1、.第三讲 泰勒公式.泰勒公式泰勒公式一、泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用.泰勒公式泰勒公式一、泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用.研究问题研究问题)(xf多项式多项式余余 项项)(xpn)(xRn简单简单较复杂较复杂误差误差近似计算近似计算理论分析理论分析微分微分)()()()(0000 xxoxxxfxfxf )()(001xfxp )()(001xfxp )()(0)(0)(xfxpkkn 0,1,2,kn )(0nxxo ? ?一次多项式一次多项式p p1 1( (x x) )误误 差差探究问题探究问题.nnnxxaxxaxxaaxp)()(
2、)()(0202010 令令)(00 xpa 0 xx 10021)()(2)( nnnxxnaxxaaxp令令! 1)(01xpan 0 xx 220( )2(1)()nnnpxan naxx 令令! 2)(02xpan 0 xx nnnanxp!)()( 令令!)(0)(nxpannn 0 xx )(0 xf ! 1)(0 xf ! 2)(0 xf !)(0)(nxfn nnnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)()(! 2)()(! 1)()()(00)(200000 p pn n( (x x) )的确定的确定. 余项余项R Rn n( (x x) )的确定的确定)()()(xpx
3、fxRnn )()()(0)(0)(0)(xfxpxRkknkn 0 ), 2 , 1 , 0(nk 00( )lim()nnxxRxxx 010( )lim()nnxxRxn xx 020( ) lim(1)()nnxxRxn nxx 多次使用洛必达法则多次使用洛必达法则0(1)0( ) lim!()nnxxRxnxx 00()()0nnR xR x 0()0nR x (1)0()0nnRx 0(1)(1)00( )() 1lim!nnnnxxRxRxnxx ( )01()!nnRxn 0 . 泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理1 1如果函数如果函数)(xf在在0 x处
4、具有处具有n n阶导数阶导数, ,那么存在那么存在对于该邻域内的任一对于该邻域内的任一x x，有，有nnxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)()(!2)()(! 1)()()(00)(200000 )(xRn 其中其中 0( )().nnRxoxx函数函数f f ( (x x) )按按( (x x- -x x0 0) )的幂展开的的幂展开的n n次泰勒多项式次泰勒多项式佩亚诺佩亚诺余项余项函数函数f f ( (x x) )按按( (x x- -x x0 0) )的幂展开的的幂展开的带有带有佩亚诺佩亚诺余项的余项的n n阶阶泰勒公式泰勒公式0 x的一个邻域，的一个邻域，.研究问题研究问题)
5、(xf多项式多项式余余 项项)(xpn)(xRn简单简单较复杂较复杂误差误差近似计算近似计算理论分析理论分析微分微分)()()()(0000 xxoxxxfxfxf )()(001xfxp )()(001xfxp )()(0)(0)(xfxpkkn 0,1,2,kn )(0nxxo 定性定性定量定量拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)()()(00 xxfxfxf 表达式表达式? ? ?一次多项式一次多项式p p1 1( (x x) )误误 差差探究问题探究问题. 余项余项R Rn n( (x x) )的确定的确定)()()(xpxfxRnn )()()(0)(0)(0)(xfxpxRkknkn
6、 0 ), 2 , 1 , 0(nk 10)()( nnxxxR )( )(10 nnxxxR )( 2) 1( )(0)(xnRnnnn nnxnR)(1()(011 )(1( )(011nnxnR 1022)()1()( nnxnnR !)1()()1( nRnn )(0 xRn 0 )(0 xRn 0 )(0)(xRnn 0 1( 在在x x0 0与与x x 之间之间) )2( 在在x x0 0与与1 之间之间) ) (在在x x0 0与与n 之间之间) )!)1()()1( nfn x多次使用柯西中值定理多次使用柯西中值定理. 泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理2
7、 2nnxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)()(!2)()(! 1)()()(00)(200000 )(xRn 其中其中,)()!1()()(10)1( nnnxxnfxR 这里这里 是是0 x与与x之间的某个值之间的某个值. .函数函数f f ( (x x) )按按( (x x- -x x0 0) )的幂展开的的幂展开的n n次泰勒多项式次泰勒多项式拉格朗日拉格朗日余项余项函数函数f f ( (x x) )按按( (x x- -x x0 0) )的幂展开的的幂展开的带有带有拉格朗日拉格朗日余项的余项的n n阶阶泰勒公式泰勒公式如果函数如果函数)(xf在在0 x的某个邻域的某个邻域0(
8、)U x内具有内具有) 1( n那么对任一那么对任一0(),xU x 有有阶导数阶导数, ,.10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 0 n)()()(00 xxfxfxf 10)!1( nxxnM)(0nxxo 1 n)()()()(0000 xxoxxxfxfxf 00 xnnxnfxfxffxf!)0(!2)0(!1)0()0()()(2 函数的微分函数的微分拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式 200000)(!2)()(! 1)()()(xxxfxxxfxfxf)()(!)(00)(xRxxnxfnnn Mxfn )()1()(bxa ) 10()!1()()1( nxfn)
9、(nxo佩亚诺佩亚诺(Peano)(Peano)型型余项余项麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式.泰勒公式泰勒公式一、泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用.泰勒公式泰勒公式一、泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用.xexf )( 的麦克劳林公式的麦克劳林公式 ), 2 , 1 , 0()()( kexfxk), 2 , 1 , 0(1) 0 ()(nkfk xnexf )() 1() 10 (! ) 1(! 212 nenxxxexnxxxfsin)( 的麦克劳林公式的麦克劳林公式 )2sin()()( kxxfk 2si
10、n)0()( kfk01) 1( mmk2 12 mkmmmRmxxxxx212153)!12() 1(! 5! 3sin ) 10()!12(2) 12(sin122 mmxmmxR.xxfsin)( 的麦克劳林公式的麦克劳林公式 类似可得类似可得)()!2() 1(! 4! 21cos12242xRmxxxxmmm 2221cos(1)( )(01)(22)!mmxmRxxm ( )ln(1)f xx 的麦克劳林公式的麦克劳林公式 kkkxkxf)1 ()!1() 1()(1)( )!1() 1() 0 (1)( kfkk)() 1(32)1ln(132xRnxxxxxnnn ) 10()
11、1)(1() 1()(11 nnnnxxnxR. )1 ()(xxf 的麦克劳林公式的麦克劳林公式 kkxkxf )1)(1() 1()()() 1() 1() 0 ()( kfk ), 2 , 1( k 2! 2) 1(1)1 (xxx )(!) 1() 1(xRxnnnn ) 10()1 ()!1()(1() 1()(11 nnnxxnnnxR.泰勒公式泰勒公式一、泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用.泰勒公式泰勒公式一、泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用.三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用(一) 近似计算(二) 求极限(三) 其它应用.三、泰勒
12、公式的应用三、泰勒公式的应用(一) 近似计算(二) 求极限(三) 其它应用. 原理原理 nnxnfxfxffxf!)0(!2)0(!1)0()0()()(2 )10()!1()(1)1( nnxnxfnnxnfxfxffxf!)0(!2)0(!1)0()0()()(2 若若)()()1(bxaMxfn 误差误差1)!1()( nnxnMxR在在),(ba内内, , 应用应用 1) 1) 已知已知x x 和误差限和误差限 , , 确定近似公式的项数确定近似公式的项数n n ; ;2) 2) 已知近似公式的项数已知近似公式的项数n n和和x x , , 计算近似值并估计误差计算近似值并估计误差;
13、;3) 3) 已知近似公式的项数已知近似公式的项数n n 和误差限和误差限 , , 确定公式中确定公式中x x 的适用范围的适用范围. .u例例1 1 计算无理数计算无理数e的近似值的近似值, ,使其误差不超过使其误差不超过.106 u例例2 2 (1)(1)xx sin在区间在区间)0(),( AAA上用近似公式上用近似公式)!12() 1(! 5! 3sin12153 mxxxxxmm计算计算,sin x当用下列各式计算时当用下列各式计算时, ,欲使误差欲使误差小于小于0.0010.001，A A可取多大？可取多大？(2)(2)! 3sin3xxx (3)(3)! 5! 3sin53xxx
14、x 42246420246!33xxyxy ! 5! 353xxxyxysin.三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用(一) 近似计算(二) 求极限(三) 其它应用.三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用(一) 近似计算(二) 求极限(三) 其它应用.u例例3 3 求下列极限求下列极限(1)(1)4202coslimxexxx (2)(2)xxxxx30sincossinlim l注注 高阶无穷小的性质高阶无穷小的性质)()()()(nmxoxoxommn )()(nnxocxo ( (c c为常数为常数) )()()(mnmnxoxoxo .三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用(一) 近似计算(二) 求极限(三) 其它应用.三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用(一) 近似计算(二) 求极限(三) 其它应用.u例例4 4 设函数设函数)(xf在在),( 上二阶可导上二阶可导, ,且且)(0)( xxf证明对于任意二数证明对于任意二数0 x及及),(0 xxx 恒有恒有: :)()()(000 xxxfxfxf u例例5 5 证明不等式证明不等式)0(82112 xxxx
