1、第三章第三章 平面任意力系平面任意力系 概述概述 力线平移定理力线平移定理 平面任意力系向作用面内一点的简化平面任意力系向作用面内一点的简化 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 平面平行力系平面平行力系 物体系统的平衡、静定和静不定问题物体系统的平衡、静定和静不定问题 平面静定桁架的内力计算平面静定桁架的内力计算力线平移定理力线平移定理 定理：定理：作用于刚体上的力可以从其作用点平作用于刚体上的力可以从其作用点平行移至刚体内任一指定点，欲不改变该力对刚体行移至刚体内任一指定点，欲不改变该力对刚体的作用，则必须在该力与指定点所决定的平面内的作用，则必须在该力与指定点
2、所决定的平面内附加一力偶（称为附加力偶），其力偶矩等于原附加一力偶（称为附加力偶），其力偶矩等于原力对指定点的矩。力对指定点的矩。 用线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和用线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。一个力偶合成一个力。ABFBAFFF ABm3.3 平面任意力系向一点简化平面任意力系向一点简化 设平面一般力系如图（设平面一般力系如图（a），在平面内任取），在平面内任取一点一点O，称为，称为简化中心简化中心，由力线平移定理，将各，由力线平移定理，将各力平移至力平移至O点。于是可得平面汇交力系和附加力点。于是可得平面汇交力系和附加力偶系如图（偶系如图（b）。其中：）。其中
3、：O1A2AnA1F2FnF)(aO1F1m2F2mnFnmxy)(bORFOMxy)(c)2 . 1)()2 . 1(niFmmniFFiOiii 1.平面任意力系向一点简化、主矢与主矩平面任意力系向一点简化、主矢与主矩 对于汇交力系，由平面汇交力系的合成理论：对于汇交力系，由平面汇交力系的合成理论：1212RnnFFFFFFFF 平面一般力系中各力的矢量和平面一般力系中各力的矢量和 称为平称为平面任意力系的面任意力系的主矢主矢。所以力。所以力 等于原力系的主矢。等于原力系的主矢。显然，显然，主矢与简化中心的位置无关主矢与简化中心的位置无关。FR1212RxnRynFXXXXFYYYY 建立
4、坐标：建立坐标：因此，因此， 的大小和方向为：的大小和方向为：RF2222()()RRxRyFFFXY cos(, )RXFiFcos(,)RYFjF1.平面任意力系向一点简化、主矢与主矩平面任意力系向一点简化、主矢与主矩 对于平面力偶系，由平面力偶系的合成理论：对于平面力偶系，由平面力偶系的合成理论：)()()()(2121iOnOOOnOFmFmFmFmmmmM 原力系各力对简化中心力矩的代数和原力系各力对简化中心力矩的代数和 称为原力系对简化中心的称为原力系对简化中心的主矩主矩。所以，。所以， 等于原等于原力系对简化中心的主矩。一般来说，力系对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化主矩与简
5、化中心的位置有关。中心的位置有关。)(iOFmOM1.平面任意力系向一点简化、主矢与主矩平面任意力系向一点简化、主矢与主矩 综上所述可得如下结论：综上所述可得如下结论：平面一般力系平面一般力系向作用面内任一点简化得到一个力和一个向作用面内任一点简化得到一个力和一个力偶，如图（力偶，如图（c)所示。该力作用在简化中心，所示。该力作用在简化中心，其大小和方向等于原力系的主矢，该力偶其大小和方向等于原力系的主矢，该力偶之矩等于原力系对简化中心的主矩。主矢之矩等于原力系对简化中心的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩和简化中心与简化中心的位置无关，主矩和简化中心的位置有关。的位置有关。2.平面固定端约
6、束平面固定端约束 物体的一部分固嵌在另一物体中所构成的约物体的一部分固嵌在另一物体中所构成的约束称为束称为平面固定端约束平面固定端约束。AAAAAXAYAM3.3平 面任意力 系 的 简 化 结 果3.简化结果分析简化结果分析1、主矢和主矩都等于零、主矢和主矩都等于零(0,0)RoFM 此时平面力系平衡。此时平面力系平衡。2、主矢等于零，主矩不等于零、主矢等于零，主矩不等于零(0,0)ROFM 3、主矢不等于零，主矩等于零主矢不等于零，主矩等于零(0,0)ROFM 此时平面力系简化为一力偶。其力偶矩此时平面力系简化为一力偶。其力偶矩M等等于原力系对简化中心的主矩，即于原力系对简化中心的主矩，即
7、 且此时主矩与简化中心的位置无关。且此时主矩与简化中心的位置无关。)(FmMO 此时平面力系简化为一合力，作用在简化此时平面力系简化为一合力，作用在简化中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即RFF 3.简化结果分析简化结果分析4、主矢和主矩均不等于零、主矢和主矩均不等于零(0,0)ROFM 此时还可进一步简化为一合力。此时还可进一步简化为一合力。OOOMRFOORFdOOd()OORRRMmFF dF d 于是于是ORMdF由主矩的定义知：由主矩的定义知：)(iOOFmM所以：()()OROimFmF 结论：结论：平面一般力系的合力对作用面内任一点之矩平面
8、一般力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和。等于力系中各力对同一点之矩的代数和。即为平面即为平面一般力系的一般力系的合力矩定理合力矩定理。RFRFRF3.4 平面一般力系的平衡条件和平衡方程平面一般力系的平衡条件和平衡方程 1、平衡条件：、平衡条件：平面一般力系平衡的必要平面一般力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即都等于零。即0RF 0OM 2、平衡方程：由于、平衡方程：由于22()()FXY )(iOOFmM，因此平衡条件的解析方程为：，因此平衡条件的解析方程为：0 X0Y0)(FmO即：即：平面
9、一般力系平衡的解析条件是：力系中平面一般力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投所有各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零，所有各力对任一点之影的代数和分别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零矩的代数和等于零。上式称为。上式称为平面一般力系的平面一般力系的平衡方程平衡方程。 一、平衡条件和平衡方程一、平衡条件和平衡方程例例1baFABm求图示梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标。PABmAXAYBYxy0:cos0AXXF0:sin0ABYYYF( )0:sin()0ABmFY aFabm解之得：cosAXF sin
10、()BmFabYasinAmFbYa 例例2QABFmabb求图示平面刚架的约束反力。解：以刚架为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标。PmabbABQAXAYBFxy0:00:0( )0:20AABABXXFYYFQm FFb Qb m Fa 解之得：22ABAXFFaQbmFbQbFamYb 例例34545ABC301F2F2222 梁ABC用三链杆支承，并受荷载 和 的作用，如图所示，试求每根链杆所受的力。kNF201kNF402ABC301F2F2222AFBFCFxy解1：以梁为研究对象，受力如图，建立如图坐标。20:cos45cos45sin300ABXFFF120:sin45s
11、in45cos450ABCYFFFFF21( )0:86cos304sin4520ACBmFFFFF解之得：31.8();3.5();29.8()ABCFkNFkNFkN 解2：以梁为研究对象，受力如图，建立如图坐标。120:cos45cos75cos450BCXFFFF120:sin45sin75sin450ACYFFFF22( )0: 4cos302sin3060DCmFFFF解之可得同上的结果。AFABC301F2F2222BFCFDEHxy 同样，亦可由 或 和前两个投影方程联立求解。0)(FmE0)(FmH二、平衡方程的其它形式二、平衡方程的其它形式1、二矩式、二矩式0)(0)(0F
12、mFmXBA其中其中A、B两点的连线两点的连线AB不能垂直于不能垂直于x轴。轴。2、三矩式、三矩式0)(0)(0)(FmFmFmCBA其中其中A、B、C三点不能在同一条直线上。三点不能在同一条直线上。例例4ABCODGFrr2l4lABCODGFANBN 解：以杆AB为研究对象，受力如图。0)(FmO2222242( ) sincos( ) sin0lllG rFr解之得：222 4FlarctgFGrl 均质杆AB长l,重为G，置于光滑半圆槽内，圆槽半径为r，力 铅垂向下作用于D点，如图，求平衡时杆与水平线的夹角 。P3.5 平面平行力系平面平行力系一、平面平行力系的平衡方程一、平面平行力系
13、的平衡方程 力的作用线在同一平面且相互平行的力系称力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面平行力系平面平行力系。Oxy1F2F3FnF 平面平行力系作为平面任意平面平行力系作为平面任意力系的特殊情况，当它平衡时，也力系的特殊情况，当它平衡时，也应满足平面任意力系的平衡方程，应满足平面任意力系的平衡方程，选如图的坐标，则选如图的坐标，则 自然满自然满足。足。0 X于是平面平行力系的平衡方程为：于是平面平行力系的平衡方程为：0)(;0FmYO 平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：0)(; 0)(FmFmBA其中其中AB连线不能与各力的作用线平行。连线不
14、能与各力的作用线平行。二二. 平行分布线荷载的简化平行分布线荷载的简化 分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称称分布荷载分布荷载。若分布荷载可以简化为沿物体中心。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为线分布的平行力，则称此力系为平行分布线荷载平行分布线荷载，简称简称线荷载线荷载。qxCxQxy结论：结论： 1、合力的大小等、合力的大小等于线荷载所组成几何图形于线荷载所组成几何图形的面积。的面积。2、合力的方向与线荷载的方向相同。、合力的方向与线荷载的方向相同。3、合力的作用线通过荷载图的形心。、合力的作用线通过荷载图的形心。qlxqq
15、lxqlxPl21d0由合力矩定理由合力矩定理xqlxxxqhPlldd020 得得lh32解：解：取微元如图取微元如图求：求：已知：已知：合力及合力作用线位置合力及合力作用线位置. .;,lq例RFq2l2l1、均布荷载、均布荷载RFqlqRF32l3l2、三角形荷载、三角形荷载12RFq l例例FAabq求图示刚架的约束反力。xabqFAAXAYAMy 解：以刚架为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标。0:0qbXXA0:0AYYF:0)(FmA2102AMFaqb解之得：qbXAAYF212AMFaqb3.6 物体系统的平衡物体系统的平衡一、概念一、概念 由若干个物体通过约束所组成的系
16、统称为由若干个物体通过约束所组成的系统称为物物体系统体系统，简称，简称物系物系。 外界物体作用于系统的力称该系统的外界物体作用于系统的力称该系统的外力外力。 系统内各物体间相互作用的力称该系统的系统内各物体间相互作用的力称该系统的内内力力。 当整个系统平衡时，系统内每个物体都平衡。当整个系统平衡时，系统内每个物体都平衡。反之，系统中每个物体都平衡，则系统必然平衡。反之，系统中每个物体都平衡，则系统必然平衡。因此，因此，当研究物体系统的平衡时，研究对象可以当研究物体系统的平衡时，研究对象可以是整体，也可以是局部，也可以是单个物体。是整体，也可以是局部，也可以是单个物体。一、静定和静不定的概念一、
17、静定和静不定的概念 在静力学中求解物体系统的平衡问题在静力学中求解物体系统的平衡问题时，若未知量的数目不超过独立平衡方程时，若未知量的数目不超过独立平衡方程数目，则由刚体静力学理论，可把全部未数目，则由刚体静力学理论，可把全部未知量求出，这类问题称为知量求出，这类问题称为静定问题静定问题。若未。若未知量的数目多于独立平衡方程数目，则全知量的数目多于独立平衡方程数目，则全部未知量用刚体静力学理论无法求出，这部未知量用刚体静力学理论无法求出，这类问题称为类问题称为静不定问题静不定问题或或超静定问题超静定问题。而。而总未知量数与总独立平衡方程数之差称为总未知量数与总独立平衡方程数之差称为静不定次数静
18、不定次数。一、静定和静不定的概念一、静定和静不定的概念FFFPFPFPF例例6ABCDEF123qaaab 组合结构的荷载和尺寸如图所示，求支座反力和各链杆的内力。ABCDEF123qAXAYDF 解：先以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。0:0ADXXF0)2(:0baqYYA212( )0:(2)0ADmFF aqab解之得：2(2)2DqabFaabaqXA2)2(2)2(baqYA例例6C1F2F3Fxy45 再以铰C为研究对象，受力如图，建立如图坐标。130:cos450XFF230:sin450YFF1DFF由于 ，代入解之得：23(2)2qabFa 22(2)2qabFa当
19、然，亦可以以AB为研究对象，求 和 。2F3F例例7qFABCaaa 求图示三铰刚架的支座反力。 解：先以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。BYFABCqAXAYBXxy0:0ABXXXF0:0qaYYYBA32( ) 0:20ABm FYa Fa qaa可解得：3124BYFqa1142AYqaFFAYCXACAXCY再以AC为研究对象，受力如图。0; 0)(aYaXFmAAC解得：1142AAXYqaF1124BXFqa 例例8 求图示多跨静定梁的支座反力。解：先以CD为研究对象，受力如图。BC2213FqADqDCDFCXCY32( )0:330CDmFFq解之得：32DFqFqA
20、DBCDFBFAXAYxy 再以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。0:0AXX0:40ABDYYFFFq( )0:842460ADBmFFFFq解之得：123BFFq1122AYFq例例9 求图示结构固定端的约束反力。MBCBFCFMBCFqAaab 解：先以BC为研究对象，受力如图。0:0CmF bm于是得：CBmFFbFqABFAMAXAYxy 再以AB为研究对象，受力如图，建立如图坐标。0:0ABXXFF0:0qaYYA0)(FmA212()0ABMF abqaF a 将 代入即可求得 、 、 。BBFF AXAYAM例例100qAPmBCDE30aa3 结构的荷载和尺寸如图，CE
21、=ED，试求固定端A和铰支座B的约束反力。mBDBXBYDXDY 解：先以BD为研究对象，受力如图。0:0)(maXFmBD解得：amXBPmBCDE30BYBXCXCY再以CDB局部为研究对象，受力如图。03:0)(23maPaYFmBC例例10解得：amPBY3320qAPmBCDE30AMAXAYBXBYxy 最后以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。03:0021aqXXXBA0:0PYYYBA:0)(FmA03332332023aYaXmaPaaqMBBA解之得：aqXamA023amPAY332maqMA3320例例11 图示结构，各杆在A、E、F、G处均为铰接，B处为光滑接触
22、。在C、D两处分别作用力 和 ，且 ，各杆自重不计，求F处的约束反力。1P2PNPP50021CBEFAG1P2Pm2m2m2m2m2m2DABCEFG1P2PAXAYBN 解：先以整体为研究对象，受力如图。:0)(FmA062412PPNB解得：NNB1000例例11EF2PEXEYFXFYD再以DF为研究对象，受力如图。:0)(FmE解得：NPYF5002BFGGYGXFXFYBN 最后以杆BG为研究对象，受力如图。:0)(FmG0224FFBXYN解得：NXF150002222 YP例例12 三根等长同重均质杆（重W）如图在铅垂面内以铰链和绳EF构成正方形。已知：E、F是AB、BC中点，
23、AB水平，求绳EF的张力。WABTAXAYBXBYWAAYAXWWBCDDXDY 解1：先以AB为研究对象，受力如图。不妨设杆长为 。l:0)(FmB045sin22llATWlY（1）再以整体为研究对象，受力如图。:0Y03WYYDA（2）WWWABCDEF例例12最后以DC为研究对象，受力如图。:0)(FmC02lDWlY（3）联立求解（1）（2）（3）得：WT24WCDDXDYCXCYBYWBCTBXCXCY 解2：先以BC为研究对象，受力如图。045sin2lCTlX（4）再以DC为研究对象，受力如图。0:0CDXXX（5）最后以整体为研究对象，受力如图。:0)(FmA022WlWlX
24、lD（6）WAAYAXWWBCDDXDY:0)(FmB例例12 联立求解（4）（6）即可的同样结果。WWBCDDXDYTBXBY 解3：先以BCD为研究对象，受力如图。:0)(FmB045sin22llDDTWlYlX（7）联立求解（3）（6）（7）即可得同样结果。例例13ABCDEPlll32 三无重杆AC、BD、CD如图铰接，B处为光滑接触，ABCD为正方形，在CD杆距C三分之一处作用一垂直力 ，求铰链E处的反力。解：先以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。PABCDEPll32AXAYBNxy0:0AXX0:0)(32lPlNFmBA0:0PNYYBA解得：PYA31PNB32例例1
25、3CDPl32CXCYDXDY下面用不同的方法求解。 解1：先以DC为研究对象，受力如图。0:0)(32lPlYFmCDPYC32BECDPl32CYCXBNEXEYxy 再以BDC为研究对象，受力如图，建立如图坐标。0:0PYNYYCBEPYE310:0)(232lEllECYPXFmPXE 类似地，亦可以DC为研究对象，求 ，再以ACD为研究对象，求解。DY例例13PACDEDXDYEXEYAXAYACECXCYEXEYAXAY 解2：分别以ACD和AC为研究对象，受力如图。:0)(FmD03222lPYXlXlElEA:0)(FmC022lElEAAYXlYlX联立求解以上两方程即得同样
26、结果。 类似地，亦可以BDC和BD为研究对象，进行求解。例例13DEBDYDXBN1ER2ERACEAXAYCXCY1ER2ER 解3：分别以BD和AC为研究对象，受力如图。:0)(FmD0221lRlNEBPRE3221:0)(FmC0222lYlRlXAEA2322EERPR 用 、 表示的约束反力和用 、 表示的约束反力本质上是同一个力。1ER2EREXEY3.7 桁桁 架架 的的 内内 力力 计计 算算 桁架是由杆件彼此在两端用铰链联接形成的几桁架是由杆件彼此在两端用铰链联接形成的几何形状不变的结构。何形状不变的结构。桁架中所有杆件都在同一平面桁架中所有杆件都在同一平面内的桁架称为内的
27、桁架称为平面桁架平面桁架。桁架中的铰链接头称为。桁架中的铰链接头称为节节点点。 为了简化桁架的计算，工程实际中采用以下几为了简化桁架的计算，工程实际中采用以下几个假设：个假设： （1）桁架的杆件都是直杆；）桁架的杆件都是直杆； （2）杆件用光滑铰链联接；）杆件用光滑铰链联接； （3）桁架所受的力都作用到节点上，且在桁）桁架所受的力都作用到节点上，且在桁架平面内；架平面内； （4）桁架杆件重不计，或平均分配在杆件两）桁架杆件重不计，或平均分配在杆件两端的节点上。端的节点上。这样的桁架，称为这样的桁架，称为理想桁架理想桁架。一、节点法一、节点法 桁架内每个节点都受平面汇交力系作用，为求桁架内每个节
28、点都受平面汇交力系作用，为求桁架内每个杆件的内力，逐个取桁架内每个节点为桁架内每个杆件的内力，逐个取桁架内每个节点为研究对象，求桁架杆件内力的方法即为研究对象，求桁架杆件内力的方法即为节点法节点法。PABCD303012345m2m2 例14 平面桁架的尺寸和支座如图，在节点D处受一集中荷载P=10kN的作用。试求桁架各杆件所受的内力。PABCDAYBXBYxy 解：先以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。0:0BXX0:0PYYYBA042:0)(ABYPFm解之得：kNYYBA5AAY1S2SC1S3S4SD3S2SP5S 再分别以节点A、C、D为研究对象，受力如图，建立如图坐标。xy
29、对A：030cos:012SSX030sin:01SYYA解得：kNSkNS66. 8,1021对C：030cos30cos:014SSX030sin)(:0413SSSY解得：kNSkNS10,1034对D：0:025SSX解得：kNS66. 85PABCD303012345m2m2二、截面法二、截面法 用假想的截面将桁架截开，取至少包含两个用假想的截面将桁架截开，取至少包含两个节点以上部分为研究对象，考虑其平衡，求出被节点以上部分为研究对象，考虑其平衡，求出被截杆件内力，这就是截杆件内力，这就是截面法截面法。BDFG32PxyBYACE121PAXAY 解：以整体为研究对象，受力如图，建立
30、如图坐标。0:0AXX0:021PPYYYBA0312:0)(21ABYPPFm例15 图示平面桁架，各杆长度均为1m，在节点E上作用荷载 ，在节点D上作用荷载 ，试求杆1、2、3的内力。kNP101kNP72ABCDFEG1231P2P解之得：kNYkNYXBAA8,9, 0ACE1PAXAYD1S2S3Sxy 为求1、2、3杆的内力，用假想截面m-n将桁架截开，取左半部分为研究对象，受力如图，建立如图坐标。01123:0)(1AEYSFm060sin:012PSYYA0232321:0)(31ADYSPFm解之得：kNSkNSkNS81. 9,15. 1,4 .10321ABCDFEG1231P2Pmn
