1、2022年3月18日8时40分1 集合的勒贝格集合的勒贝格( Lebesgue)可测的定义可测的定义2 集合可测的充要条件集合可测的充要条件3 可测集的性质可测集的性质(并、交、差、补、单调性质）并、交、差、补、单调性质）2022年3月18日8时40分上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2022年3月18日8时40分E定义定义1 设设,nRE 若对任何点集若对任何点集 T 都有都有, )()(*CETmETmTm 则称则称 E 为勒贝格为勒贝格( Lebesgue)可测集，简称为可测集，简称为 L 可测集可测集这时这时 E 的的 L 外测度外测度Em*称为称为 E 的的 L
2、 测度，记为测度，记为.mETET CET 称为称为Caratheodory条件条件1 集合的勒贝格集合的勒贝格( Lebesgue)可测的定义可测的定义上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2022年3月18日8时40分定理定理1 集合集合 E 可测的充要条件可测的充要条件是是,EA 对任何对任何,CEB 总有总有.)(*BmAmBAm 证证 必要性：设集合必要性：设集合 E 可测，对任何可测，对任何 A E , B EC , 取取 T = A B , 则则 T E = A , T EC = B , 所以所以TmBAm*)( )()(*CETmETm .*BmAm Cara
3、theodory条件有一个等价的叙述方式，即条件有一个等价的叙述方式，即2 集合可测的充要条件集合可测的充要条件上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2022年3月18日8时40分 充分性：对任意集合充分性：对任意集合 T , 取取 A = T E , B = T EC ，则，则 A E , B EC , A B = T , 于是于是)(*BAmTm . )()(*CETmETm BmAm* 所以集合所以集合 E 可测可测 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2022年3月18日8时40分定理定理 2 集合集合 S 可测的充要条件可测的充要条件是是CS可测
4、可测证证因为对任意的集因为对任意的集 T ，有，有)()(*CSTmSTmTm )()(*CCCSTmSTm 所以集合所以集合 S 可测的充要条件是可测的充要条件是CS可测可测上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2022年3月18日8时40分定理定理 3设集合设集合 S1 , S2 都可测，则都可测，则 S1 S2 也可测也可测并且当并且当 S1 S2 = 时，对任意集合时，对任意集合 T 总有总有. )()()(2*1*21*STmSTmSSTm 特别当特别当 S1 S2 = 时，有时，有.)(2*1*21*SmSmSSm 即即.)(2121mSmSSSm 3 可测集的性
5、质可测集的性质(并集性质）并集性质）上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2022年3月18日8时40分 证证 首先证明首先证明 S1 S2 的可测性，即要证：的可测性，即要证：对任何对任何 T 有有. )()()(21*21*CSSTmSSTmTm 因因 S1 可测，则对任何可测，则对任何 T 有有. )()()(1*1*CSTmSTmTm 1ST2S上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2022年3月18日8时40分又因又因 S2 可测，则对集合可测，则对集合 T S1C ，有，有. )()()(21*21*1*CCCCSSTmSSTmSTm 代入上一个
6、表达式，得代入上一个表达式，得)()()(1*1*CSTmSTmTm )()()(21*21*1*CCCSSTmSSTmSTm 由德摩根公式，由德摩根公式，)()(21*21*CCCSSTmSSTm 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2022年3月18日8时40分因因 S1 可测，故由定理可测，故由定理 1，有，有)()(21*1*SSTmSTmC )()(211*SSTSTmC )(211*SSSTmC )(21*SSTm 所以所以. )()()(2*1*21*STmSTmSSTm 从而从而 S1 S2 可测可测其次证明：当其次证明：当 S1 S2 = 时，对任意集合时
7、，对任意集合 T 总有总有. )()()(21*21*CSSTmSSTmTm 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2022年3月18日8时40分因因 S1 可测，由定理可测，由定理 1，有，有)()()(21*21*STSTmSSTm . )()(2*1*STmSTm 证毕证毕上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2022年3月18日8时40分推论推论 1 设设 Si ( i = 1, 2, . . . , n ) 都可测，都可测，niiS1 则则也可测，并且当也可测，并且当 Si Sj = ( i j ) 时时, 对任何集合对任何集合 T 有有 niin
8、iiSTmSTm1*1*)()(特别当特别当 Si Sj = ( i j ) 时时, 有有 niiniiSmSm1*1*)(即即.)(11 niiniimSSm上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2022年3月18日8时40分定理定理 4 设集合设集合 S1 , S2 都可测，都可测，21SS 则则也可测也可测证证 因为因为 S1 S2 = ( (S1 S2 )C )C = (S1C S2C )C所以由定理所以由定理 2 与定理与定理 3 知，知， S1 S2 可测可测推论推论 2 设设 Si ( i = 1, 2, . . . , n ) 都可测，都可测， 1iiS则则也
9、可测也可测3 可测集的性质可测集的性质(交集性质）交集性质）上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2022年3月18日8时40分定理定理 5 设集合设集合 S1 , S2 都可测，都可测，21 SS则则也可测也可测证证 因为因为 S1 S2 = S1 S2 C ，所以由定理所以由定理 2 与定理与定理 4 知，知， S1 S2 可测可测注：设集合注：设集合 A , B 都可测，且都可测，且A B ，m A +，则，则 m( B A ) = m B m A 3 可测集的性质可测集的性质(差集性质）差集性质）上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2022年3月1
10、8日8时40分定理定理 6 设设 Si 是一列互不相交的可测集，是一列互不相交的可测集， 1iiS则则也是可测集，且也是可测集，且.)(11 iiiimSSm证证 1iiS的可测性的可测性 首先证明首先证明由推论由推论1知，对任何正整数知，对任何正整数 n ,niiS1 是可测集，是可测集，从而对任意点集从而对任意点集 T , 总有总有)()(1*1*CniiniiSTmSTmTm 3 可测集的性质可测集的性质(并集性质）并集性质）上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2022年3月18日8时40分)()(1*1*CniiniiSTmSTmTm )()(1*1*CiiniiS
11、TmSTm )()(1*1*CiiniiSTmSTm 令令 n + , 得得)()(1*1*CiiiiSTmSTmTm )()(1*1*CiiiiSTmSTm 1iiS可测可测 因此因此上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2022年3月18日8时40分推论推论3 设设 Si 是一列可测集，是一列可测集， 1iiS则则也是可测集也是可测集定理定理7 设设 Si 是一列可测集，是一列可测集， 1iiS则则也是可测集也是可测集上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2022年3月18日8时40分定理定理8 设设 Si 是一列递增的可测集：是一列递增的可测集：,21
12、 nSSS则则.lim)(1nniimSSm 即即.lim)lim(nnnnmSSm 3 可测集的性质可测集的性质(单调集列性质）单调集列性质）上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2022年3月18日8时40分证证因为因为,)()()(1231211 nniiSSSSSSSS所以所以 111)()(iiiiiSSmSm niiinSSm11)(lim )(lim11niiinSSm ,limnnmS 0S上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2022年3月18日8时40分定理定理9设设 Si 是一列递减的可测集：是一列递减的可测集：,21 nSSS且且则则
13、,1 mS.lim)(1nniimSSm 即即.lim)lim(nnnnmSSm 3 可测集的性质可测集的性质(单调集列性质）单调集列性质）上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2022年3月18日8时40分证证因因 Sn 是一列递减的可测集，从而是一列递减的可测集，从而 S1Sn 递增，故由定理递增，故由定理 8 有有 )()(lim111 innnSSmSSm. )(11 nnSSm即即)(lim)(111nnnnSSmSSm )(lim1nnmSmS .lim1nnmSmS )()(1111 nnnnSmmSSSm又因为又因为 1mS所以所以.lim)(111nnnnm
14、SmSSmmS 由于由于,1 mS从而从而.lim)(1nniimSSm 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2022年3月18日8时40分定理定理9 中条件中条件 1mS不能缺少，不能缺少，否则定理可能不成立否则定理可能不成立上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2022年3月18日8时40分小结小结1 可测集的定义可测集的定义（ Caratheodory条件）；条件）； 测度的定义测度的定义2 可测集的余集可测，可数个可测集的并集可测，可测集的余集可测，可数个可测集的并集可测，可数个可测集的交集可测，可测集合列的上极限集可数个可测集的交集可测，可测集合列的上极限集下极限集、极限集都是可测的下极限集、极限集都是可测的 即可测集对取余、交、可数并、可数差、即可测集对取余、交、可数并、可数差、极限运算封闭极限运算封闭3 测度除具有外测度的基本性质外还满足测度除具有外测度的基本性质外还满足可数可加性可数可加性上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2022年3月18日8时40分作业作业:P.75 5, 6,
