1、中点问题常用性质及常见辅助线作法中点问题常用性质及常见辅助线作法1、多个中点或平行中点、多个中点或平行中点 构造中位线；构造中位线；2、直角三角形斜边中点、直角三角形斜边中点 直角三角形斜边中点；直角三角形斜边中点；3、等腰三角形底边中点、等腰三角形底边中点 等腰三角形三线合一；等腰三角形三线合一；4、三角形一边的垂线过这边中点、三角形一边的垂线过这边中点 垂直平分线性质；垂直平分线性质；5、中线或与中点有关线段中线或与中点有关线段 倍长线段构造全等；倍长线段构造全等；6、圆弦或弧的中点圆弦或弧的中点 垂径定理或圆周角定理垂径定理或圆周角定理联想联想联想联想联想联想联想联想联想联想联想联想满分
2、技法满分技法专题一 关于中点的联想模型一遇到三角形一边的中点，考虑构造中位线模型一遇到三角形一边的中点，考虑构造中位线例1题图【思考】在一般三角形中看到中点，你想到了哪些学过的知识：【思考】在一般三角形中看到中点，你想到了哪些学过的知识：_例例 1如图，如图，M是是ABC的边的边BC的中点的中点，AN平分平分BAC，BNAN于点于点N，且且AB8，MN3.则则AC的长为的长为()A. 3B. 7C. 8D14过中点作平行线可构造中位线过中点作平行线可构造中位线，中位线平行于底边且等于底边的一半中位线平行于底边且等于底边的一半D专题一 关于中点的联想解析：AN平分BAC，BAN=DAN，AN=A
3、N，ANB=AND=90，ABN AEN，AD=AB=8，BN=ND，又M是ABC的边BC的中点，CD=2MN=23=6，AC=AD+DC=8+6=14，故选D专题一 关于中点的联想基本模型基本模型模型分析模型分析连接中点构造中位线：当已知条件中同时出现两个及两个以上中点时连接中点构造中位线：当已知条件中同时出现两个及两个以上中点时，常考常考虑构造中位线虑构造中位线；或出现一个中点，要证明平行线段或线段倍分关系时也常考；或出现一个中点，要证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线虑构造中位线利用三角形中位线的性质定理：利用三角形中位线的性质定理：DEBC，且且DE ，ADEABC，则可得线
4、段之间的相等或比例关系及平行关系则可得线段之间的相等或比例关系及平行关系12BC专题一 关于中点的联想模型二遇到直角三角形斜边上的中点，考虑构造斜边上的中线模型二遇到直角三角形斜边上的中点，考虑构造斜边上的中线 例例2如图，如图，ACB90，点，点D为为AB的中点，连接的中点，连接DC并延长到并延长到E，使，使 ，过点过点B作作BF DE，与，与AE的延长线交于点的延长线交于点F，若，若BF8，则，则AB的长度为的长度为_CECD13例2题图6【思考】在直角三角形中遇到斜边上的中点，你想到了哪些学过的知识：【思考】在直角三角形中遇到斜边上的中点，你想到了哪些学过的知识：_直角三角形斜边的中线等
5、于斜边的一半直角三角形斜边的中线等于斜边的一半专题一 关于中点的联想 关于中点的联想专题一解：如图，又BFDE，点D是AB的中点，ED是AFD的中位线，BF=2ED=8ACB=90，D为AB的中点，CD= AB又CE= CD，AB=6ED=CE+CD= 4基本模型基本模型模型分析模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即 ，来证明线段间的数量，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：关系，而且可以得到两个等腰三角形：A
6、CD和和BCD，该模型经常会与，该模型经常会与中位线定理一起综合应用中位线定理一起综合应用12CDAB专题一 关于中点的联想针对训练针对训练第2题图2.如图如图，在在RtABC中中，ACB90，CD为为AB边上的高边上的高，若点若点A关于关于CD所在直线的对称点所在直线的对称点E恰好为恰好为AB的中点的中点，则则BCE的度数是的度数是()A. 60B. 45C. 30D. 75 C专题一 关于中点的联想 关于中点的联想专题一在RtABC中，ACB=90，CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，CED=A，CE=BE=AE，ECA=A，B=BCE，ACE是等边三角形，
7、CED=60，B=CED=30A=60，故选C 11. 23. 如图，在如图，在 RtABC中，中，ACB90，点，点D，E分别是边分别是边AB，AC的中的中点，延长点，延长BC至点至点F，使，使 ，若，若AB10，则，则EF的长是（的长是（ ）A. 5 B. 4 C. 3 D. 2第3题图CFBC12A专题一 关于中点的联想 关于中点的联想专题一D，E分别为AC，AB的中点，DE为ACB的中位线DEBCCE为RtACB的斜边上的中线， CE=12AB=5DFCE又DEBC，四边形DECF为平行四边形 DE=5模型三遇到等腰三角形底边上的中点，考虑模型三遇到等腰三角形底边上的中点，考虑“三线合
8、一三线合一”的性质的性质例例3如图，在如图，在ABC中，中，ABAC5，BC6，点，点M为为BC的中点，的中点，MNAC于点于点N.则则MN的长为的长为_例3题图125【思考】在等腰三角形中遇到底边上的中点，你想到了哪些学过的知识：【思考】在等腰三角形中遇到底边上的中点，你想到了哪些学过的知识： _等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一三线合一”专题一 关于中点的联想 关于中点的联想专题一如图，连接AM AB=AC=5，点M为BC的中点，AMCM，AM= ， AM*MC= AC*MN，MN= 基本模型基本模型模型分析模型分析如图如图，等腰三角形中有底
9、边上的中点时等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线常作底边的中线，利用等腰三角形利用等腰三角形“三线合一三线合一”的性质得到：的性质得到：BADCAD，ADBC，BDCD，解决线解决线段相等及平行问题、角度之间的相等问题段相等及平行问题、角度之间的相等问题专题一 关于中点的联想4. 如图，在如图，在ABC中，中，D是是AB上一点，上一点，ADAC，AE平分平分CAD，交，交CD于点于点E，F是是BC的中点，若的中点，若BD16，则，则EF的长为的长为_第4题图8专题一 关于中点的联想模型四遇到三角形一边垂线过这边中点，考虑垂直平分线的性质模型四遇到三角形一边垂线过这边中点，考虑垂直平分线
10、的性质例4题图【思考】【思考】点点D是是AB的中点且的中点且DE AB，你想到了哪些学过的知识：，你想到了哪些学过的知识：_DE是线段是线段AB的垂直的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等平分线，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等例例4 如图如图，在在RtABC中中，ACB90，BC3，AC4，点点D是是AB的中的中点点，过点过点D作作DE AB交交BC的延长线于点的延长线于点E，则则CE 的长为的长为_76专题一 关于中点的联想 关于中点的联想专题一设CE=x，连接AE，DE是线段AB的垂直平分线，AE=BE=BC+CE=3+x，在RtACE中，AE2=AC2+CE2，即（
11、3+x）2=42+x2，解得x= 7/6 故答案为：7/6 基本模型基本模型模型分析模型分析当三角形一边垂线过这边中点时当三角形一边垂线过这边中点时，可以可以考虑用垂直平分线的性质得到考虑用垂直平分线的性质得到(如图如图)：BECE，证明线段间的数量关系证明线段间的数量关系专题一 关于中点的联想针对训练针对训练第5题图5. 如图如图，在四边形在四边形ABCD中中，M，N分别是分别是CD，BC的中点的中点，且且AMCD，ANBC.(1)求证：求证：BAD2MAN；(2)连接连接BD，若若MAN70，DBC40，求求ADC.专题一 关于中点的联想第5题解图(1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接
12、AC，M是是CD的中点，的中点，AMCD，AM是线段是线段CD的垂直平分线的垂直平分线ACAD.又又AMCD，34，同理可得同理可得12，1234BAD，23 BAD，即，即BAD2MAN；12专题一 关于中点的联想(2)解：解：AMCD，ANBC，MAN70，BCD360909070110.BDC180DBCBCD30，BAD2MAN140.ABAC，ADAC，ABAD.ADBABD20.ADCADBBDC50.专题一 关于中点的联想例例 5如图如图，在在ABC中中，AD是是BC边上的中线边上的中线，E是是AD上一点上一点，延长延长BE交交AC于于点点F，AFEF，求证：求证：ACBE.【思
13、考思考】聪明的你能想到哪些作辅助线的方法聪明的你能想到哪些作辅助线的方法_模型五模型五 遇到三角形一边上的中点遇到三角形一边上的中点( (中线或与中点有关的线段中线或与中点有关的线段) )，考虑倍长考虑倍长( (类倍长类倍长) )线段构造全等三角形线段构造全等三角形例5题图 延长延长AD到点到点G，使得使得DGAD，构造构造GDB全等于全等于ADC；延长延长ED到点到点G，使得使得DGDE，构造构造CGD全等全等于于BED.专题一 关于中点的联想【自主作答】【自主作答】证明：如解图，延长证明：如解图，延长AD到点到点G，使得，使得DGAD，连接，连接BG，点点D是是BC的中点，的中点，BDCD
14、.BDGCDA，ADGD，ADCGDB.ACGB，GEAF.AFEF，EAFAEF.AEFBED，GBED.BEBG.BEAC.例5题解图专题一 关于中点的联想【一题多解一题多解】证明：如解图证明：如解图，延长，延长ED到点到点G，使得，使得DGDE，连接，连接CG.点点D是是BC的中点，的中点，BDCD.BDECDG，DGDE，BEDCGD.GBED，BECG.AFEF，FAEAEFBEG.GEAF.ACGC.ACBE.例5题解图专题一 关于中点的联想基本模型基本模型模型分析模型分析1倍长中线构造全等三角形：当已知条件中出现中线时，常利用倍长中倍长中线构造全等三角形：当已知条件中出现中线时，
15、常利用倍长中线构造全等三角形解决问题；线构造全等三角形解决问题；2倍长类中线构造全等三角形：当已知条件中出现类中线倍长类中线构造全等三角形：当已知条件中出现类中线(中点有关的线中点有关的线段段)时，常利用倍长类中线构造全等三角形解决问题时，常利用倍长类中线构造全等三角形解决问题专题一 关于中点的联想6. 如图如图，已知已知AB24，ABBC于点于点B，ABAD于点于点A，AD10，BC20.若点若点E是是CD的中点的中点，则则AE的长是的长是_针对训练针对训练第6题图13专题一 关于中点的联想模型六遇到圆中弦模型六遇到圆中弦( (或弧或弧) )的中点，考虑垂径定理及圆周角定理的中点，考虑垂径定
16、理及圆周角定理基本模型基本模型专题一 关于中点的联想如图如图，(1)圆心圆心O是直径的中点是直径的中点，常与已知中点连接常与已知中点连接，或过点或过点O作一边的平行线或垂作一边的平行线或垂线构造中位线解题；线构造中位线解题；(2)圆中遇到弦的中点圆中遇到弦的中点，出现出现“四中点四中点(如图如图，点点F、O、E、C)一垂直一垂直(FCAB)”，联想联想“垂径定理垂径定理”，解决相应问题；解决相应问题；(3)圆中遇到弧的中点圆中遇到弧的中点，可得弧相等、弦相等、圆周角相等可得弧相等、弦相等、圆周角相等，可进一步引出垂径定理、可进一步引出垂径定理、角平分线等来解决相应问题角平分线等来解决相应问题模
17、型分析模型分析专题一 关于中点的联想7. 如图如图，AB是是O的直径的直径，C是是O上的一点上的一点，ODBC于点于点D，AC6，则则OD的长为的长为()A. 2B. 3C. 3.5D. 4针对训练针对训练第7题图B专题一 关于中点的联想第8题图8. 如图如图，AB是是O的直径的直径，BOD120，点点C为为 的中点的中点，AC交交OD于点于点E，DE1，则则AE的长为的长为_BD3专题一 关于中点的联想 关于中点的联想专题一终合训练终合训练1. 在ABC中，D为BC的中点(1)如图，AB5，AC3，AD2，求ABC的面积；(2)如图，M为AC的中点，连接BM交AD于点F，若AMMF.求证：B
18、FAC. (1)解：如解图，延长AD至点E，使得DEAD，连接BE，CE.BDDC，DEAD，四边形ABEC是平行四边形BEAC3，AE2AD4.在ABE中，三条边的长度3、4、5是勾股数，ABE是直角三角形SABE1/2346.根据平行四边形的性质可知SABCSABE，SABC为6；专题一 关于中点的联想(2)证明：如解图，延长AD至点E，使得DEAD，连接BE、CE，BDDC，DEAD，四边形ABEC是平行四边形ACBE，ACBE.MAFBEA.AMMF，MAFAFM.BFEMFA，BEFBFE.BFBE.BFAC.第1题解图专题一 关于中点的联想 关于中点的联想专题一终合训练终合训练2.
19、 如图，在平行四边形ABCD中，ACBC，点E，F分别在AB，BC上，且满足ACAECF，连接CE，AF，EF.(1)若ABC35，求EAF的度数；(2)若CEEF，求证：CE2EF.专题一 关于中点的联想(1)解：ACBC，ACCF，ACF为等腰直角三角形，则AFC45. AFCBEAF，B35，EAF10；(2)证明：如解图，取CF的中点M，连接EM、AM.CEE EMCMFMCF.又ACAE，AM为EC的中垂线CAMACE90.又ECFACE90，CAMFCE.又CEFACM90，ACMCEF，.又CFAC2CM，.CE2EF.当题中出现角平分线或易得到角平分线(有对称或等腰三角形)时,
20、首先考虑利用角平分线定理求解.若另有平行或垂直等条件,则可考虑构造等腰三角形或对称图形求解.常见类型 如下：专题二关于角平分线的联想类型一角平分线+边的垂线 双垂直类型二角平分线+角平分线的垂线 等腰三角形类型三见角平分线作对称 全等三角形类型四角平分线+平行线 等腰三角形类型五角平分线+角平分线 三角形内心构造构造构造构造构造类型一角平分线+边的垂线 双垂直如图1,遇到角平分线上的点到角的一边的垂线时,一般过该点作另一边的垂线,构造双垂直求解.构造图1专题二关于角平分线的联想1.如图2,RtABC中,C=90,ABC的平分线BD交AC于点D,若CD=3,则点D到AB的距离DE是()A.5B.
21、4C.3D.2图2C专题二关于角平分线的联想2.如图3,在ABC中,AB=10,AC=8,BAC=45,AD是BAC的平分线,DEAB于点E,则DE的长是.图3专题二关于角平分线的联想专题二关于角平分线的联想3.如图4,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y轴的正半轴上,OA=12,OC=9,连接AC.(1)填空:点B的坐标为;AC的长度为.(2)若CD平分ACO,交x轴于点D,求直线CD的函数表达式.图4专题二关于角平分线的联想解:(1)(12,9)15专题二关于角平分线的联想3.如图4,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y轴的正
22、半轴上,OA=12,OC=9,连接AC.(2)若CD平分ACO,交x轴于点D,求直线CD的函数表达式.图4专题二关于角平分线的联想专题二关于角平分线的联想类型二角平分线+角平分线的垂线 等腰三角形构造图5如图5,当题目中有垂直于角平分线的线段PA时,通过延长AP交ON于点B,构造等腰三角形AOB求解.专题二关于角平分线的联想4.如图6,在ABC中,C=90,AC=BC,AD平分BAC,BDAD,若BD=2,则AE=.图6专题二关于角平分线的联想答案 4解析延长BD,AC交于点F,AD平分BAC,ADBD,ABF=AFB,BD=FD,BF=2BD.ADBD,ACB=90,AEC=BED,EAC=
23、FBC.又AC=BC,ACE BCF,AE=BF=2BD=4.专题二关于角平分线的联想5.如7,ABC中,BAC=90,SABC=10,AD平分BAC,交BC于点D,BEAD交AD延长线于点E,连接CE,则ACE的面积为.图7专题二关于角平分线的联想答案5专题二关于角平分线的联想图8专题二关于角平分线的联想类型三见角平分线作对称 全等三角形构造图9如图9,若P是MON平分线上一点,点A是边OM上任意一点,可考虑在边ON上截取OB=OA,连接PB,构造OPB OPA,进而将一些线段和角进行等量代换,这是常用的解题技巧之一.专题二关于角平分线的联想证明:四边形ABCD是菱形,BC=CD,CA平分B
24、CD. BCE=DCE.CE=CE,BCE DCE.CBE=CDE.又ABDC,APD=CDE.APD=CBE.7.如图10,在菱形ABCD中,P是AB上的一个动点且不与A,B重合,连接DP交对角线AC于E,连接BE.求证:APD=CBE.图10专题二关于角平分线的联想8.如图11,在ABC中,C=2B,AD平分BAC,求证:AB=AC+CD.图W2-11专题二关于角平分线的联想专题二关于角平分线的联想类型四角平分线+平行线 等腰三角形当题中同时出现角平分线和平行线时,注意找等腰三角形.一般地,角平分线、平行线、等腰三角形中任意两个条件存在,可得第三个条件.如图12, OP平分MON,PQON
25、,则OPQ为等腰三角形.图12构造专题二关于角平分线的联想9.如图13,ABCD,AD平分BAC,且C=80,则D的度数为 ()A.50B.60C.70D.100图13A专题二关于角平分线的联想10.在ABC中,D,E分别是边AC,AB的中点,连接BD.若BD平分ABC,则下列结论错误的是()A.BC=2BEB.A=EDAC.BC=2ADD.BDACC专题二关于角平分线的联想11.如图14,AC是正方形ABCD的对角线,DCA的平分线交BA的延长线于点E,若AB=3,则AE=.图14专题二关于角平分线的联想专题二关于角平分线的联想12.在 ABCD中,AE平分BAD交边BC于点E,DF平分AD
26、C交边BC于点F,若AD=11,EF=5,则AB=.专题二关于角平分线的联想答案8或3解析如图,在 ABCD中,BCAD,ADF=CFD.DF平分ADC交BC于点F,ADF=CDF,CFD=CDF,CF=CD.同理可证AB=BE.AB=BE=CF=CD.EF=5,BC=AD=11,BC=BE+CF-EF=2AB-EF=2AB-5=11,AB=8.如图,在 ABCD中,同可得AB=BE=CF=CD,EF=5,BC=BE+CF+EF=2AB+EF=2AB+5=11,AB=3.故答案为8或3.专题二关于角平分线的联想13.如图15,在ABC中,AD平分BAC,BDAD,过D作DEAC,交AB于E,若
27、AB=5,则DE=.图15专题二关于角平分线的联想14.如图16,在ABC中,CD平分ACB交AB于D,DEAC交BC于点E,DFBC交AC于点F.求证:四边形DECF是菱形.图16证明:如图,DEAC,DFBC,四边形DECF为平行四边形,2=3.又CD平分ACB交AB于点D,1=2,1=3,DE=EC,四边形DECF为菱形.专题二关于角平分线的联想15.如图17,在ABC中,ABAC,E为BC边的中点,AD为BAC的平分线,过E作AD的平行线,交AB于F,交CA的延长线于点G.求证:BF=AC+AF.图17专题二关于角平分线的联想专题二关于角平分线的联想类型五角平分线+角平分线 三角形内心
28、图18构造专题二关于角平分线的联想16.如图19所示,ABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40,三条角平分线将ABC分为三个三角形,则SOAB SOBC SOAC= .图192 3 4专题二关于角平分线的联想17.如图20所示,已知ABC的周长是18 cm,BO,CO分别平分ABC和ACB, ODBC于点D,若ABC的面积为45 cm2,则OD= ;若BOC=110,则A=.图205 cm40专题二关于角平分线的联想图21专题二关于角平分线的联想答案C专题二关于角平分线的联想专题三有关面积问题的联想多边形的面积是中小学数学中常接触的教学内容,利用面积求线段的长度是一种重要的方法,
29、这种题型中往往没有提到面积,但面积是一个关键的隐含的等量关系,因此需要灵活掌握多边形面积的求法,体会其内在联系.本专题讲解关于面积的计算和应用，具体如下：类型一一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)的三角形面积的计算类型二三边都不在坐标轴上(或都不平行于坐标轴)的三角形面积的计算类型三借助面积求线段长类型四借助面积证明线段间的关系类型五面积在综合问题中的应用专题三类型一一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)的三角形面积的计算直接使用三角形的面积公式直接使用三角形的面积公式S ABh，其中其中AB是三角形在坐标轴上是三角形在坐标轴上(或平行于坐或平行于坐标轴标轴)的线段长的线段长，h为为AB边上的高边上的高
30、12有关面积问题的联想专题三1. 如图，已知如图，已知A(2，0)、B(5，0)、C(3，3)三点，则三点，则ABC的面积是的面积是_点A（2，0），B（5，0），C（3，3），AB=5-2=3，C到x轴的距离为：3，则ABC的面积是：1/233=9/2故答案为：9/292有关面积问题的联想专题三2. 如图，直线如图，直线 与与x轴交于点轴交于点A，与直线，与直线y2x交于点交于点B，则则AOB的面积为的面积为_31 22xy 分析： 将二直线联立成将二直线联立成方程组解得方程组解得B(1,2),BB(1,2),B到到X X轴轴距离为距离为2 2，AO=3,AO=3,容易求的容易求的面积为面积
31、为3 3有关面积问题的联想专题三3. (2019凉山州改编凉山州改编)如图，正比例函数如图，正比例函数ykx与反比例函数与反比例函数 的图象相的图象相交于交于A、C两点，过点两点，过点A作作x轴的垂线交轴的垂线交x轴于点轴于点B，连接，连接BC，则，则ABC的面的面积等于积等于_4yx 4有关面积问题的联想专题三类型二三边都不在坐标轴上(或都不平行于坐标轴)的三角形面积的计算SABCSABDSBCD SABCSABDSBCD 1()2B DA FC E 1()2BD AECF 有关面积问题的联想专题三4. 如图，如图，A、B是反比例函数是反比例函数 在第一象限内的图象上的两点，在第一象限内的图
32、象上的两点，且且A、B两点的横坐标分别是两点的横坐标分别是2和和4，则，则OAB的面积是的面积是()A. 4B. 3C. 2D. 14yx B有关面积问题的联想专题三5. (2018宁夏宁夏)抛物线抛物线 经过点经过点A(3，0)和点和点B(0，3)，且这，且这条抛物线的对称轴为直线条抛物线的对称轴为直线l，顶点为，顶点为C.(1)求抛物线的表达式；求抛物线的表达式；(2)连接连接AB、AC、BC，求，求ABC的面积的面积213yxbxc 解：解：(1)抛物线抛物线y x2bxc经过经过点点A(3 ，0)和点和点B(0，3)，抛物线的表达式为抛物线的表达式为y x2 x3； ，解得解得 ，有关
33、面积问题的联想专题三(2)如解图，过点如解图，过点B作作BFl于点于点F，经过点经过点A(3 ，0)，B(0，3)的直线的表达式为的直线的表达式为y x3，将抛物线的表达式配方，得将抛物线的表达式配方，得y (x )24，点点C的坐标为的坐标为( ，4)，点点D的坐标为的坐标为( ，2)，CD2，则，则BFOE.BFAEOEAE3 ，SABC CD(BFAE) 23 3 .有关面积问题的联想专题三类型一借助面积求线段长6.已知直角三角形的两直角边长分别为3和4,则斜边上的高为()A.5 B.3 C.1.2 D.2.47.等腰三角形的腰长是13,底边长是10,则腰上的高等于.8.等边三角形的边长
34、为6,内部任意一点O到三边的距离之和为.D有关面积问题的联想专题三9.如图,ABC中,C=90,AC=8,BC=6,角平分线AD,BE相交于点O,点O到AB边的距离为.10.如图,在菱形ABCD中,AE是菱形的高,若对角线AC,BD的长分别是12,16,则AE的长是.29.6有关面积问题的联想专题三类型二借助面积证明线段间的关系11.证明命题“等腰三角形两腰上的高相等”,根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证,写出证明过程.解:已知:如图,在ABC中,AB=AC,CEAB,BDAC.求证:CE=BD.证明:AB=AC,ABC=ACB.CEAB,BDAC,BEC=CDB.BC=CB,BEC
35、CDB(AAS),CE=BD.有关面积问题的联想专题三12.如图,在ABC中,AB=AC,CDAB于D,P为BC上的任意一点,过P点分别作PEAB,PFCA,垂足分别为E,F.(1)若P为BC边的中点,则PE,PF,CD三条线段有何数量关系(写出推理过程).(2)若P为线段BC上任意一点,则(1)中关系还成立吗?(3)若P为直线BC上任意一点,则PE,PF,CD三条线段间有何数量关系(请直接写出).有关面积问题的联想专题三有关面积问题的联想专题三12.如图,在ABC中,AB=AC,CDAB于D,P为BC上的任意一点,过P点分别作PEAB,PFCA,垂足分别为E,F.(2)若P为线段BC上任意一
36、点,则(1)中关系还成立吗?有关面积问题的联想专题三12.如图,在ABC中,AB=AC,CDAB于D,P为BC上的任意一点,过P点分别作PEAB,PFCA,垂足分别为E,F.(3)若P为直线BC上任意一点,则PE,PF,CD三条线段间有何数量关系(请直接写出).有关面积问题的联想专题三有关面积问题的联想专题三有关面积问题的联想专题三类型三面积在综合问题中的应用13.如图,四边形ABCD中,ADBC,A=90,AD=1厘米,AB=3厘米,BC=5厘米,动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动,动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动,P,Q两点同时出发,当点Q到达点D时停止运动,
37、点P也随之停止,设运动时间为t秒(t0).(1)求线段CD的长;(2)当t为何值时,线段PQ将四边形ABCD的面积分为1 2两部分?有关面积问题的联想专题三有关面积问题的联想专题三13.如图,四边形ABCD中,ADBC,A=90,AD=1厘米,AB=3厘米,BC=5厘米,动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动,动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动,P,Q两点同时出发,当点Q到达点D时停止运动,点P也随之停止,设运动时间为t秒(t0).(2)当t为何值时,线段PQ将四边形ABCD的面积分为1 2两部分?有关面积问题的联想专题三有关面积问题的联想专题三有关面积问题的联想专题三
38、14.如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中ACB=90,AC=3,BC=4,点E从点A出发,沿AC向点C运动,同时动点F从点A出发,沿AB向点B运动,运动速度均为每秒1个单位长度,当点E到达点C处时,点F同时停止运动,点E,F出发后,连接EF,并将AEF沿EF翻折,得到DEF,设AFD与ABC重叠部分图形的面积为S,点E的运动时间为t(s).(1)求证:四边形AEDF是菱形;(2)当点D落在BC边上时,求AF的长;(3)在点E的整个运动过程中,求S与t的函数关系式.有关面积问题的联想专题三解:(1)证明:如图,点E,F的运动速度相同,AE=AF.EFD是由AEF翻折得到,AE=ED,AF=
39、DF,AE=DE=DF=AF,四边形AEDF是菱形.有关面积问题的联想专题三14.如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中ACB=90,AC=3,BC=4,点E从点A出发,沿AC向点C运动,同时动点F从点A出发,沿AB向点B运动,运动速度均为每秒1个单位长度,当点E到达点C处时,点F同时停止运动,点E,F出发后,连接EF,并将AEF沿EF翻折,得到DEF,设AFD与ABC重叠部分图形的面积为S,点E的运动时间为t(s).(2)当点D落在BC边上时,求AF的长;有关面积问题的联想专题三有关面积问题的联想专题三14.如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中ACB=90,AC=3,BC=4,点E从点
40、A出发,沿AC向点C运动,同时动点F从点A出发,沿AB向点B运动,运动速度均为每秒1个单位长度,当点E到达点C处时,点F同时停止运动,点E,F出发后,连接EF,并将AEF沿EF翻折,得到DEF,设AFD与ABC重叠部分图形的面积为S,点E的运动时间为t(s).(3)在点E的整个运动过程中,求S与t的函数关系式.有关面积问题的联想专题三有关面积问题的联想五大常考的全等模型专题四 三角形全等属于中考的必考知识，为了在复习中更好掌握和快速解题达到高分，本节专题把大常考的模型总结如下模型一平移模型模型一平移模型模型二对称模型模型二对称模型 模型三三垂直型模型三三垂直型 模型四旋转模型模型四旋转模型模型
41、五半角模型模型五半角模型模型一模型一 平移模型平移模型例例 1 如图，已知如图，已知BCEF，BDGC，点，点D、C在在AF上，且上，且ABDE.求证：求证：ADCF.【找一找找一找】已知已知结论结论BCEF_，_BDGC_FBCAEDGCEB例1题图五大常考的全等模型专题四证明证明：BCEF，FBCA，EDGC.BDGC，BE.又又ABDE，ABCDEF(AAS)ACDF.ADCDCDCF，ADCF.五大常考的全等模型专题四基本模型基本模型图图示示 模模型型总总结结 有一组边共线有一组边共线，另两组边分别平行另两组边分别平行，常常要在移动方向上要在移动方向上加加( (减减) )公共线段，构造
42、线段相等，并利用平行线性质找公共线段，构造线段相等，并利用平行线性质找到对应角相等到对应角相等. 五大常考的全等模型专题四针对训练针对训练第1题图1. 如图如图，在四边形在四边形ABCD中中，E是是AB的中点的中点，ADEC，AEDB.(1)求证：求证：AEDEBC；(2)当当AB6时时，求求CD的长的长(1)证明证明：ADEC，ABEC.E是是AB中点中点，AEEB.AEDB，AEDEBC(ASA)；五大常考的全等模型专题四(2)解：解：AEDEBC，ADEC.ADEC，四边形四边形AECD是平行四边形是平行四边形CDAE.AB6，CD AB3.五大常考的全等模型专题四模型二模型二 对称模型
43、对称模型 例2题图例例 2 如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，点，点D是三角形内一点，连接是三角形内一点，连接DA，DB，DC，若若12，则，则ABD与与ACD全等吗？请说明理由全等吗？请说明理由【找一找找一找】已知已知结论结论ABAC_12DBDC，_ABCACBABDACD五大常考的全等模型专题四结论：结论：ABD与与ACD全等全等理由如下：理由如下：12，DBDC.ABAC，ABCACB.ABC1ACB2.ABDACD.在在ABD和和ACD中中，ABDACD(SAS),ABACABDACDBDCD 五大常考的全等模型专题四基本模型基本模型图图示示 模模型型总总结结所给图形可沿某一直
44、线折叠所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合直线两旁的部分能完全重合，重合重合的顶点就是全等三角形的对应顶点的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等即公共边或公共角相等. 五大常考的全等模型专题四针对训练针对训练第2题图2. 如图如图，点点E、F在在BC上上，ABDC，BC，请补充一个请补充一个条件：条件：_，使使ABFDCE.BECF或或BFCE或或AD或或AFBDEC五大常考的全等模型专题四3. 如图如图，E是是AOB的的平分线上一点，平分线上一点，ECOA，EDOB，垂足分别为垂足分别为C，D，连接连接CD交交OE于点
45、于点F.求证：求证：(1)OCOD；(2)ECFEDF.第3题图证明：证明：(1)E是是AOB的平分线上一点，的平分线上一点，ECOA，EDOB，ECED，ECOEDO90.在在RtCOE和和RtDOE中，中，RtCOERtDOE(HL)OCOD；,ECEDOEOE 五大常考的全等模型专题四(2)RtCOERtDOE，CEFDEF.在在ECF和和EDF中中，ECFEDF(SAS),CEDECEFDEFEFEF 五大常考的全等模型专题四模型三三垂直型模型三三垂直型例3题图例例 3 如图，如图，ABC中，中，ABCBAC45，点，点P在在AB上，上，ADCP交交CP于点于点D，BECE交交CP的延
46、长线于点的延长线于点E，垂足分别为，垂足分别为D，E，已知，已知DC2，求求BE的长的长【思维教练思维教练】已知已知DC的长，求的长，求BE的长，可通过证明的长，可通过证明CBE和和ACD全等，根据同角的余角相等可得全等，根据同角的余角相等可得DACBCE，从而利用，从而利用AAS可证可证CBE和和ACD全等全等五大常考的全等模型专题四解：解：ABCBAC45，ACB90，ACBC.DACACD90，BCEACD90，DACBCE.在在ACD和和CBE中，中，ACDCBE(AAS)BECD2.五大常考的全等模型专题四基本模型基本模型图示图示模型模型总结总结 有三个直角有三个直角，常利用同角常利
47、用同角(等角等角)的余角相等证明角相等的余角相等证明角相等. 五大常考的全等模型专题四针对训练针对训练第4题图4. 在在ABC中中，ACB90，ACBC，直线直线MN经过点经过点C，且且ADMN于点于点D，BEMN于点于点E.求证：求证：DEADBE.证明：证明：ACB90，ACBC，ACDBCE90.ADMN，BEMN，ADCCEB90，ACDDAC90，BCECAD.在在ADC和和CEB中中，ADCCEB(AAS)，ADCE，DCEB.DEDCCE，DEBEAD.,CADBCEADCCEBACBC 五大常考的全等模型专题四模型四旋转模型模型四旋转模型例4题图类型一不共顶点旋转模型类型一不共
48、顶点旋转模型例例 4 如图，点如图，点A、B、C、D在一条直线上，在一条直线上，AEDF，CEBF，ABCD.求求证：证：EACFDB.【找一找找一找】已知已知结论结论AEDF_CEBF_ABCDABBCBCCD_ADACEDBFACBD五大常考的全等模型专题四证明：证明：AEDF，CEBF，AD，ACEDBF.ABCD，ABBCBCCD，即即ACDB.EACFDB(ASA)五大常考的全等模型专题四基本模型基本模型图示图示模型模型总结总结所给图形是一个中心对称图形所给图形是一个中心对称图形，一个三角形绕中心对称点旋转一个三角形绕中心对称点旋转180，则可得到另一个三角形则可得到另一个三角形，两
49、三角形有一组边共线两三角形有一组边共线，构造线构造线段相等段相等，并利用平行线性质找到对应角相等并利用平行线性质找到对应角相等.五大常考的全等模型专题四类型二共顶点旋转模型类型二共顶点旋转模型(含手拉手模型含手拉手模型)例例5 如图，四边形如图，四边形ABCD中，中，E点在点在AD上，上，BAEBCE90，且，且BCCE，ABDE.求证：求证：ABCDEC.【思维教练思维教练】题干已知题干已知BCCE，ABDE，BAEBCE90，要证，要证ABCDEC，只需证明，只需证明BCED即可即可例5题图证明：证明：BAEBCE90，ABCAEC180.AECDEC180，DECB.在在ABC和和DEC
50、中中，ABCDEC(SAS),ABDEBFECBCEC 五大常考的全等模型专题四基本模型基本模型图示图示1(无重叠无重叠) 图示图示2(有重叠有重叠) 模型总结模型总结此模型可看成是由三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的此模型可看成是由三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的，在旋转过程中在旋转过程中，两个三角形无重叠或有重叠两个三角形无重叠或有重叠，找等角或运用角的找等角或运用角的和差得到等角注：遇到共顶点和差得到等角注：遇到共顶点，等线段等线段，考虑用旋转考虑用旋转. 五大常考的全等模型专题四针对训练针对训练第5题图5. 如图如图，ACBACB，ACB70，ACB100，则则BCA的度数为
