1、计算机在材料科学与工程中的应用计算机在材料科学与工程中的应用第二章第二章 材料科学与工过程中的材料科学与工过程中的数据处理数据处理GH4169高温合金固溶处理后微观组织的SEM照片: (a) 1233 K, 30 min; (b) 1253 K, 30 min; (c) 1273 K, 30 min; (d) 1293 K, 30 min; (e) 1233 K, 60 min; (f) 1273 K, 60 min.晶粒尺寸与固溶温度和固溶晶粒尺寸与固溶温度和固溶时间之间的数学关系？时间之间的数学关系？引言K. Wang, M.Q. Li, C. Li, and austenite phas
2、es evolution and model in solution treatment of superalloy GH4169, Mater Sci Tech, 29(2013) 346-350.GH4169高温合金固溶处理过程中高温合金固溶处理过程中 和和 相的演变和模型研究相的演变和模型研究引言纳米铝片CNTs/Al复合粉末冷压/烧结球形铝粉仿生CNTs/Al热挤压 高强、高韧高效、宏量制备仿生仿生“叠层叠层”Al基复合材料制备新技术基复合材料制备新技术仿生叠层组织性能加工成形热处理引言烧结态烧结态CNTs/Al-4Cu热变形行为热变形行为流变应力流变应力-应变曲线应变曲线相同应变速率
3、不同变形温度下的应力相同应变速率不同变形温度下的应力-应变曲线应变曲线流变应力与变形工艺参数之间的数学关系？流变应力与变形工艺参数之间的数学关系？引言数据特点量大主要内容：2.1 数据处理基本理论 最小二乘法 回归分析方法2.2 Excel和Origin软件的应用整理、归纳计算、绘图、回归分析规律性数学关系2.1 数据处理的基本理论2.1.1、回归分析与最小二乘法回归分析与最小二乘法分类：按照回归模型中变量个数分（一元回归，多元回归）。按照回归曲线的形态分（线性回归，非线性回归）。回归分析回归分析（regression analysis)：是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计
4、分析方法。即即：对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型y=f(x)，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法。2.1 数据处理的基本理论2.1.1、回归分析与最小二乘法回归分析与最小二乘法最小二乘法原理图,1,2,iix yinL2211()( )nniiiiiQyyyf x()yfx寻求规律：其中f(x)是多项式，计算多项式系数，使得残差平方和Q最小试验数据实测值与模型计算值之差为残差最小二乘法残差平方和：已知试验数据对2.1 数据处理的基本理论2.1.1、回归分析与最小二乘法回归分析与最小二乘法求解 系数的理论基础()yfx一元线性回归的一般步骤：一元线性回归
5、的一般步骤：将n个观察单位的变量对(x，y)在直角坐标系中绘 制散点图，若呈直线趋势，则可拟合直线回归方 程。求回归方程的回归系数和截矩。（1）写出回归方程: ，其中a, b称为回归系数；（2）画出回归直线；（3）对回归方程进行假设检验（相关分析）。 yabx一元线性回归尽管较为简单，但非常重要，是回归分析的基础。2.1 数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归 yabx2.1 数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归0)(21niiibxayaQ0)(21niiiibxayxbQxxxyllbxbya,niiniiynyxnx111,1)(1yyxxliniixyniixxxxl12_)
6、(其中：其中：min)()(1221niiiniiibxayyyQ回归系数的求解计算残差平方和根据最小二乘原 理和极值原理有：2.1 数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归(1)回归平方和计算 最小二乘法的原则是使回归值与测量值的残差平方和最小，但它不能肯定所得到的回归方程是否能够反映实际情况，是否具有实用价值。为了解决这些问题，尚需进行统计检验。2.1 数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归回归分析的显著性检验 残余平方和残余平方和Q：表示回归方程的拟合误差由试验误差及其它因素引起自由度：fQ=n-m-1=n-2回归平方和回归平方和U：表示自变量x1,x2,xn变化所引起的y的波动自
7、由度fU=m(m为自变量个数)=1离差平方和（总平方和）离差平方和（总平方和）S：表示实验范围内，yi值总波动变化大小自由度f=fQ+fU=n-1当全部实验点落在回归线之上时， 如y与x之间不存在线性关系，则由此可见， 的大小反映了自变量x与因变量y之间的相关程度。2.1 数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归0,QUS0,UQSU2.1 数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归回归分析的显著性检验 (2) F F检验检验这是两个方差之比，它服从自有度为m及n-m-1的F分布， 即：/ (nm1)UmFQ/(m , n1)/ (nm1)UmFFmQ要检验y与x是否存在线性关系，就是要检验
8、假设0:0H当假设成立时，则y与x无线性关系，否则认为线性关系显著。检验假设H0应用统计量具体如下： 当 时，回归方程是高度显著的； 当 时，所建立的回归方程是显著的；)2,1()2,1(05.001.0nFFnF)2,1(05.0nFF2.1 数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归用此统计量F可检验回归的总体效果当当 时，则在显著性水平时，则在显著性水平 下，所建立的回下，所建立的回归方程是显著的。归方程是显著的。(1,2 )FFn回归分析的显著性检验 (2) F F检验检验 由于其他因素和实验误差的影响，回归系数a与常数b的波动，各实验点不一定都落在回归线上，围绕回归线有一定的离散，其
9、离散性的大小可用残差平方和Qe与残余方差Se2或残余标准偏差Se来表示，即: 在某个给定的x所对应回归值y的100（1）置信区间为： 22eQSn2.1 数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归回归方程的精度与置信区间 202211(2)ceniixxytnsnxx 置信区间估计(例题分析)【例例】求出工业总产值的点估计为求出工业总产值的点估计为100100亿元时，工业总产值亿元时，工业总产值95%95%置信水平下的置信区间置信水平下的置信区间. . 已知已知n n=16=16 , s, se e=2.457=2.457 解：解：t t (16-2)=2.1448 (16-2)=2.1448
10、 (查表获得查表获得) ) 置信区间为置信区间为当工业总产值的点估计为100亿元时，工业总产值的平均值在97.9167亿元到102.0833亿元之间。21(7357.25)1002.14482.457162645 097.9167()102.0833E y2.1 数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归-6.6-6.4-6.2-6.0-5.8-5.6-5.40.40.60.81.01.21.41.61.82.02.2Schild plot for antagonist X/agonist Y Log(DR-1) Linear Fit of SCHILD_B Upper 95% Confide
11、nce Limit Lower 95% Confidence LimitLog(DR-1)Log(Antagonist X,M)利用回归直线进行预报2.1 数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归 例: 下表是轴承钢经过真空处理前后钢液中锰的含量。现在我们来研究真空处理后成品轴承钢中锰含量(y)与真空处理前钢液中锰含量(x)的相关关系。绘制实验数据散点图，初步判断有关线性关系,可以初步判断x与y之间存在着线性趋势。2.1 数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归由此得回归方程：y=0.085934+0.70869x 2.1 数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归应用直线回归的注意事项：
12、作回归分析要有实际意义，不能把毫无关联的两种现象，随意进行回归分析，忽视事物现象间的内在联系和规律；如对儿童身高与小树的生长数据进行回归分析既无道理也无用途。另外，即使两个变量间存在回归关系时，也不一定是因果关系，必须结合专业知识作出合理解释和结论。直线回归分析的资料，一般要求应变量Y是来自正态总体的随机变量，自变量X可以是正态随机变量，也可以是精确测量和严密控制的值。若稍偏离要求时，一般对回归方程中参数的估计影响不大，但可能影响到标准差的估计，也会影响假设检验时P值的真实性。进行回归分析时，应先绘制散点图(scatter plot)。若提示有直线趋势存在时，可作直线回归分析；若提示无明显线性
13、趋势，则应根据散点分布类型，选择合适的曲线模型(curvilinear modal)，经数据变换后，化为线性回归来解决。一般说，不满足线性条件的情形下去计算回归方程会毫无意义，最好采用非线性回归方程的方法进行分析。绘制散点图后，若出现一些特大特小的离群值（异常点），则应及时复核检查，对由于测定、记录或计算机录入的错误数据，应予以修正和剔除。否则，异常点的存在会对回归方程中的系数a、b的估计产生较大影响。回归直线不要外延。直线回归的适用范围一般以自变量取值范围为限，在此范围内求出的估计值称为内插（interpolation）；超过自变量取值范围所计算的称为外延（extrapolation）。若无
14、充足理由证明，超出自变量取值范围后直线回归关系仍成立时，应该避免随意外延。2.1 数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归 幂函数 指数函数1 指数函数2 对数函数 双曲线函数 S形曲线函数)0( ,aaxyb) 0( ,aaeybx) 0; 0( ,/axaeyxbxbaylg)0( ,11axbay) 0( ,1abeayx转换为一元线性关系2.1 数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归可转化为一元线性回归的其它一元非线性回归eg.:指数函数(exponential function) bXYaek对式两边取对数，得lny=lna+bx b0时，y随x增大而增大；b0时，Y随X增大而
15、减少。 更一般的指数函数 ，k为一常量，往往未知, 应用时可试用不同的值。,(0)bxyaealna和b分别为截距和斜率 可线性化的曲线回归模型,也称为本质线性回归模型 2.1 数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归例 在阴极溅射中，正离子轰击阴极时，使阴极的物质以微粒或碎片形式脱离阴极向四方飞散，轰击阴极的正离子质量越大，阴极溅射越厉害。从直观上看,在离子能量不大溅射率不高的情况下，离子能量较小的变化就可以引起溅射率的较大变化，在溅射率较大的情况下，则相反。在表中只列出惰性气体对铜的溅射实验所得数据以及描点曲线，缺少定量关系，因此有必要从数据处理上得到惰性气体对铜的溅射率与离子能量的关系
16、，在没有物理推导公式的情况下，这种统计公式也能反映其关系。离子能量（离子能量（kev）10 10 20203030404050506060707080809090溅射率（溅射率（%）8.18.115.015.017.017.019.219.219.519.519.819.820.020.020.020.020.120.12.1 数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归2.1 数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归根据实验数据，在直角坐标系上标出个实验数据点，得出曲线如下图,在坐标图中可以得到溅射率和离子能量之间的大致趋势。可以看出当离子能量开始增加时，溅射率增长较快，到一定时间就基本稳定
17、在一个值上。0227. 00154. 02829. 05526. 02829. 09baba方程组解得a=0.0357，b=0.8190还原为双曲线形式1/y=0.0357+0.8190/x，也即 y=x/（0.0357x+0.8190）7342. 08416. 32829. 05174.252829. 09bAbA方程组解得lna=2.8840,即a=17.8857，b=-1.4851, 所以所得的指数曲线方程为0.177117.0444xye。2.1 数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归2.1.3 多元线性拟合多元线性拟合 当影响依变量的自变量不止一个，而是多个，比如绵羊的产毛量这一
18、变量同时受到绵羊体重、胸围、体长等多个变量的影响，因此需要进行一个依变量与多个自变量间的回归分析，即多元回归分析，而其中最为简单、常用并且具有基础性质的是多元线性回归分析，许多非线性回归和多项式回归都可以化为多元线性回归来解决。mmxbxbxbay2211(1)2.1 数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归假设随机变量y与p个自变量之间存在着线性相关关系，实际样本量为n,其第i次观测值为则其n次观测值可写为如下形式： 其中 是未知参数， 是p个可以精确测量并可控制的一般变量, 是随机误差, (2)(3)假定 是相互独立且服从同一正态分布N(0, ) 的随机变量 。 2.1 数据处理的基本理
19、论2.1.3、多元线性回归若将方程组(3)用矩阵表示，则有 (4)式中:建立多元线性回归方程 (5)2.1 数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归来描述多元线性模型 (6)221 12211()()minnniiiimmiiiiQyyyab xb xb x1 12212()0niiimmiiQyab xb xb xa 11 122112()0niiiimmiiQxyab xb xb xb (7)21 122122()0niiiimmiiQxyab xb xb xb 1 12212()0nmiiiimmiimQxyab xb xb xb (8)2.1 数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回
20、归与一元线性回归分析相同，其基本思想是根据最小二乘原理，求解 使全部观测值 与回归值由于残差平方和 的残差平方和达到最小值。(9) 是 的非负二次式，所以它的最小值一定存在。根据极值原理，当Q取得极值时， 应满足(10)2.1 数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归 由（9）式，即满足 (11)2.1 数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归上式(11)称为正规方程组。它可以化为以下形式 如果用A表示上述方程组的系数矩阵可以看出A是对称矩阵。则有(12)(13)2.1 数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归 式中X是多元线性回归模型中数据的结构矩阵，(13)式右端常数项也可用矩阵D来
21、表示 是结构矩阵X的转置矩阵。即Ab=D 或(14)(15)(17)如果A满秩（即A的行列式 则由(13)式和(14)式得 的最小二乘估计为）那么A的逆矩阵A-1存在，(16) b就是多元线性回归方程的回归系数。 为了计算方便往往并不先求 而是通过解线性方程组来求b ，再求b，(14)是一个有p+1个未知量的线性方程组，它的第一个方程可化为 2.1 数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归 式中 (18) 将（17）式代入（12）式中的其余各方程，得 (19)2.1 数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归其中 (20) 将方程组（19）式用矩阵表示，则有Lb=F 其中 于是 (21)(2
22、2)(23)1bL F2.1 数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归2.1 数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归例：例：表表观变形观变形激活能激活能计算计算高温塑性变形最显著的特点之一便是变形速度受热激活过程控制。表观变形激活能表示原子跃迁所需克服的能垒大小，是反映塑性变形难易程度的重要物理参量。变形温度、应变速率对流动应力的影响可用Arrhenius方程表示：)/exp(1/RTQAm为应变速率(s-1)；Q为表观变形激活能(kJmol-1)；为流动应力(MPa)；T为绝对变形温度(K)；R为普适气体常数(8.3145 Jmol-1K-1)；m为应变速率敏感性指数。 RTQmAln
23、lnln )1 (lnTddmRQ Tddm,lnlnTppTRQ,lnln1ln2.1 数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归Ti-6Al-4V合金在不同温度下压缩变形时的应力合金在不同温度下压缩变形时的应力-应变曲线应变曲线2.1 数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归)/exp(1/RTQAmRTQmAlnlnln )1 (lnTddmRQ Tddm,lnlnTppTRQ,lnln1ln2.1 数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归)/exp(1/RTQAmRTQmAlnlnln )1 (lnTddmRQ Tddm,lnlnTppTRQ,lnln1ln用多元线性回归求解用多元
24、线性回归求解利用多元线性利用多元线性回归一次性求回归一次性求解系数解系数a、b1、b2即可得即可得Q值！值！2.2 Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用Excel应用举例应用举例研究某种材料在某种腐蚀液中腐蚀时间与腐蚀量的关系，实验数据如下表所示：例例2.12.1、一元、一元(直线直线)回归分析应用实例回归分析应用实例方法一：方法一： 1、在A,B列输入x，y值； 2、用鼠标选中x，y数据区； 3、用鼠标指到“图表向导”工具按钮,选择x，y散点图，单击下一步； 4、在弹出的对话框中进行相应选择； 5、在产生的散点图上单击鼠标右键,在弹出的菜单上选择“添加趋势线”，进行相
25、应选择即可得到所需结果。2.2 Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用2.2 Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用2.2 Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用2.2 Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用方法二（以方法二（以2013版版Office-Excel为例）为例） 1、在A,B列输入x,y值 2、用鼠标点击文件-选项-加载项- 3.再次用鼠标 3、点击数据-数据分析-回归 4.在“回归”分析对话框中进行相关选择后，即可得到所要结果。相关选择：相关选择：u输入区域选择 y值区域,x值区域u输出区域
26、选择u置信度选择 95%2.2 Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用2.2 Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用Multiple对应的数据是相关系数R。回归系数残差平方和Q回归平方和U总平方和S例例2.22.2、多元回归分析应用实例、多元回归分析应用实例2.2 Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用2.2 Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用Origin软件简介及的应用软件简介及的应用Origin是美国OriginLab公司（其前身为Microcal公司） 开发的图形可视化和数据分析软件，是科研人员和
27、工程师 常用的高级数据分析和制图工具。Origin自1992年问世以来，由于其操作简 便，功能开放，很快就成为国际流行的分析软件之一，是公认的快速、灵活、易学的工程制图软件。它的最新的版本号是9.0。2.2 Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用2.2 Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用基本功能基本功能(数据分析和绘图数据分析和绘图) 函数拟合 数据管理：常规处理和一般的统计分析 数据分析：t-检验、快速傅里叶变换、回归分析等 二维和三维绘图 多层绘图2.2 Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用标题栏标题栏菜单栏菜单栏菜单
28、栏菜单栏WorksheetGraph2.2 Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用例例2.3、Origin绘制曲线绘制曲线2.2 Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用例例2.4、一元线性回归、一元线性回归2.2 Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用例例2.5、多元线性回归、多元线性回归2.2 Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用例例2.6、热加工图、热加工图-能量耗散率能量耗散率-3D图片图片 用数据作图后，无法借助人的眼和脑判断数据之间的内在逻辑联系，往往还需要进一步对数据图形进行处理，提取有用的信
29、息。这就涉及到谱线处理的一些内容。谱线和曲线的处理包括以下几个部分：数据曲线的平滑去噪声)、数据谱的微分和积分、谱的基线校正或去除数据背景、求回归函数与多函数拟合达到分解和分辨数据谱的目的。进行这些处理的命令，基本上都包括在Origin图形页的“Analysis”和“Tool”两个菜单中。材料科学与工程中的谱线处理2.2 Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用 曲线平滑曲线平滑 打开图形页中的“Analysis”菜单，其中的“Smoothing”-“Savitzky-Golay”或“Adiacent Averaging”或“FFT Filter Smoothing”命今分
30、别是Savitzky-Golay方法、窗口平均法和快速傅里叶过滤器，选择其中之一。根据软件提供的平滑参数范围，选择适当参数后确认。 统计统计 包括：平均值（Mean）、标准差（Standard Deviation，Std，SD）、标准误差(Standard Error of the Mean)、最小值（Minimum）、最大值（Maximum）、百分位数（Percentiles）、直方图（Histogram）、T检验（T-test for One or Two Populations）、方差分析（One-way ANOVA）、线性、多项式和多元回归分析（Linear、Polynomial an
31、d Multiple Regression Analysis）。2.2 Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用(1)作原谱的微分谱 选定作微分谱的数列，在图形页的“Analysis”莱单下，选择“Calculus”-“Differentiale”，微分谱显示在另一个“Deriv”窗口中。(2)求谱的积分 在图形页的“Data”菜单中选定求积分的谱数据列，在图形页的“Analysis”菜单下，选择“Caculus”“Intedrate”命令，曲线下方面积的积分结果显示在“Result Log”中。谱的微分和积分谱的微分和积分: :2.2 Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用作业：1. 运用一元线性拟合进行数据处理的一般步骤。2. 分别对常用的非线性函数：幂函数、指数函数1、指数函数2、对数函数、双曲线函数、S形曲线函数，进行线性化处理，并写出线性化后的函数关系式。（教材P19）2.2 Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用实验：教材p39习题2.5(Excel)，2.6(Origin)
