1、1柳州市 2022 届高三第二次模拟考试文科数学参考答案一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ）二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ）135；14328；15, 1；16333三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17解： （1）完成列联表（单位：人） ：成绩合格成绩不合格合计男性401050女性302050合计70301004 分由列联表，从参与的市民中随机抽取 100 人，有 70 人竞答成绩合格，所以估计该市参与此次冬奥知识竞答的市民的成绩合格率为7 . 0 6 分（2）由列联表，2K的观测值841. 3762
2、. 42110030705050)30102040(1002k，有 95%的把握认为该市参与此次冬奥知识竞答的市民的成绩与性别有关12 分18 （1）点1,nnSS在直线)( 11*Nnnxnny上，) 1(11nSnnSnn，1 分同除以1n，则有111nSnSnn， 2 分111nSnSnn， 3 分数列nSn是以2111 aS为首项，1为公差的等差数列 4 分（2）由（1）可知3) 1() 1(2nnnSn，5 分nnSn32，6 分当1n 时，23111 Sa； 7 分当2n时，42) 1(3) 1(3221nnnnnSSannn，8 分题号123456789101112答案CDDBB
3、CACADCA2经检验，当1n 时也成立)(42*Nnnan9 分121nnnTbbbbnnnT224242220224321 10 分15432224242220222nnnT 11 分143212242222222222nnnnT12232nnnT 12 分19 （1）证明：设AC的中点为O，连接BO，PO.由题意，得2PAPBPC，1PO ，1AOBOCO.在PAC中，PAPC，O为AC的中点，POAC，1 分在POB中，1PO ，1OB ，2PB ，222POOBPB，POOB.2 分又ACOBO， 3 分,AC OB 平面ABC，PO 平面ABC， 4 分PO 平面PAC，平面PAC
4、 平面ABC.5 分（2）解：由（1）知，BOPO，BOAC，BO 平面PAC，BMO是直线BM与平面PAC所成的角，6 分且1tanBOBMOOMOM，当OM最短时，BMO最大，即当M是PA的中点时，直线BM与平面PAC所成的角最大，7 分设点M到平面PBC的距离为 h，CPMBPBCMVV，8 分122221312622131h10 分33h，11 分即点M到平面PBC的距离为3312 分20.（1）由题意知23ac. 1 分141322ba2 分1, 2ba 3 分椭圆14:22 yxC4 分（2）由已知得2,0A 、2,0B，设椭圆 C 上动点,P x y，则利用两点连线的斜率公式可知
5、02PAykx，02PBykx，22222100142222444PAPBxyyyykkxxxxxx ， 5 分设直线PA方程为：2yk x，则直线PB方程为：124yxk ，6 分3根据对称性不妨设0k ，令3x ，得5Myk，14Nyk ，7 分即3,5Mk，13,4kN，则154MNkk8 分设PMN与PAB的外接圆的半径分别为1r，2r，由正弦定理得：12sinMNrMPN，22sinABrAPB，9 分又180MPNAPB，sinsinMPNAPB，10 分4544152441521kkkkABMNrr 11 分当且仅当154kk，即510k时，等号成立，即21rr的最小值为5412
6、 分21解： （1）当0a时，函数xxxfln)(，(0,)x， 1 分xxf11)(，2 分011) 1 ( fk切，3 分又1) 1 (f， 4 分( )f x在)1 (, 1 (f处的切线方程为1y 5 分（2）xxaaxxfln) 1(21)(2定义域为(0,)，6 分xxaxxxaaxxaaxxf) 1)(1(1) 1(1) 1()(2 7 分当0a 时，xxaaxxfln) 1(21)(2，(0,)x，令0) 1(212xaax，解得ax22， 8 分则当),22(0ax时，0) 1(21020 xaax，且02lnln0 x，当),22(0ax时，0ln) 1(21)(00200
7、 xxaaxxf，不符合题意，舍去；9 分当0a 时，01ax，令 0fx，解得01x,令 0fx，解得1x ，( )f x在），（ 10上单调递增，在），（1上单调递减.( )f x在1x 处取得最大值， 10 分要使( )0f x 恒成立，只需0) 1(21) 1 (aaf，解得2a，02a.11 分综上，a的取值范围是0 , 212 分22解： （1）由题知直线l的普通方程为4 yx，1 分曲线1C的普通方程为yyx22又cosx，siny， 2 分直线l的极坐标方程为4sincos， 3 分化简得曲线1C的极坐标方程为sin 5 分（2）直线l的极坐标方程为4sincos，4令，则|sincos4OM，6 分1C的极坐标方程为sin，令，则|sinON，7 分故),sin(5cossin2sin)cos(sin4 ONOM其中21tan ，9 分因为02，3|ONOM的最大值为510 分23解： （1）, 1, 5, 12, 33, 2, 5)(xxxxxxxf 3 分 f x在2,递增，在 , 2递减，4 分 f x的最大值为3)2(f， f x的值域为3 ,5 分（2）证明：由（1）知3m， 3zyx， 6 分由柯西不等式得：222yzxxyz2xyzyzx， 9 分即3222zxyzxy，当且仅当1zyx时，取等号 10 分
