1、 1、如图 9（1） ，在平面直角坐标系中，抛物线经过 A（-1，0） 、B（0，3）两点， 与 x 轴交于另一点 C，顶点为 D （1）求该抛物线的解析式及点 C、D 的坐标； （2）经过点 B、D 两点的直线与 x 轴交于点 E，若点 F 是抛物线上一点，以 A、B、E、F 为顶点的 四边形是平行四边形，求点 F 的坐标； （3）如图 9（2）P（2，3）是抛物线上的点，Q 是直线 AP 上方的抛物线上一动点，求APQ 的最 大面积和此时 Q 点的坐标 2、随着我市近几年城市园林绿化建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划 投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的
2、利润y1与投资成本x成正比例关系，如 图所示；种植花卉的利润y2与投资成本x成二次函数关系，如图所示（注：利润与投资成本 的单位：万元） 图 图 （1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式； （2） 如果这位专业户计划以 8 万元资金投入种植花卉和 树木，请求出他所获得的总利润Z与投入种植花卉的投资量x之间的函数关系式，并回答他至少 获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ 3、如图，为正方形的对称中心，直线交于，于，点 从原点出发沿 轴的正半轴方向以 1 个单位每秒速度运动， 同时， 点从出发沿方向以 个单位每秒速度运动，运动时间为 求： （1）的坐标为 ； （2）当 为何值时，与
3、相似？ （3）求的面积与 的函数关系式；并求以为顶点的四边形是梯形时 的值及 的最大值 4、如图，正方形 ABCD 的顶点 A,B 的坐标分别为，顶点 C,D 在第一象限点 P 从点 A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点 Q 从点 E(4,0)出发，沿 x 轴正方向以相同速 度运动当点 P 到达点 C 时，P,Q 两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒 （1）求正方形 ABCD 的边长 （2）当点 P 在 AB 边上运动时，OPQ 的面积 S（平方单位）与时间 t（秒）之间的函数图象为抛 物线的一部分（如图所示），求 P,Q 两点的运动速度 （3）求（2）中面积 S（平方单位）与
4、时间 t（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标 （4）若点 P,Q 保持（2）中的速度不变，则点 P 沿着 AB 边运动时，OPQ 的大小随着时间 的增 大而增大；沿着 BC 边运动时，OPQ 的大小随着时间 的增大而减小当点沿着这两边运动时， 使OPQ=90的点有 个 5、如图，在梯形中，厘米，厘米，的坡度 动点从出发以 2 厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以 3 厘米/秒的速 度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点 也随之停止设动点运动的时间为 秒 （1）求边的长； （2）当 为何值时，与相互平分； （3）连结设的面积为探求与 的函数关系式，
5、求 为何值时，有最大值？最大 值是多少？ 6、已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴， 轴相交于两点，并且与直线相交于点. (1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则； (2)如图， 将沿轴翻折， 若点的对应点恰好落在抛物线上，与轴交于点， 连结，求的值和四边形的面积； (3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由. 7、已知抛物线 yax 2bxc 的图象交 x 轴于点 A(x 0，0)和点 B(2，0)，与 y 轴的正半轴交于点 C，其对称轴是直线 x1，tanBAC2，点 A 关于 y 轴的对称点为点 D
6、 (1)确定 A.C.D 三点的坐标； (2)求过 B.C.D 三点的抛物线的解析式； (3)若过点(0，3)且平行于 x 轴的直线与(2)小题中所求抛物线交于 M.N 两点，以 MN 为一边，抛物 线上任意一点 P(x，y)为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为 S，写出 S 关于 P 点纵坐标 y 的函数解析式 (4)当x4 时，(3)小题中平行四边形的面积是否有最大值，若有，请求出，若无，请说明理 由 8、如图，直线 AB 过点 A(m,0)，B(0,n)(m0,n0)反比例函数的图象与 AB 交于 C，D 两点，P 为双 曲线一点，过 P 作轴于 Q，轴于 R，请分别按(1)(2)(
7、3)各自的要求解答闷 题。 (1)若 m+n=10，当 n 为何值时的面积最大?最大是多少? (2)若，求 n 的值： (3)在(2)的条件下，过 O、D、C 三点作抛物线，当抛物线的对称轴为 x=1 时，矩形 PROQ 的面积是 多少? 9、已知 A1、A2、A3是抛物线上的三点,A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于 x 轴，垂足为 B1、B2、B3， 直线 A2B2交线段 A1A3于点 C。 （1） 如图 1，若 A1、A2、A3三点的横坐标依次为 1、2、3，求线段 CA2的长。 （2）如图 2，若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数， 其他条件不变，求线段 CA
8、2的长。 （3）若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他 条件不变，请猜想线段 CA2的长（用 a、b、c 表示，并直接写出答案）。 10、如图，现有两块全等的直角三角形纸板，它们两直角边的长分别为 1 和 2将它们分 别放置于平面直角坐标系中的，处，直角边在轴上一直尺从上方紧靠 两纸板放置，让纸板沿直尺边缘平行移动当纸板移动至处时，设与分 别交于点，与轴分别交于点 （1）求直线所对应的函数关系式； （2）当点是线段（端点除外）上的动点时，试探究： 点到轴的距离与线段的长是否总相等？请说明理由； 两块纸板重叠部分 （图中的阴影部分） 的面积是否存在最大值？若存在， 求
9、出这个最大值及 取最大值时点的坐标；若不存在，请说明理由 11、OM 是一堵高为 2.5 米的围墙的截面，小鹏从围墙外的 A 点向围墙内抛沙包，但沙包抛出后正 好打在了横靠在围墙上的竹竿 CD 的 B 点处， 经过的路线是二次函数图像的一部分， 如果沙包不被竹竿挡住，将通过围墙内的 E 点，现以 O 为原点，单位长度为 1，建立如图所示的 平面直角坐标系， E 点的坐标(3， )， 点 B 和点 E 关于此二次函数的对称轴对称， 若 tanOCM=1(围 墙厚度忽略不计)。 (1)求 CD 所在直线的函数表达式； (2)求 B 点的坐标； (3)如果沙包抛出后不被竹竿挡住，会落在围墙内距围墙多
10、远的地方? 12、已知：在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数的图象与 x 轴交于点 A，抛物线 经过 O、A 两点。 （1）试用含 a 的代数式表示 b； （2）设抛物线的顶点为 D，以 D 为圆心，DA 为半径的圆被 x 轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧 沿 x 轴翻折，翻折后的劣弧落在D 内，它所在的圆恰与 OD 相切，求D 半径的长及抛物线的解 析式； （3）设点 B 是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在 x 轴上方的部分上是否存在这样 的点 P，使得？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 13、如图，抛物线交轴于 AB 两点，交轴于 M 点.抛物线向右平移 2
11、 个 单位后得到抛物线，交轴于 CD 两点. （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）抛物线或在轴上方的部分是否存在点 N，使以 A，C，M，N 为顶点的四边形是平行四 边形.若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点 P 是抛物线上的一个动点（P 不与点 AB 重合），那么点 P 关于原点的对称点 Q 是 否在抛物线上，请说明理由. 14、已知四边形是矩形，直线分别与交与两点，为对角线 上一动点（不与重合） （1）当点分别为的中点时，（如图 1）问点在上运动时，点、能否 构成直角三角形？若能，共有几个，并在图 1 中画出所有满足条件的三角形 （2）若，为的中点，当直线移动
12、时，始终保持，（如图 2） 求的面积与的长之间的函数关系式 15、如图 1，已知抛物线的顶点为，且经过原点，与轴的另一个交点为（1）求抛 物线的解析式； （2）若点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平 行四边形，求点的坐标； （3）连接，如图 2，在轴下方的抛物线上是否存在点，使得与相似？ 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由 16、如图，已知抛物线经过原点O 和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1 经过 抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、 直线x=2 分别交于点D、E. （1）求m的值及该抛物线对应的函 数关系式； （2）求证：
13、 CB=CE ； D是BE的中点； （3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所 有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 17、如图，抛物线与轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交 于点 C，且当=0 和=4 时，y 的值相等。直线 y=4x-16 与这条抛物线相交于两点，其中一点的 横坐标是 3，另一点是这条抛物线的顶点 M。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）P 为线段 OM 上一点，过点 P 作 PQ轴于点 Q。若点 P 在线段 OM 上运动（点 P 不与点 O 重 合，但可以与点 M 重合），设 OQ
14、的长为 t，四边形 PQCO 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式 及自变量 t 的取值范围； （3）随着点 P 的运动，四边形 PQCO 的面积 S 有最大值吗？如果 S 有最大值，请求出 S 的最大值 并指出点 Q 的具体位置和四边形 PQCO 的特殊形状；如果 S 没有最大值，请简要说明理由； （4）随着点 P 的运动，是否存在 t 的某个值，能满足 PO=OC？如果存在，请求出 t 的值。 参考答案参考答案 1、解： （1）抛物线经过 A（-1，0） 、B（0，3）两点， 解得： 抛物线的解析式为： 由，解得： 由 D（1,4） （2）四边形 AEBF 是平行四边形， BF=
15、AE 设直线 BD 的解析式为：，则 B（0，3），D（1,4） 解得： 直线 BD 的解析式为： 当 y=0 时，x=-3 E（-3，0）， OE=3， A（-1，0） OA=1， AE=2 BF=2， F 的横坐标为 2， y=3， F（2，3）； （3）如图，设 Q，作 PSx 轴，QRx 轴于点 S、R，且 P（2，3）， AR=+1，QR=，PS=3，RS=2-a，AS=3 SPQA=S四边形 PSRQ+SQRA-SPSA = = SPQA= 当时，SPQA的最大面积为， 此时 Q 2、（1）设y1=kx，由图所示，函数y1=kx的图象过（1，2）， 所以 2=k 1，k=2， 故利
16、润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x， 该抛物线的顶点是原点， 设y2=ax 2， 由图所示，函数y2=ax 2的图象过（2，2）， 2=a 2 2， ， 故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y2= x 2； （2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0x8），则投入种植树木（8x）万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得z=2 （8x）+ x 2= x22x+16= （x2）2+14， 当x=2 时，z的最小值是 14， 0x8， 当x=8 时，z的最大值是 32 3、（1）（，）分 （2）当MDR45 时，2,点（2，0）分 当DRM45 时，3,点（3，0） 分 （） （）；（1 分
17、） （） （1 分） 当时，（1 分） （1 分） 当时， （1 分） 当时， （1 分） 4、解：（1）作 BFy 轴于 F。 因为 A（0，10），B（8，4） 所以 FB=8，FA=6 所以 （2）由图 2 可知，点 P 从点 A 运动到点 B 用了 10 秒。 又因为 AB=10，1010=1 所以 P、Q 两点运动的速度均为每秒 1 个单位。 （3）方法一：作 PGy 轴于 G 则 PG/BF 所以，即 所以 所以 因为 OQ=4+t 所以 即 因为 且 当时，S 有最大值。 方法二：当 t=5 时，OG=7，OQ=9 设所求函数关系式为 因为抛物线过点（10，28），（5，） 所以
18、 所以 所以 因为 且 当时，S 有最大值。 此时 所以点 P 的坐标为（）。 （4）当点 P 沿 AB 边运动时，OPQ 由锐角直角钝角；当点 P 沿 BC 边运动时，OPQ 由钝角直角锐角（证明略），故符 合条件的点 P 有 2 个。 5、解：（1）作于点， 如图所示，则四边形为矩形 又 在中，由勾股定理得： （2）假设与相互平分 由 则是平行四边形（此时在上） 即 解得即秒时，与相互平分 （3）当在上，即时， 作于，则 即 = 当秒时，有最大值为 当在上，即时， = 易知随 的增大而减小 故当秒时，有最大值为 综上，当时，有最大值为 6、 （1）. （2）由题意得点与点关于轴对称， 将的
19、坐标代入得， （不合题意，舍去），. ，点到轴的距离为 3. ， ，直线的解析式为， 它与轴的交点为点到轴的距离为. . （3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于， 把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式， 得： （不舍题意，舍去）， . 当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分， 与关于原点对称， 将点坐标代入抛物线解析式得：， （不合题意，舍去）， 存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形 7、解：(1)点 A 与点 B 关于直线 x1 对称，点 B 的坐标是(2，0) 点 A 的坐标是(4，0) 由 tanBAC2 可得 OC8 C(0，8) 点 A
20、 关于 y 轴的对称点为 D 点 D 的坐标是(4，0) (2)设过三点的抛物线解析式为 ya(x2)(x4) 代入点 C(0，8)，解得 a1 抛物线的解析式是 yx 26x8 (3)抛物线 yx 26x8 与过点(0，3)平行于 x 轴的直线相交于 M 点和 N 点 M(1，3)，N(5，3)，4 而抛物线的顶点为(3，1) 当 y3 时 S4(y3)4y12 当1y3 时 S4(3y)4y12 (4)以 MN 为一边，P(x，y)为顶点，且当x4 的平行四边形面积最大，只要点 P 到 MN 的距离 h 最大 当 x3，y1 时，h4 Sh4416 满足条件的平行四边形面积有最大值 16
21、8、解：(1) 所以 n=5 时，面积最大值是 (2)当时，有 AC=CD=DB 过 C 分别作 x 轴，y 轴的垂线可得 c 坐标为() 代入得 (3)当时，得 设解析式为得， 所以对称轴 因为 P(x，y)在上 所以四边形 PROQ 的面积 9、解：（1）A1、A2、A3三点的横坐标依次为 1、2、3， A1B1= ，A2B2，A3B3 设直线 A1A3的解析式为 ykxb。 解得 直线 A1A2的解析式为。 CB222 CA2=CB2A2B2=2。 (2)设 A1、A2、A3三点的横坐标依次 n1、n、n1。 则 A1B1= ，A2B2=n 2n1， A3B3=(n1) 2（n1）1。
22、设直线 A1A3的解析式为 ykxb 解得 直线 A1A3的解析式为 CB2n（n1）n 2 n 2n CA2= CB2A2B2=n 2n n 2n1 。 (3)当 a0 时，CA2a；当 a0 时，CA2a 10、解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为 1 和 2，知两点的坐标分别为设直线所对应的函数 关系式为 有解得 所以，直线所对应的函数关系式为 （2）点到轴距离与线段的长总相等 因为点的坐标为， 所以，直线所对应的函数关系式为 又因为点在直线上， 所以可设点的坐标为 过点作轴的垂线，设垂足为点，则有 因为点在直线上，所以有 因为纸板为平行移动，故有，即 又，所以 法一：故， 从而有
23、 得， 所以 又有 所以，得，而， 从而总有 法二：故，可得 故 所以 故点坐标为 设直线所对应的函数关系式为， 则有解得 所以，直线所对的函数关系式为 将点的坐标代入，可得解得 而，从而总有 由知，点的坐标为，点的坐标为 当时，有最大值，最大值为 取最大值时点的坐标为 11、解：(1)OM=2.5，tanOCM=1， OCM=，OC=OM=2.5。 C(2.5，0)，M(0，2.5)。 设 CD 的解析式为 y=kx+2.5 (ko)， 2.5k+2.5=0， k= 一 1。 y= x+2.5。 (2)B、E 关于对称轴对称，B(x，)。 又B 在 y=一 x+2.5 上，x= 一 l。 B
24、(1，)。 (3)抛物线 y=经过 B(一 1，)，E(3，)， y=， 令 y=o，则=0，解得或。 所以沙包距围墙的距离为 6 米。 12、（1）解法一：一次函数的图象与 x 轴交于点 A 点 A 的坐标为（4，0） 抛物线经过 O、A 两点 解法二：一次函数的图象与 x 轴交于点 A 点 A 的坐标为（4，0） 抛物线经过 O、A 两点 抛物线的对称轴为直线 （2）解：由抛物线的对称性可知，DODA 点 O 在D 上，且DOADAO 又由（1）知抛物线的解析式为 点 D 的坐标为（） 当时， 如图 1， 设D 被 x 轴分得的劣弧为， 它沿 x 轴翻折后所得劣弧为， 显然所在的圆与D 关
25、于 x 轴对称， 设它的圆心为 D 点 D与点 D 也关于 x 轴对称 点 O 在D上，且D 与D相切 点 O 为切点 DOOD DOADOA45 ADO 为等腰直角三角形 点 D 的纵坐标为-2 抛物线的解析式为 当时， 同理可得： 抛物线的解析式为 综上，D 半径的长为，抛物线的解析式为或 （3）解答：抛物线在 x 轴上方的部分上存在点 P，使得 设点 P 的坐标为（x，y），且 y0 当点 P 在抛物线上时（如图 2） 点 B 是D 的优弧上的一点 过点 P 作 PEx 轴于点 E 由解得：（舍去） 点 P 的坐标为 当点 P 在抛物线上时（如图 3） 同理可得， 由解得：（舍去） 点
26、P 的坐标为 综上，存在满足条件的点 P，点 P 的坐标为： 或 二、计算题 13、解：（1）令 抛物线向右平移 2 个单位得抛物线, . 抛物线为 即。 （2）存在。 令 抛物线是向右平移 2 个单位得到的， 在上，且 又. 四边形为平行四边形。 同理，上的点满足 四边形为平行四边形 ,即为所求。 （3）设点 P 关于原点得对称点 且 将点 Q 得横坐标代入， 得 点 Q 不在抛物线上。 14、解：（1）能，共有 4 个 点位置如图所示： （2）在矩形中 ， SABC =BCAB， ， 在中 ， BEF BAC ， SAEP = SCPF =CPFCsinACB ， 15、解：（1）由题意可
27、设抛物线的解析式为 抛物线过原点， 抛物线的解析式为， 即 （2）如图 1，当四边形是平行四边形时， 由， 得， ， 点的横坐标为 将代入， 得， ； 根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，此时点的坐标为 ， 当四边形是平行四边形时，点即为点，此时点的坐标为 （3）如图 2，由抛物线的对称性可知： ， 若与相似， 必须有 设交抛物线的对称轴于点， 显然， 直线的解析式为 由，得， 过作轴， 在中， 与不相似， 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点 所以在该抛物线上不存在点，使得与相似 16、解：（1） 点B(-2,m)在直线y=-2x-1
28、 上， m=-2(-2)-1=3. B(-2,3) 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2， 点A的坐标为(4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4). 将点B(-2,3)代入上式，得 3=a(-2-0)(-2-4)， . 所求的抛物线对应的函数关系式为，即. （2）直线y=-2x-1 与y轴、直线x=2 的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5). 过点B作BGx轴，与y轴交于F、直线x=2 交于G， 则BG直线x=2，BG=4. 在RtBGC中，BC=. CE=5， CB=CE=5. 过点 E 作EHx轴，交y轴于H，则点H的坐标为H(0,-5). 又点F、
29、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)， FD=DH=4，BF=EH=2，BFD=EHD=90. DFBDHE （SAS）， BD=DE. 即D是BE的中点. （3）存在. 由于PB=PE， 点P在直线CD上， 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点. 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b. 将D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得 . 直线CD对应的函数关系式为y=x-1. 动点P的坐标为(x，)， x-1=. 解得 ，. ，. 符合条件的点P的坐标为(，)或(，). 17、解：（1）当和时，的值相等， ， 将代入，得， 将代入，得 设抛物线的解析式为 将点代入，得，解得 抛物线，即 （2）设直线 OM 的解析式为，将点 M代入，得， 则点 P,而, = 的取值范围为： （3）随着点的运动，四边形的面积有最大值 从图像可看出，随着点由运动，的面积与的面积在不断增大,即不断变大，当然点运动 到点时，最值 此时时，点在线段的中点上 因而 当时，,四边形是平行四边形 （4）随着点的运动，存在，能满足 设点， 由勾股定理，得 ,，（不合题意） 当时，
