1、成都七中高 2022 届高三下学期入学考试数学试卷(理)参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A B B D A D A D B C C B二、填空题13: 7 14:34n-2 n 21 n =115: 2 16: e4三、解答题17、解析:(I)Q (a2 +b2 ) sin(A- B) = (a2 -b2 ) sin(A+ B) a2sin(A - B) -sin(A + B)+b2sin(A - B) +sin(A + B) = 0 a2 (-2 cos Asin B) +b2 (2sin Acos B) = 0 .(2 分) -2 sin2 Acos
2、Asin B + 2 sin2 Bsin Acos B = 0Q 2 sin Asin B 0, sin Acos A= sin Bcos B , sin 2A= sin 2B , .(4 分) 2A = 2B 或 2A+ 2B = p ,即 A = B ,或pA+ B = (舍去)2 DABC 的形状为等腰三角形. .(6 分)(II)设 AD = x,CD = x,BC = 2x，AB = y由平行四边形性质可得 (2BD)2 + AC2 = 2(AB2 + BC2) ,即16+4x2 = 2(y2 + 4x2) , 2x2 + y2 = 8 .(9 分)令 x = 2 cosq, y =
3、 2 2 sinq ,则周长为 4x + y = 8cosq + 2 2 sinq = 6 2 sin(q +j), tanj = 2 2Qq R ,当sin(q +j) =1时,周长的最大值为6 2 . .(12 分)18、解析:(I)取 PB 中点 M ,连接 AM .(1 分)Q ,点 A 在 DPBC 的投影为 DPBC 的外心.AP = AB = ACQ DPBC 为 RtD ,外心为点 M AM DPBC .(3 分)Q AM 平面 PA 平面 APB 平面 PBC . .(5 分)(II)由(I)可知 AM DPBC .如图 2,取 PC 的中点 E , BC 的中点 F ,的中
4、点,以 MF 为 x 轴, ME 为 y 轴, MA 为Z 轴,建立如图空间直角坐标系. .(7 分)A(0, 0, 2),B( 2, -1, 0),C( 2,1,0,),P(- 2，1,0,)BC = (0, 2, 0), AC = ( 2,1,- 2),设平面 ABC 的法向量为 n1 = (x, y, z)1设直线CD : x x = p(y + y) . .(8 分)0 0x x = p(y + y)0 0当 k 存在时，联立CD 与C :得:1x = 2py2x + x 2xx - 2x x + 2py = 0 = 0 = x .(9 分)2C D0 0 02 2x x = p(y
5、+ y)0 0联立CD 与x = 2py + m2x + xE F 2xC :得: x2 - 2x x + 2py - m = 0 = 0 = x .(11 分)2 0 0 02 2x + x = x + x 弦CD 的中点与弦 EF 的中点重合，故| EC |=| DF | ,得证. .(12 分)C D E F21、解析:(I)af (x) = +3x2 - 2x -aax +1由题意,aax +1+ 3x - 2x - a 02在1,+) 上恒成立 .(1 分)Q ax +1 0 在1,+) 上恒成立 a 0 .(2 分)由题意,a + 3(ax +1)x - 2x(ax +1) - a
6、(ax +1) 0 在1,+) 上恒成立2整理,3ax +(3-2a)x -(2 + a ) 0 在1,+) 上恒成立 .(3 分)2 2令 g(x) = 3ax2 + (3- 2a)x -(2 + a2)当 a = 0 时,成立.当 a 0 时,-(3- 2a) -4a -3 -1= 023a 6a g(x) 在1,+) 上单调递增. g(1) = -a2 + a +1 0 ,故01+ 5 a 综上,21+ 5a0, . .(5 分)2b(II)由题意, ln x + (1- x)x = 在 (0,+)上有实根.xb = xln x - x + x 在 (0,+)上有实根. .(6 分)3
7、2令 h(x) = xln x - x3 + x2 , h (x) = ln x -3x2 + 2x +1,发现 h (1) = 0 . -6x + 2x +12h (x) = = 0 存在x12 x 0 , x +,h (x) -0, ( )0 0 0 0 0 02存在 0 x x x =1,h (x ) = h (1) = 0 . 1 0 2 1故 h (x) 在 (0, x )单调递减,在 (x ,1)单调递增，在 (1,+)单调递减 .(10 分)1 1因 x 0,h(x) 0, h(1) = 0 , x +,h(x) - ,故 h(x) 的值域为 (-,03故b 的范围是(-,0 .
8、(12 分)22、解析:(I)由题意,C 的普通方程为(x +1)2 + y2 =1, .(2 分)1直线l 的参数方程为x = -1+t cosay = - 3 +t sina(t 为参数) .(4 分)x = -1+t cosa(II)联立y = - 3 +t sina + + =(x 1) y 12 2得: t2 - 2 3 sinat + 2 = 0t2 - 2 3 sinat + 2 = 0 t +t = 2 3 sina, t t = 2 .(6 分)A B A BQ 由题意t = 2t t = 2,t =1A B A B sinat +t 3= A B = , 2 3 21cos
9、a = .(8 分)21 1x = -1+t cosa = -1 = - , 或B B2 2-323 3y = - 3 +t sina = - 3 + = -B B2 2 4p 7p 点B 的极坐标为(1, ) ( 3, ) 3 6或 . .(10 分)1 1 a +b23、解析(I)Q + =1, =1 a+ b= aba b ab又Qa +b 2 ab, ab 2 ab, ab 4 当且仅当a = b = 2 时等号成立. .(4 分)4(II)要证3ab+ 5 +a +b2 2a +b4,只需3ab+ -5 -a -b 02 2a +b证4只需证5ab+ -5 -(a +b) 02a +b Qa + b = ab4Q只需证5ab+ -5 -(ab)2 0 .(7 分)ab4令t = ab , f (t) = 5t + -t2 -5tf (t)-t3 + 5t2 - 5t + 4 (-t3 + 4t2 )+ t2 - 5t + 4 t2 (4-t)+ (t -1)(t - 4)= = =t t t(t - 4)(t -1-t )2= 0 得证. .(10 分)t4
