1、 20072019 年新课标全国卷年新课标全国卷立几立几题题 （2007 宁夏卷）宁夏卷） 8已知某个几何体的三视图如下，根据图中 标出的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体的 体积是（ ） 3 4000 cm 3 3 8000 cm 3 3 2000cm 3 4000cm 12一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥 的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等设四棱锥、 三棱锥、三棱柱的高分别为 1 h， 2 h，h，则 12 :hhh （ ） 3:1:1 3:2:2 3:2:2 3:2: 3 18 （本小题满分 12 分） 如图，在三
2、棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，90BAC，O为BC中点 （）证明：SO 平面ABC； （）求二面角ASCB的余弦值 （2008 宁夏卷）宁夏卷） 12、某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体 的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a + b 的最大值为（ ） A. 22 B. 32 C. 4 D. 52 15、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱 柱的体积为 9 8 ，底面周长为 3，那么这个球的体积为 _ 18、 （本小题满分 12 分） 如
3、图，已知点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1的对角线 BD1上，PDA=60。 （1） 求 DP 与 CC1所成角的大小； （2） 求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小。 （2009 宁夏卷）宁夏卷） （8） 如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱线长为 1，线段 11 B D上有两个动点 E，F，且 2 2 EF ，则 下列结论中错误的是 （A）ACBE （B）/ /EFABCD平面 （C）三棱锥ABEF的体积为定值 （D）异面直线,AE BF所成的角为定值 （11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2 m
4、）为）为 （A）48+122 （B）48+242 （C）36+122 （D）36+242 20 20 正视图 20 侧视图 10 10 20 俯视图 B1 C1 D1 A1 C D AB P 19（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的2倍，P 为侧棱 SD 上的点。 （）求证：ACSD； （）若 SD平面PAC，求二面角 P-AC-D 的大小 （）在（）的条件下，侧棱 SC 上是否存在一点 E， 使得 BE平面 PAC。若存在，求 SE：EC 的值； 若不存在，试说明理由。 （2010 课标全国卷）课标全国卷） 10.设三棱柱的侧棱垂直
5、于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2 a (B) 2 7 3 a (C) 2 11 3 a (D) 2 5 a 14.正视图为一个三角形的几何体可以是_（写出三种） 18.（本小题满分 12 分） 如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB CD,ACBD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高 ，E 为 AD 中点 (I)证明：PEBC (II)若APB=ADB=60，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值 （2011 课标全国卷）课标全国卷） 6在一个几何体的三视图中，正视 图和俯视图如右图所示，则相应的俯 视图可以为 15 已知矩形 ABCD
6、 的顶点都在半径 为 4 的球 O 的球面上，且 AB=6， BC=2 3，则棱锥 O-ABCD 的体积为 _ 18(本小题满分 12 分) 如图， 四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为平行四边形， DAB=60， AB=2AD，PD底面 ABCD ()证明：PABD； ()若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值 （2012 课标全国卷）课标全国卷） 7如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此 几何体的体积为( ) A6 B9 C D 11已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC 是边长为1的正 三角形，SC为球O的直径，且2SC ；则
7、此棱锥的体积为( ) A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 19(本小题满分 12 分) 如图，直三棱柱 111 ABCABC中， 1 1 2 ACBCAA，D是棱 1 AA的中点，BDDC 1 (1)证明：BCDC 1 (2)求二面角 11 CBDA的大小 （2013 课标全国课标全国 I 卷）卷） 6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容 器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器 的厚度，则球的体积为 ( ) A、500 3 cm3 B、866 3 cm3 C、1372 3 cm3 D、2048 3 cm3
8、8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.168 B.88 C.16 16 D.8 16 18、 （本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，BA A1=60. （）证明 ABA1C; （）若平面 ABC平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1 C 所成角的正弦值。 （2013 课标全国课标全国 II 卷）卷） （4）已知 m, n 为异面直线，m平面，n平面. 直线 l 满足 lm，ln，l /，l /则： （A）且 l （B）且 l （C）与相交，且交线垂直于 l （D）与相交，且交线平行于 l （7
9、）一个四面体的顶点在空间直角 坐标系 Oxyz中的坐标分别是(1, 0, 1)，(1, 1, 0） ，(0, 1, 1） ，(0, 0, 0)，画 该四面体三视图中的正视图时，以 zOx平面为投影面，则得到正视图 可以为 18、如图，直棱柱 ABC-A1B1C1中，D，E 分别是 AB，BB1的中点，AA1 = AC = CB = 2 2 AB. （）证明：BC1 /平面 A1CD （）求二面角 DA1CE 的正弦值 （2014 课标全国课标全国卷）卷） 12. 如图， 网格纸上小正方形的边长为 1， 粗实线画出的是某多面体的三视图， 则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为 A.6 2 B.4
10、 2 C.6 D.4 19. （本小题满分 12 分） 如图三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 BBCC为菱形， 1 ABBC. B C A A B C D E (A) (B) (C) (D) （） 证明： 1 ACAB； （）若 1 ACAB， o 1 60CBB，AB=BC， 求二面角 111 AABC的余弦值. （2014 课标全国课标全国卷）卷） 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm）,图中粗线画出的是 某零件的三视图， 该零件由一个底面半径为 3cm， 高为 6cm 的圆柱体毛坯 切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 17 27 B
11、. 5 9 C. 10 27 D. 1 3 11.直三棱柱 ABC-A1B1C1中， BCA=90， M， N 分别是 A1B1， A1C1的中点， BC=CA=CC1，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为（ ） A. 1 10 B. 2 5 C. 30 10 D. 2 2 18. （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点. （）证明：PB平面 AEC； （）设二面角 D-AE-C 为 60，AP=1，AD=3，求三棱锥 E-ACD 的体积. （2015 课标全国课标全国卷）卷） （6） 九章算术是我国古代内容
12、极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今 有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内 墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺， 米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有 A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 (11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三 视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20，则r= （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 （18）如图，四边
13、形 ABCD 为菱形，ABC=120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE=2DF，AEEC。 （1）证明：平面 AEC平面 AFC （2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 （2015 课标全国课标全国卷）卷） （6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积 的比值为 （A） 8 1 （B） 7 1 （C） 6 1 （D） 5 1 （9） 已知 A,B 是球 O 的球面上两点， AOB=90,C 为该球面上的动点， 若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36， 则球 O 的表面积为 A36
14、 B.64 C.144 D.256 19 （本小题满分 12 分） 如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由） ； （2）求直线 AF 与平面 所成的角的正弦值。 （2016 课标全国课标全国卷）卷） （6）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 28 3 ,则它的表面积是 （A）17 （B）18 （C）20 （D）2
15、8 (11)平面过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A,/平面 CB1D1,I平面 ABCD=m,I平面 AB B1A1=n,则 m、n 所成角的正弦值为 (A) 3 2 (B) 2 2 (C) 3 3 (D) 1 3 （18） （本小题满分为 12 分）如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD, 90AFD,且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是60 （I）证明：平面 ABEF平面 EFDC； （II）求二面角 E-BC-A 的余弦值 （2016 课标全国课标全国卷）卷） （6）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图
16、，则该几何体的表面积为（ ） （A）20 （B）24 （C）28 （D）32 (14) , 是两个平面，,m n是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,/ /mn mn，那么. D D1 C1 A1 E F A B C B1 C D F （2）如果,/ /mn，那么mn. （3）如果/ / ,m，那么/ /m. （4）如果/ / ,/ /mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等. 其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号） 19.（本小题满分 12 分） 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，5,6ABAC，点,E F分别在,AD CD上， 5 4 AECF，EF交BD于点H将DE
17、F沿EF折到D EF位置，10OD （）证明：D H平面ABCD； （）求二面角BD AC的正弦值来源:gkstk.Com 来源:学优高考网 （2016 课标全国课标全国卷）卷） (9)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 （ ） （A）1836 5 （B）54 18 5 （C）90 （D）81 (10) 在封闭的直三棱柱 111 ABCABC内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB ，8BC ， 1 3AA ，则V的最大值是（ ） （A）4 （B） 9 2 （C）6 （D） 32 3 （19） （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥PABC
18、中，PA 地面ABCD，ADBC，3ABADAC，4PABC，M 为线段AD上一点，2AMMD，N为PC的中点 （I）证明MN平面PAB； （II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. （2017 课标全国课标全国卷）卷） 7 某多面体的三视图如图所示， 其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成， 正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形， 这些梯形的面积之和为 A10 B12 C14 D16 16如图，圆形纸片的圆心为O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中 心为O。D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，
19、AB为底边的等腰三角形。 沿虚线剪开后， 分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC， ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当ABC的边长变化时， 所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_。 18.（12 分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且90BAPCDP . （1）证明：平面PAB平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，90APD，求二面角A-PB-C的余弦值. （2017 课标全国课标全国卷）卷） 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱 截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A 90 B63
20、 C42 D36 10. 已知直三棱柱 111 ABCABC中，C120，2 ， 1 CCC1，则异面直线 1 与 1 C 所成角的余弦值为（ ） A 3 2 B 15 5 C 10 5 D 3 3 19.（12 分） 如 图 ， 四 棱 锥PA B C D中 ， 侧 面PAD为 等 比 三 角 形 且 垂 直 于 底 面ABCD， o 1 ,90 , 2 ABBCADBADABC E是PD的中点. （1）证明：直线/ /CE 平面PAB （2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为 o 45 ，求二面角MABD的余弦值 （2017 课标全国课标全国卷）卷） 8已知圆柱的高为1，它的
21、两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A B 3 4 C 2 D 4 16, a b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与, a b都垂直，斜边 AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： 当直线AB与a成60角时，AB与b成30角； 当直线AB与a成60角时，AB与b成60角； 直线AB与a所成角的最小值为45； 直线AB与a所成角的最大值为60 其中正确的是_（填写所有正确结论的编号） 19（12分） 如图， 四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形ABDCBD?，ABBD= （1）证明：平面ACD 平面ABC； （2
22、）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体 ABCD分成体积相等的两部分 求二面角DAEC-的余弦 值 （2018 课标全国课标全国卷）卷） 7某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱 表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度 为 A172 B 52 C3 D2 12已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面面积的最 大值为 A 3 3 4 B 2 3 3 C 3 2 4 D 3 2 18 （12 分） D A B C E 如图， 四边形ABCD为正方
23、形，,E F分别为,AD BC的中点， 以DF为折痕把DFC折起， 使点C 到达点P的位置，且PFBF. （1）证明：平面PEF 平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值. （2018 课标全国课标全国卷）卷） 9在长方体 1111 ABCDABC D中，1ABBC， 1 3AA ，则异面直线 1 AD与 1 DB所成角的余弦值为 A 1 5 B 5 6 C 5 5 D 2 2 16已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 7 8 ，SA与圆锥底面所成角为 45 ，若SAB的 面积为5 15，则该圆锥的侧面积为_ 20（12 分） 如图，在三棱锥PABC中，2 2AB
24、BC，4PAPBPCAC，O为AC的中点 （1）证明：PO 平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值 P A O C B M （2018 课标全国课标全国卷）卷） 3中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边 的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木 构件的俯视图可以是 10设ABCD， ， ，是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9 3，则三 棱锥DABC体积的最大值为 A12 3 B18 3 C24 3 D54 3 1
25、9 （12 分） 如图，边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点 （1）证明：平面AMD平面BMC； （2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值 （2019 课标全国课标全国卷）卷） 12已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别 是 PA，PB 的中点，CEF=90，则球 O 的体积为 A68 B64 C62 D6 18 （12 分） 如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别
26、是 BC， BB1，A1D 的中点 （1）证明：MN平面 C1DE； （2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值 （2019 课标全国课标全国卷）卷） 7设 ， 为两个平面，则 的充要条件是 A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C， 平行于同一条直线 D， 垂直于同一平面 16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南 北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边 形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点 都在同一个正
27、方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为 _.（本题第一空 2 分，第二空 3 分.） 17（12 分） 如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1. （1）证明：BE平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，求二面角 BECC1的正弦值. （2019 课标全国课标全国卷）卷） 8如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点， 则 ABM=EN，且直线 BM、EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBM=EN，
28、且直线 BM、EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 16学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体 1111 ABCDABC D挖去四棱 锥 OEFGH 后所得几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点， 1 6cm4cmAB = BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所 需原料的质量为_. 19（12 分） 图 1 是由矩形 ADEB、RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1，BE=BF=2，FBC=60， 将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2. （1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE； （2）求图 2 中的二面角 B-CG-A 的大小.
