1、江西省萍乡市江西省萍乡市 2020-2021 年度高三上学期期中复习试卷（理科）年度高三上学期期中复习试卷（理科）一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）1. 若集合2xAx y，集合Bx yx，则AB （）A.0,B.1,C.0,D., 【答案】C【解析】【分析】计算集合A和B，再计算交集得到答案.【详解】因为2xAx yR,0,)Bx yx，所以AB 0,，故选：C2. 已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a13，2a4+3a79，则 S7的值等于（）A. 21B. 1C. 42D. 0【答案】D【解析】【分析】利用等差数列an的通项公式求出 d1，由此能求出 S7【详解】解：
2、等差数列an的前 n 项和为 Sn，a13，2a4+3a79，2（3+3d）+3（3+6d）9，解得 d1，S77（3）+7 620故选：D【点评】本题考查等差数列的前 7 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3. 已知函数( )f x是定义在R上的偶函数， 且( )f x在0,)上单调递增， 若(2)3f， 则满足(1)3f x的x的取值范围是（）A.(, 2)(0,2) B.( 2,2)C.(,3)(0,1) D.( 3,1)【答案】D【解析】【分析】根据函数奇偶性，结合函数单调性，等价转化不等式，求解即可.【详解】因为( )yf x是R上的偶函数，所以(
3、2)(2)3ff，因为( )yf x在0,)上单调递增，所以(1)3f x等价于(|1|)(2)fxf，所以|1| 2x，即212x ，解得31x ，即满足条件的x的取值范围是( 3,1).故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性解不等式，属综合基础题.4. 已知集合220Ax xx，1Bx x，则AB （）A.2, 1B.1,1C.0,1D.1,2【答案】D【解析】【分析】化简集合 A,B，根据交集运算即可.【详解】因为220| 12Ax xxxx ，1 = |1Bx xx x 或1x ，所以(1,2)AB，故选：D5. 已知,4 2 ，且3 10sin410，则tan（）A. 2B
4、.43C. 3D.125【答案】A【解析】【分析】由同角三角函数的基本关系计算可得cos4、tan4，再根据两角差的正切公式计算可得.【详解】解：因为,4 2 ，所以3,424，又3 10sin410，所以10cos410 ，则tan34 ，所以tantan3 144tantan2441 31tantan44 .故选：A【点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于基础题.6. 函数2()( )41xxx eef xx的部分图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先判断函数奇偶性，再根据对应区间函数值的正负确定选项.【详解】2221()()410,()( )24141xx
5、xxx eex eexxfxf xxx ( )f x为偶函数，舍去A;当102x时( )0f x ,舍去 C；当12x 时( )0f x ,舍去 D；故选：B【点睛】本题考查函数奇偶性以及识别函数图象，考查基本分析求解判断能力，属基础题.7. 如图所示，O为ABC的外心，4AB ，2AC ，BAC为钝角，M为BC边的中点，则AM AO 的值为（）A.2 3B. 12C. 6D. 5【答案】D【解析】【分析】取AB,AC的 中 点,D E， 且O为ABC的 外 心 ， 可 知ODAB,OEAC， 所 求AM AOAD AOAE AO ，由数量积的定义可得|,|AD AOAD AE AOAE ，代
6、值即可【详解】如图所示，取AB,AC的中点,D E，且O为ABC的外心，可知ODAB,OEAC，M是边BC的中点，1()2AMABAC .11AM()()22AOABACAOAB AOAC AOAD AOAE AO ，由数量积的定义可得cos,AD AOAD AOAD AO ，而|cos,|AOAD AOAD ，故222|4|422ABAD AOAD ；同理可得222|2|122ACAE AOAE ，故415AM AOAD AOAE AO .故选 D【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题8. 已知实数满足约束条件4020340 xyxyxy
7、， 目标函数zaxby（0a 且0b ） 的最大值为 2， 则12ab的最小值为（）A.13302B.762C.32 2D.56 2【答案】A【解析】【分析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，再结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，画出约束条件4020340 xyxyxy所表示的平面区域，如图所示，目标函数zaxby（0a 且0b ） ，可化为直线azyxbb ，当直线azyxbb 过点B点时，此时在y轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由20340 xyxy，解得(3,5)B，所以目标函数的最大值为352zab，则121121561(35 )13(13
8、2 30)222baabababab，当且仅当56baab时取“=”.故选：A.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用，以及利用基本不等式求小值问题，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区域，确定出最优解，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及运算与求解能力.9. 在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差，1b ，则ac的取值范围是（）A.1,2B.0,2C.1, 3D.0, 3【答案】A【解析】【分析】在ABC中 ， 由A，B，C成 等 差 ， 结 合 三 角 形 内 角 和 定 理 得3B， 再 由 余 弦 定 理2222cosbacac
9、B列式，配方后利用基本不等式求解【详解】在ABC中，由A，B，C成等差，可得2BAC，由ABC，得3B，3B由余弦定理2222cosbacacB，可得2212cos3acac，即2221()3acacacac，则223()13()4acacac ，解得：22ac又1acbac 的取值范围是(1，2故选：A【点睛】关键点点睛：利用余弦定理可得等式2221()3acacacac，运用均值不等式可得关于ac的一元二次不等式，解不等式可求解，这是本题的解题关键，属于中档题.10. 已知函数222,0( )11,0 xxxf xxx，若( )f xax恒成立，则实数a的取值范围是（）A.22 2,1B.
10、,1C.22 2,0D.22 2,0【答案】A【解析】【分析】作出函数( )f x的图象，利用数形结合的思想判断a的范围，找出临界点即相切时a的取值，进而得出a的范围【详解】作出( )f x的图象，如图，由图象可知：要使( )f xax恒成立，只需函数( )g xax的图象恒在图象( )f x的下方，可得1a，设( )g xax与函数2( )22(0)f xxxx相切于点,(0)P m nm，由( )f x的导数为22x ，可得切线的斜率为22m，即有22am，222ammm，解得2m ，22 2a 由图象可得22 2a，综上可得a的范围是22 2，1故选：A【点睛】解决此类问题的关键是作出函
11、数图象，根据数形结合的思想处理问题，本题关键找出相切时刻这一临界位置，利用直线与抛物线相切即可求解.11. 若数列 na满足： 对任意*nN， 只有有限个正整数m， 使得man成立， 记这样的m的个数为*na，则得到一悠闲的数列*na，例如，若数列 na是 1，2，3，n，则得数列*na是 0，1，2，1n ，已知对任意的*nN，2nan，则*2015a（）A.22014B. 2014C.22015D. 2015【答案】C【解析】【分析】当221 ,nkk，关于m的不等式2mn的整数解的个数即为1k ，根据*na的定义可得*1nak，再结合*na的定义可求*2015a的值，从而得正确的选项.【
12、详解】因为2nan，故满足man的正整数m的个数为不等式2mn的整数解的个数.当221 ,nkk，关于m的不等式2mn的整数解的个数即为1k ，故*1nak，其中221 ,nkk，故 *na中项的大小为1k 共有22121kkk项.将 *na列举如下：35210,1,1,1,2,2,2,2,2,1,1,1,kkkk而*2015a即为*2015na 中*na的个数.由可得*2015na 中*na的个数为21 3 52 2015 12015 .故选：C.【点睛】关键点点睛：为了求出不等式2mn的正整数解的个数，我们把所有的正整数按22*1 ,kkkN分类，为了求出*2015na 中*na的个数，我
13、们用了列举法找到了计算*2015na 中n的个数的方法，这体现了数形结合的数学思想.12. 已知函数 fx的图象如图所示，给出四个函数： f x， fx，fx，fx，又给出四个函数的图象，则正确的匹配方案是（） A. 甲，乙，丙，丁B. 甲，乙，丙，丙C. 甲，乙，丙，丁D. 甲，乙，丙，丁【答案】A【解析】【分析】结合函数图象的变换进行求解，可以翻折图象得到，可以通过对称得到.【详解】把 yf x的图象x轴下方的部分翻折到上方，上方部分保持不变可得 yf x的图象，所以-甲；把 yf x的图象y轴左边的部分去掉，y轴右边的部分保持不变，同时把y轴右边的图象对称到y轴左边，可得 yfx的图象，
14、所以-乙；把 yf x的图象y轴右边的部分去掉，y轴左边的部分保持不变，同时把y轴左边的图象对称到y轴右边，可得yfx的图象，所以-丙；作 yf x的图象关于y轴的对称图象，可得yfx的图象，所以-丁；故选：A.【点睛】本题主要考查函数图象的识别，熟悉图象的变换是求解的关键，明确对称变换、翻折变换对应解析式的特征，侧重考查直观想象的核心素养.二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）13. 定积分102xxedx_【答案】e【解析】121212000(2)()|(1)(0)xxxe dxxeeee.点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲
15、边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和2利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数当图形的边界不同时，要分不同情况讨论14. 平面向量a与b的夹角为60，且3,0a ，1b ，则2ab_.【答案】19【解析】【分析】根据向量数量积的定义求出12a b ，再将2ab平方即可求解.【详解】向量a与b的夹角为60，3,0a ，1b ，| 3a31 3 cos602a b ，则22232244944192ababaa bb ，故答案为：1915. 已知定义在 R 上的函数 fx是奇函数， 且满足 3fx
16、f x，3(1) f， 数列na满足11a 且*1nnnan aanN，则3637f af a_.【答案】3【解析】【分析】先根据 fx是奇函数，且满 3足fxfx推出周期为 6,再根据递推关系式推出通项公式,求出36a和37a,再根据周期性和奇偶性求出函数值即可.【详解】因为函数 fx是奇函数，所以 fxfx ，又因为 3fxf x，所以3 fxfx，所以 3 fxfx，所以333fxfx ，所以(6)( )( )fxf xf x ,即(6)( )fxf x,所以 fx是以 6 为周期的周期函数；由1nnnan aa可得11nnanan，则2n 时,1221123113211241 nnnn
17、nnnaaaannnaanaaaannn，又1n 时,11a 也适合,所以nan，所以3636a，3737a，又因为13f ， 00f，所以3637(6 60)(6 6 1)f af aff (0)(1)ff0( 1)3f .故答案为:-3【点睛】 本题考查了函数的周期的推导,利用周期求函数值,函数的奇偶性的应用,根据递推关系式求数列通项公式,属于中档题.16. 已知 yf x为R上的连续可导函数，且 0 xfxf x，则函数 10g xxf xx的零点个数为【答案】0【解析】试题分析：设( )( )h xxf x，则( )( )( )0h xxfxf x，则函数( )h x在R上为增函数，且
18、(0)0h，所以 1xf x 在(0,)上恒为正，故函数 10g xxf xx的零点个数为0.考点：1.函数的零点；2.函数的单调性与导数的关系.【易错点晴】本题考查了利用导数来判断单调性和函数的零点的定义.属于中档题.对于函数( )yf x,定义域为D.若0()0f x,0 xD,则0 x为函数( )f x的零点.在本题中,利用已知条件 0 xfxf x,要构造函数( )( )h xxf x,则( )0h x ,得到函数( )h x在R上为增函数，且(0)0h，故 1 10 xf x ,即没有零点.三、解答题（共三、解答题（共 6 小题）小题）17. 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、
19、b、c.已知cossinaBbBc.（1）若30B ，求A.（2）求sinsinAB的取值范围.【答案】 （1）120； （2）(1,2)【解析】【分析】(1)已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，根据sinB不为 0 求出cos A的值，即可确定出 A 的度数；(2)由第一问得到cossinAB ，代入原式，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据题意求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出范围.【详解】 （1）由正弦定理得2sincossinsinABBC，sinsin()sin()CABAB，2sincossinsin()ABBAB，即2s
20、incossinsincoscossinABBABAB，2cossinsinABB ，sin0B ，1cossinsin302AB ，0180A，120A；（2）由（1）得cossinAB ，sinsinsincos2sin45ABAAA，又cossincos 90ABB ，90AB，180AB，90135A，454590A，2sin4512A，12sin452A ，则sinsinAB的取值范围(1,2).【点睛】 此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及正弦函数的定义域与值域,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.18. 直四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD为菱形，且60
21、BAD，12A AAB，E为1BB延长线上的一点，1D E 面1D AC.（1）若H是1BB的中点，证明：1/ /DHD E；（2）求三棱锥ACDE的体积；（3）求二面角1EACD的大小.【答案】 （1）证明见解析（2）3（3）45【解析】【分析】（1）证明DH 面1D AC，利用1D E 面1D AC，可得1/ /DHD E；（2）证明四边形1DD HE是平行四边形，棱锥ACDE的体积等于三棱锥BCDE的体积，等于三棱锥DBCE的体积，即可求得结论；（3）建立直角坐标系，确定E的坐标，求出平面EAC的法向量(0,3, 1)m ，平面1D AC的法向量为1(0D E ，2，1)，利用向量的夹角
22、公式，可求二面角1EACD的大小【详解】 （1）证明：连接BD交AC于O，在矩形11BDD B中，O是BD的中点，H是1BB的中点1DDOBDH ，1HDBDDO ，1,DHDOAC 平面11BDD B，DH 平面11BDD B，ACDH1ACDOODH面1D AC，又1D E Q面1D AC，1/ /DHD E；（2）由（1）知1/ /DHD E，1/ /DDEH，四边形1DD HE是平行四边形12EHDD，3BE/ /ABCD，三棱锥ACDE的体积等于三棱锥BCDE的体积，等于三棱锥DBCE的体积60BAD，2AB ，D到平面1BC的距离为3DBCE的体积等于11233332 三棱锥ACD
23、E的体积等于3；（3）建立如图所示的直角坐标系，则( 3,0,0)A，(0B，1，0)，(3C ，0，0)，(0D，1，0)，1(0D，1，2)设(0E，1，2)h，则11(0,2, ),(2 3,0,0),( 3,1, 2)D Eh CAD A 1D E Q面1D AC，1D EAC，11D ED A220h，1h，即(0E，1，3)1(0,2,1),(3,1,3)D EAE 设平面EAC的法向量为( , , )mx y z由mCAmAE ，可得0330 xxyz，令1z ，则(0,3, 1)m 平面1D AC的法向量为1(0D E ，2，1)111612cos,2|105m D Em D
24、EmD E 二面角1EACD的大小为45【点睛】关键点点睛：求二面问题，一般考虑建系后利用向量的夹角来处理，其中求平面的法向量是解决此类问题的关键，对运算能力要求高，属于中档题.19. 每年的 12 月 4 日为我国“法制宣传日”.天津市某高中团委在 2019 年 12 月 4 日开展了以“学法、 遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是 480 人、360 人、360 人.为检查该学校组织学生学习的效果， 现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取 10 名学生进行问卷测试.具体要求：每位被选中的学生要从 10 个有关法律、法规的问题中随机抽出 4 个问题进行作
25、答，所抽取的 4 个问题全部答对的学生将在全校给予表彰.求各个年级应选取的学生人数；若从被选取的 10 名学生中任选 3 人，求这 3 名学生分别来自三个年级的概率；若被选取的 10 人中的某学生能答对 10 道题中的 7 道题，另外 3 道题回答不对，记X表示该名学生答对问题的个数，求随机变量X的分布列及数学期望.【答案】 （1）高一年级应选取4人，高二年级应选取3人，高三年级应选取3人.（2）310（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用分层抽样求得各年级应抽取的人数；（2）利用计算原理求得基本事件的总数为310C，再求出所求事件的基本事件数，再代入古典概型概率计算公式；（3）随机变量X的
26、所有可能取值为1,2,3,4，利用超几何分计算473410kkC CP XkC（1,2,3,4k ） ，最后求得期望值.【详解】 （1）由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为4:3:3，由于采用分层抽样方法从中选取10人，因此，高一年级应选取4人，高二年级应选取3人，高三年级应选取3人.（2）由（1）知，被选取的10名学生高一、高二、高三年级分别有4人、3人、3人，所以，从这10名学生任选3名，且3名学生分别来自三个年级的概率为111433310310C C CC.（3）由题意知，随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，且X服从超几何分布，473410kkC CP XkC（1,2,3,4
27、k ）.所以，随机变量X的分布列为X1234P1303101216所以，随机变量X的数学期望为 13111412343010265E X .【点睛】本题考查统计中的分层抽样、古典概型、超几何分布，考查统计与概率思想的应用，考查数据处理能力，求解的关键是确定随机变量的概率模型.20. 已知 na为等差数列，前n项和为*nSnN， nb是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，2312bb，3412baa，11411Sb.（）求 na和 nb的通项公式；（）求数列nnab的前n项和为*nTnN.【答案】 （）32,2nnnanb（）110352nnTn【解析】【分析】（） 根据等比数列的通项公式可
28、计算得到公比q的值， 再根据等差数列的通项公式和求和公式可列出方程组，解出首项1a和公差d的值，即可求得na和 nb的通项公式；（）先根据第（）题的结论得到数列nnab的通项公式，然后运用错位相减法求出前n项和nT【详解】 （）由题意，设等差数列na的公差为d，等比数列 nb的公比为q，则0q 故2 (1)12qq，解得2q =，由题意，得11132811 101111 162adaad，解得113ad13(1)32nann ；12 22nnnb（）由（）知，(32) 2nnnabn21 1221 242(32) 2nnnnTa ba ba bn ，23121 242(35) 2(32) 2n
29、nnTnn ，得2311 232323 2(32) 2nnnTn 21212 (122)(32) 2nnn1112212(32) 212nnn153210nn110352nnTn【点睛】关键点点睛：已知等差等比数列求通项公式，主要方法是解方程组，等差等比数列相乘的形式的数列求和，利用错位相减法处理即可，属于中档题.21. 已知函数2( )xf xeax，2( )ln(1)1g xxxxex，且曲线( )yf x在1x 处的切线方程为1ybx.（1）求a，b的值；（2）求函数( )f x在01，上的最小值；（3）证明：当0 x 时，( )( )g xf x.【答案】(1)12abe，(2) mi
30、n1fx（3）见解析【解析】【分析】（1）求出 f（x）的导数，计算 1f ， 1f，求出 a，b 的值即可；（2）求出 f（x）的导数，得到导函数的单调性，得到 f（x）在0，1递增，从而求出 f（x）的最大值；（3）只需证明 x0 时，1ln10 xee xx x ，因为 01f，且曲线 yf x在1x 处的切线方程为21yex，故可猜测：当0 x 且1x 时， fx的图象恒在切线21yex的上方【详解】 （1）由题设得 2xfxeax， 1211feabfeab，解得，12abe，（2）由（1）知， 2xf xex，令函数 1xh xex， 1xh xe，当0 x 时， 0h x， h
31、x递减；当0 x 时， 0h x， h x递增； 00h xh，即1xex当0,1x时， 21 210 xfxexxxx ，且仅当1x 时 0fx，故 fx在0,1上单调递增， min01f xf；（3）由题要证：当0 x 时， g xf x，即证：1ln10 xee xx x ，因为 01f，且曲线 yf x在1x 处的切线方程为21yex，故可猜测：当0 x 且1x 时， fx的图象恒在切线21yex的上方下面证明：当0 x 时， 21f xex，证明：设 21xf xex，0 x ，则 22xxexe，令 F xx， 2xFxe，当0,ln2x时， 0Fx， x单调递减；当ln2,x时，
32、 0Fx， x单调递增，又 030e ， 01，0ln21，ln20所以，存在00,1x ，使得 0 x，当00,1,xx时， 0 x；当0,1xx， 0 x故 x在00,x上单调递增，在0,1x上单调递减，在1,上单调递增又 010， 2210 xxexex ，当且仅当1x 时取等号故210 xee xx xx，由（2）知，1xex，故ln1xx，1lnxx ，当且仅当1x 时取等号所以，21ln1xee xxxx即21ln1xee xxx所以，21lnxee xx xx ，即1ln10 xee xx x 成立，当1x 时等号成立.故：当0 x 时， g xf x，方法二：要证22ln11x
33、x xxexex ，等价于ln110 xx xexe ，又0 x ，可转化为证明1ln10 xexexx 令 1ln1xeF xxexx ， 2221 1111xxxeexFxxxxx，0 x ，因此当0,1x时， 0Fx， F x单调递增；当1,+x时， 0Fx， F x单调递减； F x有最大值 10F，即 0F x 恒成立，即当0 x 时， g xf x22. 已知函数( )xf xexa是偶函数.（1）求曲线( )yf x在1x 处的切线方程；（2）求不等式(x)xf的解集.【答案】(1)1yex； （2）R.【解析】【分析】（1）根据函数( )xf xexa是偶函数，则 ()fxf
34、x恒成立，由xaxa恒成立求得0a ，进而得到0 x 时，( )xf xex，然后求得(1),(1)ff，用点斜式写出切线方程.（2）不等式(x)xf，即为xexx，然后分0 x ，0 x 求解.【详解】 （1）因为函数( )xf xexa是偶函数，所以 ()xxfxexaexaf x 恒成立，即xaxa恒成立，即22xaxa恒成立，即40ax 恒成立，解得0a .所以( )xf xex，当0 x 时，( )xf xex，所以( )1xfxe，(1)1,(1)1fefe，所以曲线( )yf x在1x 处的切线方程111yeex，即；1yex.（2）不等式(x)xf，即xexx，当0 x 时，0 xe ，此时0 x ，当0 x 时，2xex，此时0 x ，综上：不等式(x)xf的解集是R.
