一个加数和另一个加数比值一定，比的前项和后项2折线统计图具有什么特点？能否把成正比例的两种量之间的关系在折线统计图里表示出来呢？如果能， 那又会是什么样子的呢？今天我们就来探究这些问题。二、互动新授二、互动新授1.认识正比例图像。
11、（1）出示教材第 58 页例 2 的方格图。提问：表中的横轴表示什么？纵轴表示什么？每格表示多少千米？（2）出示例 1 的表格。教师引导学生画图。1指导学生描点。让学生在图中找一找“1 小时行 80 千米”的这个点，并请学生上黑板指一指。引导：表示 1 小时的竖线与表示 80 千米的横线相交的点，就表示“1 小时行 80 千米” 。让学生在方格纸中找一找代表其它几组数据的点，并指名板演。2连线。让学生连接图中各点，说说有什么发现。根据学生的回答小结：我们发现图中所描的点都在同一条直线上。这条直线就是正比例的图像。从直线上的每个点中，我们既能知道汽车行驶的时间，又能知道行驶的路程。这两个量紧密联
12、系，对应的时间和路程用同一个点，点不同，时间和路程也都发生变化，但是它们的比值却是不变的，所以我们就说它是正比例图像。2.正比例图像的应用。问题一：根据图像判断，这辆汽车 2.5 小时行驶多少千米？小组讨论交流方法。学生汇报，教师小结。数字在 2 和 3 的正中间这个位置同学们首先要看准，从这点作横轴的垂线，看这条线与图像交于哪一点，再由这一点向纵轴画垂线，看一看这条垂线与纵轴的交点。这点表示的千米数就是汽车 2.5 小时行驶的路程。学生动手画一画，找一找。问题二：行驶 440 千米需要多少小时？学生独立完成，汇报交流。3.小结：我们在根据图像判断时，必须找准对应的点，通过画纵轴或者横轴的垂线
13、的方法找准点，读准数。三、巩固练习三、巩固练习1完成练一练小玲打字的个数和所用的时间成正比例吗？为什么？根据表中的数据， 描出打字数量和时间所对应的点， 再把它们按顺序连起来。估计小玲 5 分钟打了多少个字？打 750 个字要多少分钟？2.练习十第 4 题先独立填表，再根据表中的数据描出长度和总价所对应的点，把它们按顺序连起来。组织讨论和交流3. 练习十第 5 题出示表格让学生说说题中表示的是哪两种量之间的关系， 接着学生独立绘制表格，并解决问题。四、课堂小结四、课堂小结引导总结：正比例的图像是一条直线，在判断两个量是否成正比例关系时也可以通过图像来判断。根据图像判断数量时可以作对应点的垂线，
14、以减少误差，让估计更准确。五、课堂作业：基础训练五、课堂作业：基础训练第第 3 课时课时 认识成反比例的量认识成反比例的量教学内容：教学内容：教科书第 6162 页的例 3 和 “试一试” ， “练一练”和练习十一的第 12 题。教学目标：教学目标：1.使学生经历从具体实例中认识成反比例的量的过程，初步理解反比例的意义，学会根据反比例的意义判断两种相关联的量是不是成反比例。2.使学生在认识成反比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步培养观察能力和发现规律的能力。3.使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强从生活现象中探索数学
15、知识和规律的意识。教学重点：教学重点：理解反比例的意义教学难点：教学难点：掌握成反比例量的变化规律及其特征教学资源：教学资源：课件教学过程：教学过程：一、复习铺垫一、复习铺垫1怎样判断两种相关联的量是否成正比例？用字母怎样表示正比例关系？2判断下面两种量是否成正比例？为什么？时间一定，行驶的路程和速度除数一定，被除数和商3 单价、 数量和总价之间有怎样的关系？在什么条件下， 两种量成正比例？4导入新课：如果总价一定， 单价和数量的变化有什么规律？这两种量又存在什么关系？今天，我们就来研究和认识这种变化规律。二、互动新授二、互动新授1.认识反比例的意义。（1）初步感知反比例。课件出示教材第 61
16、 页例 3.提问：从“用 60 元购买笔记本”这句话中，你懂得了什么？引导学生认识：60 元是这批笔记本的总价，笔记本的数量和单价发生变化，但是笔记本的总价是固定的，始终是 60 元。（2）探究反比例关系。提问：观察这张表格中的两个数量，它们成正比例吗？为什么？小组讨论： 表中列出的是哪两种相关联的量？它们分别是怎样变化的？ 你能找出它们变化的规律吗？3猜一猜，这两种量成什么关系？（3）揭示反比例的意义。引导总结：购买笔记本的数量和单价是两种相关联的量，单价变化，数量也随着变化。当单价和对应数量的积总是一定，也就是总价一定时，单价和数量成反比例关系，单价和数量是成反比例的量。2.反比例意义的应
17、用。出示第 61 页“试一试” 。（1）要求学生根据表中的已知条件先把表格填写完整。（2）根据表中的数据，依次讨论表格下面的三个问题，并仿照例 3 作适当的板书。（3）让学生根据板书完整地说一说工作效率和工作时间成什么关系。学生自主完成，集体交流。3.用字母表示反比例的意义。如果用字母 x 和 y 分别表示两种相关联的量，用 k 表示它们的积，反比例关系可以用怎样的式子来表示？根据学生的回答，板书：xy =k（一定）揭示板书课题。三、巩固练习三、巩固练习1.完成第 62 页“练一练”第 1 题。学生读题，理解题意。提问：每袋糖果的粒数和装的袋数成反比例吗？为什么？完成之后随机小结： 判断两种量
18、是否成反比例要看这两种量是否是相关联的量，再看乘积是否一定，两者缺一不可。2.完成第 62 页“练一练”第 2 题。学生读题，独立解答。之后集体交流。3.了解第 62 页的“你知道吗” 。先让学生自由地读一读，再观察表格，说一说 x 和 y 的乘积总是多少，并用“xy=60”表示出来。在此基础上，引导学生观察反比例图像。四、课堂小结四、课堂小结认识成反比例的量认识成反比例的量单价单价数量数量= = 总价（一定）总价（一定）x xy y =k=k（一定）（一定）单价和数量成反比例单价和数量成反比例x x 和和 y y 成反比例成反比例三要素三要素两种量相关联两种量相关联一种量变化，另一种量也随着
19、变化一种量变化，另一种量也随着变化相对应的两个数的乘积一定相对应的两个数的乘积一定这两种相关联的量成反比例这两种相关联的量成反比例引导总结：成反比例的两种量要具备三个条件：一、两种量要相关联；二、其中一种量变化，另一种量也随着变化；三、两种量的乘积一定。五、课堂作业：五、课堂作业：练习十一第 1、2 题。板书设计：第第 4 课时课时 正、正、反比例练习课反比例练习课教学内容：教学内容：练习十一第 38 题和第 65 页的“动手做” 。教学目标：教学目标：1使学生进一步认识正、反比例的意义，了解正反比例的区别和联系，更好的把握正、反比例概念的本质。2进一步加深学生对正、反比例意义的理解，使他们能
20、够从整体上把握各种量之间的比例关系，能根据相关条件直接判断两种量成什么比例，提高判断成正比例、反比例量的能力。教学重点：教学重点：认识正、反比例的量的特点，加深对正、反比例的量的理解。教学难点：教学难点：能根据正、反比例的意义学会判断两种量之间的关系。一、复习铺垫一、复习铺垫1复习正反比例的意义。要求学生说出成正反比例量的关键，根据学生回答板书关系式。2举例说明。3讨论正、反比例的区别和联系。二、基础练习二、基础练习1. 在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中，（1）当底面周长一定时， （）与()成正比例；（2）当高一定时， （）与()成比例；（3）当侧面积一定时， （）与()成（）比例。2.
21、在被除数、除数、商这三种量中，（1）当（）一定时， （）与()成正比例；（2）当（）一定时， （）与()成反比例；（3）当（）一定时， （）与()成比例。3.ab=c（a、b、c 为三种量，且均不为 0） ，（1）当 a 一定时， （）与()成（）比例；（2）当（）一定时， （）与()成反比例；（3）当（）一定时， （）与()成（）比例。三、巩固练习三、巩固练习1.练习十一第 3 题。学生独立完成。2.练习十一第 4 题。先让学生独立判断，之后要让学生具体说明判断时的思考过程。3.练习十一第 5 题。（1）看图填写表格。（2）求出这幅图的比例尺，再根据图像特点判断图上距离和实际距离成什么比例，
22、也可以根据相关的计算结果作出判断。要让学生认识到：同一幅地图的比例尺一定，所以这幅图的图上距离和实际距离成正比例。（3）启发学生运用有关比例尺的知识进行解答。4.练习十一第 6 题。第（1）小题，引导学生根据四名同学看的是同一本书，理解“每天看的页数”与“看的天数”的乘积（也就是这本书的总页数）一定，所以，这两种量成反比例关系。第（2）小题引导学生理解虽然“已看的页数”与“剩下的页数”的和是不变的， 但这两种量不满足构成正比例或反比例的条件， 所以， 它们既不成正比例，也不成反比例。5.练习十一第 7 题。引导学生说说每题中的哪两种量是变化的，这两种量中，一种量变化，另一种量也随着变化，能不能
23、用相应的数量关系式表示这种变化的规律。6.练习十一第 8 题。学生自主练习，再把每次输入的数与相应的计算结果记录在表格中，最后独立完成下面的问题。四、课堂小结四、课堂小结通过本节课的学习，你又有了哪些收获？五、课堂作业：基础训练第第 5 课时课时 实践活动：大树有多高实践活动：大树有多高教学内容：教学内容：教材第 6667 页的实践活动“大树有多高” 。教学目标：教学目标：1通过测量各种目标物影子长度的实践活动，使学生主动探索掌握影子长度与目标物实际高度之间的比例关系。2通过分组合作，培养学生动手动脑、解决实际问题的能力和团结协作精神。3通过活动，使学生感受到数学与现实生活的密切联系，进一步激
24、发学习数学的兴趣，并在活动中培养创新精神。教学资源：教学资源：长度不一及长度相等的竹竿、卷尺、记录表。教学过程教学过程一、一、问题引入问题引入要知道一棵大树有多高，你有办法测量吗?能不能用我们学过的数学知识和方法解决这一问题呢？今天这节课我们将一起来研究大树有多高的问题。二、实践探素，发现规律二、实践探素，发现规律（一）量量比比（小组合作完成）提出要求：1在太阳光下，把几根同样长的竹竿直立在地面上，同时量出每根竹竿的影长。比较每次的测量结果，你发现了什么？2再把几根长度不同的竹竿直立在地面上，同时量出每根竹竿的影长。（1）按要求填表。（2）计算竹竿与影长的比值（3）讨论：根据每次求得的比值，你
25、有什么发现？（4）引导总结：在同一地点同时测量不同的竹竿高度与影长的比值是相等的。（二）议议做做提出要求：1根据上面测量和计算的结果，假设一根 3 米长的竹竿，当时直立在地面的影长是多少？（1）学生同桌交流。（2）集体交流是让学生说说自己的想法。2根据上面的发现，你能想办法测出一棵大树的高度吗？让学生在小组里交流。并指名学生说说自己的想法。3实践操作：现在我们一起来做一做，看看你的方法行不行。（1）在太阳光下，先用一根竹竿的高度和影长及量出当时大树的影长，并把结果填在下表里。（2）由学生各自算一算大树的高度。（3）小组讨论各自的想法。（4）提问：在测量竹竿的影长之后，如果过了一段较长的时间，再测量大树的影长。这样计算的结果还准确吗？为什么？三、拓展延伸三、拓展延伸根据求大树高度经验，让学生计算教学楼和旗杆的高度。四、课堂小结四、课堂小结谈话：通过这节课的活动和学习，你都知道了什么？你是怎样知道的？你学得开心吗？五、课外作业五、课外作业回家后，选择你喜欢的、个头巨大的物体，测量并计算出它的高度。板书：同一时间，同一点地，物体的长度和影长成正比例。
