1、提高数学素养 降低学习难度杭州新思维教育培训中心杭州新思维教育培训中心 张天孝张天孝张天孝张天孝浙江省首位功勋教师、特级教师浙江省首位功勋教师、特级教师，杭州杭州现代小学数学教研名誉主现代小学数学教研名誉主任任。生生于于1937年，生肖属牛，年，生肖属牛，正是小学数学界的正是小学数学界的“老黄牛老黄牛”，50年如一日孜孜不倦、年如一日孜孜不倦、持之以恒地研究小学数学，完成了持之以恒地研究小学数学，完成了5套教材的编写，多套教材的编写，多次获得浙江省人民政府基础教育教学成果一等奖，出版次获得浙江省人民政府基础教育教学成果一等奖，出版专著专著150多部，在国际国内学术刊物发表文章多部，在国际国内学
2、术刊物发表文章120余篇。余篇。目前，带领团队主编义务教育课程标准目前，带领团队主编义务教育课程标准新数学读本新数学读本。 2002年，我们在年，我们在现现代小学数学代小学数学实验的基础上，实验的基础上，开展了以开展了以“提高数学素养、提高数学素养、降低学习难度降低学习难度”为目标的新为目标的新思维小学数学教学序列和教思维小学数学教学序列和教学方式的研究。学方式的研究。我们认为，数学课程我们认为，数学课程改革不能以降低学生改革不能以降低学生数学水平为代价来减数学水平为代价来减轻学生的负担。轻学生的负担。国家中长期教育改革和国家中长期教育改革和发展规划纲要发展规划纲要（以下简（以下简称称教育规划
3、纲要教育规划纲要）在）在论及论及“减轻学生课业负担减轻学生课业负担”时，关于课程内容方面的时，关于课程内容方面的提法是提法是“调整教材内容，科学设计课程难度”。“减轻负担减轻负担”不是削减数不是削减数学教学内容，降低数学能学教学内容，降低数学能力要求，而是通过设计科力要求，而是通过设计科学的学习序列，来降低学学的学习序列，来降低学生学习的难度。生学习的难度。“降低学习难度”就是要降低学生学习新知识时第一时间产生的难度，减少学生解题起始状态所遇到的困难。新思维小学数学教学体系，新思维小学数学教学体系，致力于使学生在学习重要致力于使学生在学习重要知识与形成能力时，能象知识与形成能力时，能象“滚雪球
4、滚雪球“那样滚动发展，那样滚动发展，经历逐步积累的过程。经历逐步积累的过程。采取“前有孕伏，中有突破，后有发展”的呈现序列，按照“为进而退，退中悟理，执理而进”的思路设计训练系列。“前有孕伏前有孕伏”，是指结合是指结合可以联系的知识点，将学可以联系的知识点，将学习一个重要知识所必需的习一个重要知识所必需的基础进行前期铺垫，降低基础进行前期铺垫，降低在新知识学习时第一时间在新知识学习时第一时间产生的难度。产生的难度。如如“约分和通分约分和通分”，在三，在三年级学习年级学习“商不变性质商不变性质”时，就设计了这样的练习：时，就设计了这样的练习：（1）4816=2 36015=72把被除数或除数改小
5、，为把被除数或除数改小，为学习约分作铺垫。学习约分作铺垫。把不同的除数转化为相把不同的除数转化为相同的除数，为学习通分同的除数，为学习通分作准备。作准备。在学习在学习“分数的意义和性分数的意义和性质质”之前，四年级安排了之前，四年级安排了“分数与除法分数与除法”这一单元，这一单元，在学习在学习“公因数公因数”时，出时，出现了：现了：写出下列各分数分子、写出下列各分数分子、分母的最大公因数。分母的最大公因数。在学习在学习“公倍数公倍数”时，时，出现了：出现了：在学习分数的基本性在学习分数的基本性质时，又出现了：质时，又出现了：为学习为学习“约分和通分约分和通分”作作好充分准备。好充分准备。“中有
6、突破”，有了以上“孕伏”，降低了学习“约分和通分”第一时间产生的难度，学生能主动利用原有的知识，突破新知识探索中的难点。在通常情况下，总是把约在通常情况下，总是把约分、通分分开来学，学生分、通分分开来学，学生不容易掌握约分与通分的不容易掌握约分与通分的联系与区别，难以形成整联系与区别，难以形成整体的认知结构。体的认知结构。新思维数学新思维数学把它安排把它安排在同节课学习，在学生掌在同节课学习，在学生掌握简分数和分数基本性质握简分数和分数基本性质的基础上，把约分与通分的基础上，把约分与通分两种分数的变形作为分数两种分数的变形作为分数基本性质应用的一个整体基本性质应用的一个整体，在把非简分数化简分
7、数的在把非简分数化简分数的过程中引出约分，在把两过程中引出约分，在把两个异分母的简分数化成同个异分母的简分数化成同分母的非简分数的过程中分母的非简分数的过程中引出通分。引出通分。在不同的转化中找出在不同的转化中找出转化的共同依据，从转化的共同依据，从联系中进一步考察它联系中进一步考察它们的区别。们的区别。教学时，引导学生观察下面四个分数。（1）你能将，）你能将，两个非简分数应用分两个非简分数应用分数基本性质进行转化，数基本性质进行转化，使它们能够直接比较使它们能够直接比较大小吗？大小吗？根据学生回答出示根据学生回答出示（2）你能按照转化的）你能按照转化的方式分成两类吗？方式分成两类吗？分数的分
8、子和分母同分数的分子和分母同时除以一个数作为一时除以一个数作为一类。类。想一想，转化结果有什么想一想，转化结果有什么共同点？共同点？得出：一个数的分子、分得出：一个数的分子、分母同时除以公因数，分数母同时除以公因数，分数的大小不变，这个过程叫的大小不变，这个过程叫约分。约分。分数的分子和分母同时乘分数的分子和分母同时乘一个分数作为另一类一个分数作为另一类想一想，转化的结果有什想一想，转化的结果有什么共同点？么共同点？得出：把几个异分母分数得出：把几个异分母分数转化成与原来分数相等的转化成与原来分数相等的同分母分数，这个过程叫同分母分数，这个过程叫通分。通分。这样处理，把静态的这样处理，把静态的
9、知识结论转化为动态知识结论转化为动态的探索对象，强调学的探索对象，强调学生主动参与，让他们生主动参与，让他们在探索新知识的过程在探索新知识的过程中付出中付出与前人发现这些知识与前人发现这些知识结论时大体相同的智结论时大体相同的智力价值，从而有效地力价值，从而有效地实现学知识，长智慧实现学知识，长智慧的目的。的目的。“后有发展后有发展”，是指把探是指把探索中获得的数学知识和方索中获得的数学知识和方法进行迁移，在知识应用法进行迁移，在知识应用的深度、广度和灵活度上的深度、广度和灵活度上有所拓展。有所拓展。如出现这样的习题：如出现这样的习题：分母是分母是12的简分数有哪的简分数有哪些？些？第一步，根
10、据分数的基本性质，把 通分，得第二步，考虑从分母是180的分数中，哪些是约分以后分母是12的分数，因为1801512,所以得到， ，三 个分数；第三步排除 ，即是答案。减少学生在解题起始减少学生在解题起始状态所遇到的困难，状态所遇到的困难，我们按照我们按照“为进而退，为进而退，退中悟理，执理而进退中悟理，执理而进”的思路，进行题组训的思路，进行题组训练。练。如如新思维数学新思维数学（浙（浙教版小学教版小学数学数学）第）第一册第一册第107页有这样一页有这样一道题：道题：从从19这九个数中，这九个数中，各选一个数填入里各选一个数填入里（每个数只能填一（每个数只能填一次）。次）。+=+这道题有一定
11、难度，这道题有一定难度，对难题不是知难而退，对难题不是知难而退，而是要设计系列口算而是要设计系列口算训练。如，训练。如，降低难度。降低难度。经口算训练后，据经口算训练后，据12个班个班569名学生的测查，名学生的测查，5分钟内有分钟内有95.2%的学的学生能得到生能得到1个以上的解，个以上的解，其中其中5个解以上的有个解以上的有359人，占人，占63.2%，10个解个解以上的有以上的有116人，占人，占20.3%。有一位学生得。有一位学生得到了到了19个解。个解。难题不难了，在限定时间难题不难了，在限定时间能能否解答，能得到几个能能否解答，能得到几个解，充分反映了学生的基解，充分反映了学生的基
12、本运算能力和解题的策略本运算能力和解题的策略水平。水平。“提高数学素养提高数学素养”，不不是增加知识点，也不是是增加知识点，也不是延长教学时间，而是坚延长教学时间，而是坚持能力为重，持能力为重，在知识应用的深度、广度、在知识应用的深度、广度、灵活度上有所拓展，着力灵活度上有所拓展，着力提高学生的学习能力、实提高学生的学习能力、实践能力、创新能力，促进践能力、创新能力，促进智慧的生长。智慧的生长。为此，要配合知识点设计为此，要配合知识点设计一些简结构大容量的习题，一些简结构大容量的习题，既是基础知识与基本技能既是基础知识与基本技能的训练，又是基本思想方的训练，又是基本思想方法的训练和基本活动经验
13、法的训练和基本活动经验的积累和解决问题策略的的积累和解决问题策略的训练。训练。连接方格里的数，使连接方格里的数，使和为和为30.连接方格里的数，使连接方格里的数，使和为和为57。在方格中找出四连方图形，在方格中找出四连方图形，并用图形并用图形 中的中的4个数算出个数算出24。这是一道数形结合题，这是一道数形结合题，通过学生主动构建算式，通过学生主动构建算式，开拓思路。开拓思路。提高数学素养，在教提高数学素养，在教学中要处理好两个关学中要处理好两个关系：系：第一，学知识与长智第一，学知识与长智慧的关系。慧的关系。居于当前课堂教学主导地居于当前课堂教学主导地位的还不是智慧，仍然是位的还不是智慧，仍
14、然是以知识传授为主的课堂，以知识传授为主的课堂，评价课堂教学的标准仍然评价课堂教学的标准仍然是知识的多少，智慧被边是知识的多少，智慧被边缘化。缘化。这样的课堂肯定不是培养这样的课堂肯定不是培养创新精神和实践能力的课创新精神和实践能力的课堂。堂。小学数学课堂教学应小学数学课堂教学应当从知识信息的传递，走当从知识信息的传递，走向智慧教育的轨道。向智慧教育的轨道。智慧是人们获取、应用、智慧是人们获取、应用、创造知识，以及创造性创造知识，以及创造性地解决问题的能力、方地解决问题的能力、方法、谋略和思维方式。法、谋略和思维方式。智慧不是实体，体面在过智慧不是实体，体面在过程之中，体现在思考的活程之中，体
15、现在思考的活动中。数学学习中的智慧动中。数学学习中的智慧整合于分析、概括、推理整合于分析、概括、推理和化归的过程。和化归的过程。在数学学习中，每个人在数学学习中，每个人都有智慧的潜质，通过都有智慧的潜质，通过知识的获取，思维的训知识的获取，思维的训练，解决问题的锻炼，练，解决问题的锻炼，人人都有潜能可开发，人人人都有潜能可开发，人人都能发展智慧，所以数人都能发展智慧，所以数学教育不能只关注学生的学教育不能只关注学生的现实性，更应该关注从现现实性，更应该关注从现实性走向更高的可能性。实性走向更高的可能性。知识不等于智慧，知识的知识不等于智慧，知识的积累并不一定直接带来智积累并不一定直接带来智慧的
16、增长。但智慧在很大慧的增长。但智慧在很大程度上又依赖于知识，本程度上又依赖于知识，本质上不依赖知识的多少，质上不依赖知识的多少，而依赖于对知识的理而依赖于对知识的理解，依赖于种种知识解，依赖于种种知识之间联系的把握，依之间联系的把握，依赖于运用知识解决问赖于运用知识解决问题。题。因此，把知识传授为因此，把知识传授为主的课堂转变到智慧主的课堂转变到智慧教育的轨道，关键是教育的轨道，关键是基于知识又超越知识。基于知识又超越知识。基于知识，要重视知识教基于知识，要重视知识教学，依托知识，打好知识学，依托知识，打好知识基础；超越知识，强调的基础；超越知识，强调的不能满足于知识，不能止不能满足于知识，不
17、能止于知识，重要的是把知识于知识，重要的是把知识转化为智慧。转化为智慧。学数学长智慧，在数学学学数学长智慧，在数学学习过程中，从学生已有知习过程中，从学生已有知识出发，在解决数学问题识出发，在解决数学问题的过程中，促进数学思考，的过程中，促进数学思考，加强数学思想方法训练，加强数学思想方法训练，提高学生的思维品质。提高学生的思维品质。例如，我们在三、四年级例如，我们在三、四年级的数学兴趣活动中，开展的数学兴趣活动中，开展了了“三角形填数三角形填数”的训练，的训练，学生兴趣十分浓厚，在探学生兴趣十分浓厚，在探索中理性思维得到训练，索中理性思维得到训练，感受到数学的魅力。感受到数学的魅力。两个一样
18、大的等边三角形，两个一样大的等边三角形，各内含各内含4个一样大的小三个一样大的小三角形，将涂色的小三角形角形，将涂色的小三角形重叠：重叠：在小三角形内填入在小三角形内填入17这七个数，分别使两个大这七个数，分别使两个大三角形内四个数的和相等。三角形内四个数的和相等。思考：思考：（1）17这七个数的这七个数的和是多少？和是多少？（1+7）7228（2）哪个小三角形内）哪个小三角形内的数需要重复计算？的数需要重复计算？要重复计算的可能是要重复计算的可能是哪几个数？为什么？哪几个数？为什么？（3）需要重复计算的）需要重复计算的数填入后，余下的六数填入后，余下的六个数怎样填才能保证个数怎样填才能保证两
19、个大三角形两个大三角形4个数的个数的和相等？和相等？（4）如果在小三角形）如果在小三角形填入填入28,又怎样填呢？又怎样填呢？ （2+8）72352.如果增加一个三个一样大的三角形，三个一样大的三角形，涂色部分重叠，在小涂色部分重叠，在小三角形内填入三角形内填入09十十个数，使四个大三角个数，使四个大三角形内的形内的4个数的和相等。个数的和相等。思考：思考：（1）010这十个数这十个数的和是多少？的和是多少？（0+9）10245（2）哪些小三角形里）哪些小三角形里的数要重复计算？各的数要重复计算？各要重复计算几次？要重复计算几次？（3）重复计算最多的）重复计算最多的可能是哪几个数？你可能是哪几
20、个数？你是怎样确定的？这些是怎样确定的？这些数应该填在哪里？数应该填在哪里？（4）确定中间小三角）确定中间小三角形所填的数后，余下形所填的数后，余下的九个数怎样填才能的九个数怎样填才能保证四个大三角形内保证四个大三角形内四个数的和相等？四个数的和相等？45减去中间小三角形减去中间小三角形所填的数，将余下的所填的数，将余下的九个数分成和相等的九个数分成和相等的“三数组三数组”。（5）中间大三角形）中间大三角形（倒三角形）三个数（倒三角形）三个数怎样填？怎样填？在三数组中各选一个数，在三数组中各选一个数，所选的所选的3个数的和与三数个数的和与三数组相等，把所选的三个数组相等，把所选的三个数分别填入
21、需要重复计算一分别填入需要重复计算一次的小三角形内。这样就次的小三角形内。这样就得到如下基本解法：得到如下基本解法：（450）315 和和15+015 9+1+58+3+47+6+2（453）314 和和14+3179+5+07+6+18+4+2（456）313 和和13+619 9+4+01+5+78+2+3（459）312 和和12+9218+4+01+6+53+7+2第二，处理好大众数第二，处理好大众数学教育与英才数学教学教育与英才数学教育的关系。育的关系。数学课程改革倡导的是大数学课程改革倡导的是大众数学教育，众数学教育， 同时倡导同时倡导不同的人学习不同的数学，不同的人学习不同的数学
22、，近几年一些学者发出近几年一些学者发出“英英才教育之忧才教育之忧”的呼喊，引的呼喊，引发了对数学教育的思考。发了对数学教育的思考。在教育大普及的背景下，在教育大普及的背景下，世界各国正在强化英才教世界各国正在强化英才教育。任何一个强国都是重育。任何一个强国都是重视英才教育的。因为英才视英才教育的。因为英才教育是关系国家的前途和教育是关系国家的前途和民族命运。民族命运。数学课程是英才教育的核数学课程是英才教育的核心课程，法国教育部中法心课程，法国教育部中法教育合作项目招收中国学教育合作项目招收中国学生只考数学，说明数学对生只考数学，说明数学对人才选拔的重要性，从数人才选拔的重要性，从数学问题解决
23、中可反映一个学问题解决中可反映一个人的智慧水平。人的智慧水平。教育规划纲要教育规划纲要有一句有一句话应引起我们的注意：话应引起我们的注意：“尊重教育规律和学生身尊重教育规律和学生身心发展规律，为每个学生心发展规律，为每个学生提供适合的教育提供适合的教育”。这为。这为我们的教育改革指明了一我们的教育改革指明了一个方向。个方向。许多老师在多年的教许多老师在多年的教学实践中，会发现这学实践中，会发现这种现象：不少原来智种现象：不少原来智力突出的孩子，因为力突出的孩子，因为“吃不饱吃不饱”，“吃不好吃不好”而丧失对而丧失对学习的兴趣和探索的学习的兴趣和探索的欲望，而导致欲望，而导致“不想不想吃吃”，有
24、的甚至变成，有的甚至变成了后进生。了后进生。关注教育公平，同样应尊关注教育公平，同样应尊重这部分孩子受到良好教重这部分孩子受到良好教育的权利，育的权利，“数学英才教数学英才教育育”要为每个孩子提供适要为每个孩子提供适合的教育。合的教育。教育规划纲要教育规划纲要提提出，鼓励学校办出特出，鼓励学校办出特色，办出水平，出名色，办出水平，出名师，育英才师，育英才”。数学在培养拔尖人才数学在培养拔尖人才所能贡献的力量是众所能贡献的力量是众所周知的。拔尖创新所周知的。拔尖创新人才的培养，要从娃人才的培养，要从娃娃抓起。娃抓起。在小学要在小学要 “人人学数人人学数学学”，确保达到基本，确保达到基本要求的前提
25、下，应倡要求的前提下，应倡导数学英才教育，研导数学英才教育，研究数学英才教育。究数学英才教育。小学数学英才教育不小学数学英才教育不是数学知识逐年级下是数学知识逐年级下放，也不是加快教学放，也不是加快教学进度，而是在所学的进度，而是在所学的知识范围内，知识范围内，在知识应用的深度、在知识应用的深度、广度、灵活度上有所广度、灵活度上有所扩展，形成以数学能扩展，形成以数学能力为核心的训练体系。力为核心的训练体系。通过训练提高思维能通过训练提高思维能力，促进智慧的生长。力，促进智慧的生长。如四则运算，不能停如四则运算，不能停留在根据给出的算式，留在根据给出的算式，按标准程序操作。按标准程序操作。例如连
26、加，除必要的基本例如连加，除必要的基本练习外，还可以安排一些练习外，还可以安排一些思考性的习题。如用思考性的习题。如用3,6,9三个数字组成的所三个数字组成的所有三位数的和是几？有三位数的和是几？在头脑中形成这样的思维模式，进而研这样的思维模式，进而研究，还有哪三个数字组成究，还有哪三个数字组成的所有三位数的和也是的所有三位数的和也是3996,促进函数思考能力促进函数思考能力的发展。又如的发展。又如a,b,c,k的值各是多少？的值各是多少？在纯数学结构性问题中，在纯数学结构性问题中，主动构建算式，以求得问主动构建算式，以求得问题的解决。例如，题的解决。例如，如下数表，在相邻的四个如下数表，在相
27、邻的四个数中勾画出三连方，数中勾画出三连方，如果要使三连方三个如果要使三连方三个数的和是数的和是173,252,340,请找出三连方延伸后请找出三连方延伸后的位置，并确定三个的位置，并确定三个数各是多少？数各是多少？在数表中各自向右移在数表中各自向右移1格，格，三连方三个数的和各自增三连方三个数的和各自增加加3,各自向下移各自向下移1格，则格，则三个数的和增加三个数的和增加21.不论不论右移或下移，所增加的数右移或下移，所增加的数都是都是3的倍数的倍数。已知三连方三个数的已知三连方三个数的和，要确定延伸后的和，要确定延伸后的位置及三个数，首先位置及三个数，首先要确定属于哪个模式。要确定属于哪个
28、模式。三连方三个数的和分三连方三个数的和分别减去各模式三个数别减去各模式三个数的和，它们的差如果的和，它们的差如果能被能被3整除，就属此模整除，就属此模式。式。（1）三连方三个数的和）三连方三个数的和是是173,则则a:(173-11)3=54 b: (173-12)3=532c: (173-18)3=512 d: (173-19)3=511属模式属模式a.因为因为(173-11)21=715，1535.所以先下移所以先下移7格，再右移格，再右移5格。格。 （2）三连方三个数的和）三连方三个数的和是是252,则则a:(252-11)3=801 b: (252-12)3=80c: (252-18
29、)3=78 d: (252-19)3=772属模式属模式b或模式或模式c.模式模式b：因为：因为(252-12)21=119，933,所以先下移所以先下移11格，格，再右移再右移3格。格。模式模式c：因为：因为(252-18)21=113，331,所以先下移所以先下移11格，格，再右移再右移1格。格。（3）三连方三个数的和）三连方三个数的和是是340,则则 a:（340-11）31092 b: （340-12）31091c:（340-18）31071 d: （340-19）3107属于模式属于模式d.因为（因为（340-19）21156,632,所以先所以先下移下移15格，再右移格，再右移3格。格。配合知识点，设计以能力配合知识点，设计以能力为核心，在解决问题过程为核心，在解决问题过程中促进数学思考，促进智中促进数学思考，促进智慧生长的训练系列，是小慧生长的训练系列，是小学数学英才教育的重要举学数学英才教育的重要举措。措。为此，我们开发了为此，我们开发了学数学数学学 长智慧长智慧，为部分学，为部分学生提供一套课外读物。也生提供一套课外读物。也可作为数学兴趣小组、数可作为数学兴趣小组、数学社团活动的材料。学社团活动的材料。谢谢！谢谢！
