1、第二章第二章结构相似理论结构相似理论教学课程教学课程实验应力分析实验应力分析哈尔滨工业大学土木工程学院哈尔滨工业大学土木工程学院20122012年年1111月月1616日日2.1 概述力学分析力学分析理论计算理论计算实验研究实验研究原型试验原型试验模型试验模型试验模型试验模型试验是将发生在原型中的力学过程是将发生在原型中的力学过程, ,在物理相在物理相似条件下，经缩小似条件下，经缩小( (或放大或放大) )后在模型上重演。对后在模型上重演。对模型中的力学参数进行测量、记录、分析，并根模型中的力学参数进行测量、记录、分析，并根据相似关系换算到原型中去，达到研究原型力学据相似关系换算到原型中去，达
2、到研究原型力学过程的目的。过程的目的。模型试验模型试验Akashi Kaikyo Bridge, Japan明石头海峡大桥，日本明石头海峡大桥，日本模型试验模型试验模型试验模型试验航空航天领域航空航天领域UCSD-NEES UCSD-NEES 室外振动台实验室外振动台实验原型试验原型试验日本，日本，E-DefenseE-Defense振动系统，振动系统，“足尺三维振动破坏实验设足尺三维振动破坏实验设施施”模型试验的优点：经济性好模型尺寸小针对性强突出主要因素，略去次要因素数据准确室内试验模型试验的应用：代替大型结构试验或作为大型结构试验的辅助试验。作为结构分析计算的辅助手段。验证和发展结构计算
3、理论。模型试验的理论基础结构相似理论2.2 2.2 模型的模型的相似相似物理量物理量和和物理现象物理现象的相似的相似2.2. 物理现象相似物理现象相似是指除了几何相似之外，在进行物理过程的系统中，是指除了几何相似之外，在进行物理过程的系统中，在相应的地点（位置）和对应的时刻，在相应的地点（位置）和对应的时刻，模型与原型的模型与原型的各相应物理量之间的各相应物理量之间的比例应保持常数比例应保持常数。1.1. 物理量相似物理量相似 各种物理量，如几何，质量，力等。各种物理量，如几何，质量，力等。在两个系统中，所有在两个系统中，所有向量向量在对应点和在对应点和对应时刻对应时刻方向相同方向相同、大小成
4、比例、大小成比例，所，所有有标量标量也在对应点和对应时刻也在对应点和对应时刻成比例成比例2.2.12.2.1基本概念基本概念2.2.2 物理量的相似1.几何相似要求模型与原型结构之间所对应部分的尺寸成比例。几何尺寸之比称为几何相似常数。mmmlppplbhSlbhlSlbhmp几何相似常数、 、结构的长、宽、高三个方向的线性尺寸、分别代表模型和原型2mmmAlpppAhbSSAhb对一对一矩形截面矩形截面，模型和原型结构的，模型和原型结构的面积相似常数面积相似常数、截面抵抗矩相似常数截面抵抗矩相似常数和和惯性矩相似常数惯性矩相似常数分别为分别为2321616mpmmpWplbhWWbShS34
5、3112112mpIlmmppbhIIbShS 面积相似常数面积相似常数截面抵抗矩相截面抵抗矩相似常数似常数惯性矩相似常惯性矩相似常数相似常数数相似常数2.2.质量相似质量相似要求模型与原型结构要求模型与原型结构对应部分质量成比例对应部分质量成比例。质量之比称为质量之比称为质量相似常数质量相似常数。pmmmmS对于具有对于具有分布质量部分分布质量部分，用，用质量密度质量密度表示。表示。pmS3lSSSSSmVm质量密度相似常数质量密度相似常数3.3.荷载相似荷载相似要求模型与原型在要求模型与原型在各对应点所受的荷载各对应点所受的荷载方向一致，方向一致，大小成比例大小成比例。集中荷载集中荷载相似
6、常数相似常数线荷载线荷载相似常数相似常数面荷载面荷载相似常数相似常数弯矩或扭矩弯矩或扭矩相似常数相似常数2lSSAAPPSPPmmpmplSSS3lMSSSqSS4.4.物理相似物理相似 要求模型与原型的要求模型与原型的各相应点的各相应点的应力和应变、刚度应力和应变、刚度和变形间和变形间的关系相似的关系相似。数。应变和泊松比的相似常剪应力、剪切模量、剪应变、正应力、弹性模量、正SSSSSSSGE,mmmGpPPGSSSGmpSmmmEpPPESSSE5.5.时间相似时间相似 pmtttS 时间相似常数时间相似常数对于结构的对于结构的动力问题动力问题，在随时间变化的过程中，要，在随时间变化的过程
7、中，要求模型与原型在求模型与原型在对应时刻进行比较，要求相对应的对应时刻进行比较，要求相对应的时间成比例。时间成比例。6.6.边界条件相似边界条件相似 要求模型与原型在要求模型与原型在与外界接触的区域内的各种条与外界接触的区域内的各种条件（件（支承条件、约束条件支承条件、约束条件和边界上的受力情况等）和边界上的受力情况等）保持相似保持相似。7.7.初始条件相似初始条件相似动力问题动力问题 要求模型与原型在要求模型与原型在初始时刻的初始时刻的运动参数运动参数相似。相似。 初始几何位置、质点的位移、速度和加速度。初始几何位置、质点的位移、速度和加速度。模型模型上的速度、加速度和原型的速度和加速度在
8、对应的上的速度、加速度和原型的速度和加速度在对应的位置和对应的时刻保持一定的比例，并且运动方向位置和对应的时刻保持一定的比例，并且运动方向一致。一致。与原型结构构与原型结构构造相同的条件造相同的条件2.3.2.3.结构相似定理结构相似定理FmpFS F以牛顿第二定律为例来说明第一相似定理性质以牛顿第二定律为例来说明第一相似定理性质对于原型：对于原型： (1) (1)力相似常数力相似常数如果模型与原型相似，则各对应物理量成比例如果模型与原型相似，则各对应物理量成比例： 对于模型对于模型 (2)(2)pppaMF mmmaMFmmpmS mmapaS a质量相似常数质量相似常数加速度相似常数加速度
9、相似常数 (3) (3)2.3.1.2.3.1.第一相似定理第一相似定理pppamFamFSSSpmppmmFFidemm am a将将(3)(3)代入代入(2)(2)，与，与(1)(1)相比有：相比有：称这一无量纲量为称这一无量纲量为相似准数，也称相似判决，相似准数，也称相似判决，相似系统相似相似系统相似准数相同准数相同emFmaid1FmaSS S无量纲值无量纲值相似指标相似指标(4)(4)将将(3)(3)代入代入(4)(4)（4 4）式为判别模型与原型是否相似的条件，称为）式为判别模型与原型是否相似的条件，称为相似指标相似指标，若两若两个物理系统现象相似，则它们的相似指标为个物理系统现象
10、相似，则它们的相似指标为1 1。去掉角标，写成一般形式去掉角标，写成一般形式: :已知系统相似已知系统相似确定相似条件确定相似条件第一相似定理第一相似定理: :彼此彼此相似的现象相似的现象，以相似常数组成的受现象制约的相，以相似常数组成的受现象制约的相似指标等于似指标等于1 1或相同文字组成的相似准数为一不变量。或相同文字组成的相似准数为一不变量。相似常数:在两相似现象中，两个对应的物理量之比为常数。相似指标:由彼此相似现象中各相似常数组成的无量纲量,彼此相似的现象都满足相似指标等于1的条件。相似准数:在所有相似的现象中是一个不变量，无量纲量,所有相似的系统相似准数应相等。几个重要概念小结几个
11、重要概念小结2.3.2 2.3.2 方程分析法方程分析法 利用描述现象的利用描述现象的基本微分方程基本微分方程组导出组导出相似准数（判据）相似准数（判据）。具体步骤：具体步骤：第一步：将方程对于原型写出，加角标第一步：将方程对于原型写出，加角标 p；第二步：将方程对于模型写出，加角标第二步：将方程对于模型写出，加角标 m；第三步：第三步：定义定义模型和原型同名物理量间的模型和原型同名物理量间的相似常数相似常数；第四步：将模型方程中各物理量以相似常数和原型中第四步：将模型方程中各物理量以相似常数和原型中对应物理量表示。对应物理量表示。第五步：比较原型与模型方程，第五步：比较原型与模型方程，消去原
12、型方程中的各消去原型方程中的各物理量物理量，即得到，即得到无量纲形式的相似指标和相应的相似准无量纲形式的相似指标和相应的相似准数（判据）。数（判据）。例例1 1：单自由度系统有阻尼受迫振：单自由度系统有阻尼受迫振动相似准数的导出。振动微分方动相似准数的导出。振动微分方程如下程如下： 22d ydymckypdtdt解：对于解：对于原型系统原型系统振动微分方程振动微分方程22pppppppppd ydymck ypdtdt22mmmmmmmmmd ydymck ypdtdt对于对于模型系统模型系统振动微分方程振动微分方程,mmmmmmmckytpppppppmckytpSSSSSSmckytp
13、各物理量的各物理量的相似常数相似常数为为,mmpmcpmkpmppmt pmppmS mcS ckS kyS ytS tpS p模型系统各物理量为模型系统各物理量为将上式将上式代入模型系统代入模型系统，得：，得：222ypypmpcpkypppptptpSd ySdySmScS Sk ySpSdtSdt2yymckypttSSSSS SSSS222ypypmpcpkypppptptpSd ySdySmScS Sk ySpSdtSdt与原型系统相比较，得：与原型系统相比较，得：由上式得由上式得222mycyttmykytmyptS SS SSSS SS SSS SSS122222311, 1,c
14、tmktmptmyS SSS SSS SSctSmktmptmy22pppppppppd ydymck ypdtdtP PL La a()()pppppppppppMP LaMPLaWW例例2 2：一悬臂梁结构，在梁端作用一集中荷载：一悬臂梁结构，在梁端作用一集中荷载 P，截面高截面高 h，宽，宽 b，求相似准数求相似准数。解：对于原型结构，在任意截面解：对于原型结构，在任意截面 a处处弯矩、正应力和挠度弯矩、正应力和挠度为：为：2(3)6pppppppP afLaE I()()mmmmmmmmmmmMP LaMPLaWW2(3)6mmmmmmmP afLaE I模型方程模型方程,mmmmmE
15、pMfpppppEPMfSSSSSEPMf22()()(3)6mmmmmmmMPllpfmmmmElpmmmmmSS SS SSS S SMP LaPLaWP afLaESI将以上各式代入将以上各式代入原型系统方程原型系统方程，则相似系统的则相似系统的结构相似常数结构相似常数为为34,mmllmmmmlwIpppppplahbSSSlahWISSIbW将上式并与将上式并与模型系统模型系统相比较，得相似准数如下相比较，得相似准数如下2111MPllpfElpSS SS SSS S SS1223MPLLPfELP2mmpMplmlpmpmElpmfpMMMSS SSSSfS SffSS由相似条件得
16、到由相似条件得到原型受力原型受力分布分布323(2)24()2()2q xyLLxxEIq xMLxq xLxW例例3：受均布载荷：受均布载荷 q 作用的简支梁在截面作用的简支梁在截面 x 处处的的挠度、弯矩和正应力挠度、弯矩和正应力如下，求相似准数。如下，求相似准数。解：原型系统解：原型系统方程方程323(2)24()2()2pppppppppppppppppppq xyLL xxE Iq xMLxq xLxW相似系统的对应相似系统的对应各物理量的相似常数各物理量的相似常数为：为：43,mmmmmyMqlpppppmmmmlEIlWlppppyMqxSSSSSyMqxLEIWSSSSSSLE
17、IW模型系统模型系统方程方程323(2)24()2()2mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmq xyLL xxE Iq xMLxq xLxW将将模型系统各物理量模型系统各物理量代入上式代入上式43234223(2)24()2()2qlElqlqllppypppppppppMPPPppppppS S q xS yLL xxS S E IS S q xS MLxS S q xSLxSW43,mypmMpmpmpmlpqmlpmEpmlpmlpyS yMS MSqS qxS xLS LES EIS IWS W模型系统模型系统各物理量为各物理量为1223EyqMq llq整理得整理得2111Eyq
18、MlqlqS SSSS SS SS3223(2)24()2()2EqqlqyMlpppppppppppPPPppppppS SSSS Sq xyLL xxE Iq xMLxq xS SSLxW则相似条件为则相似条件为2.4.1.基本概念量纲：物理量的种类量纲表示：麦克斯韦尔符号，比如L,M,T，表示长度，质量和时间的量纲。2.4 2.4 量纲分析法量纲分析法量纲只区分物理量得种类，而不区分同一物理量得量纲只区分物理量得种类，而不区分同一物理量得不同量度单位，如：不同量度单位，如：5m5m，500cm500cm。同名物理量具有相同的量纲。同名物理量具有相同的量纲。质量系统：长度质量系统：长度LL
19、、时间、时间TT、质量、质量MM绝对绝对系统：长度系统：长度LL、时间、时间TT、力、力FF无量纲量：无量纲量：物理量无量纲，用物理量无量纲，用11表示。表示。基本量纲基本量纲: :具有独立性的量纲，任何一个量纲不具有独立性的量纲，任何一个量纲不可能由其他量纲组成。可能由其他量纲组成。导出量纲导出量纲: :所研究物理过程中全部有关物理量都可所研究物理过程中全部有关物理量都可由这组基本量纲表示，任何物理量由这组基本量纲表示，任何物理量B B的量纲可写成的量纲可写成B=FB=F L L T T 速度速度= =长度长度/ /时间时间 V=LTV=LT-1-1 力力= =质量质量加速度加速度= =质量
20、质量长度长度/ /时间时间 F=MLTF=MLT-2-2 常用物理量的量纲2.4.2.2.4.2.第二相似定理（第二相似定理（ 定理）定理）物理方程量纲均匀性：物理方程量纲均匀性：物理方程是反映客观物理现象物理方程是反映客观物理现象规律的各物理量的关系式，方程中各项的量纲必须相规律的各物理量的关系式，方程中各项的量纲必须相相等，并应使用同一度量单位。只有相同的量纲才能相等，并应使用同一度量单位。只有相同的量纲才能相加减，并用算术符号连接起来。相加减，并用算术符号连接起来。（量纲和谐原理）（量纲和谐原理）物理方程量纲的齐次性：物理方程量纲的齐次性：当量度单位发生改变时，方当量度单位发生改变时，方
21、程的结构形式不变的性质称为物理方程量纲的其次那程的结构形式不变的性质称为物理方程量纲的其次那性。性。u 量纲的均匀性，齐次性量纲的均匀性，齐次性若在一个物理方程中共有若在一个物理方程中共有n个物理参数个物理参数x1, x2, , xn和和k个基本量纲个基本量纲，则可组成，则可组成(n-k)个独立的个独立的无量纲组合无量纲组合。无。无量纲参数组合简称量纲参数组合简称“ 数数”，则此方程可改写为，则此方程可改写为(n-k)个个数的方程，即：数的方程，即：0),(21nxxxf12(,.,)0n kF 把表示把表示物理过程的方程物理过程的方程转换成由转换成由相似准数表示的方程。相似准数表示的方程。u
22、 第二相似定理第二相似定理 假设一物理现象的关系方程为：假设一物理现象的关系方程为：f(x1,x2,xn)=0, ,式中式中x1, x2, xn为为n个物理量个物理量，其中，其中k个为个为基本量纲基本量纲，(n-k)个为个为导出量纲。导出量纲。k个基本量纲个基本量纲为：为：100112.kxx xx00112.kkxx xx010212.kxx xx11111212.nknknkkknkxxxxxxxxn-k 个导出量的量纲个导出量的量纲可用基本量纲表示：可用基本量纲表示：若把物理量若把物理量 x1, x2, xk 的度量单位各缩小的度量单位各缩小1/a1, 1/a2, , 1/ak，并取，并
23、取 a1, a2, ak 为任意数值，则在新的单位系为任意数值，则在新的单位系统中各物理量的数值变为：统中各物理量的数值变为： 11111121 1211n kn kn kkkkkknknkxa xxa xxxa aaaxaax将它们代入到物理方程中，则有：将它们代入到物理方程中，则有：0).,.,.,.,(11111211212211nkkkkkxaaaxaaaxaxaxafkn111112.kkxx xx为减少自变量数目，取为减少自变量数目，取 a1=1/x1, a2=1/x2, , ak=1/xk12(,1,1,.,1.,)0n kf 111112112.n kn kn kknn kkk
24、x xxxxxxx这样这样基本量基本量量纲之比、数值之比都等于量纲之比、数值之比都等于1；导出量导出量数数值之比为值之比为1，量纲之比等于无量纲数，量纲之比等于无量纲数 i 。12( , ,.,) 0n kF 12(1 ,1 ,.,1 , , ,.,) 0n kf 可写成可写成如果表示物理现象的方程中，包含如果表示物理现象的方程中，包含 n 个物理量，其中个物理量，其中k个具有或包含独立量纲，于是个具有或包含独立量纲，于是 k 个可选为基本量，经过个可选为基本量，经过变换，该物理现象可由变换，该物理现象可由 n-k 个物理量综合数群关系式来个物理量综合数群关系式来表示，这就是表示，这就是 定理
25、定理，又称，又称第二相似定理第二相似定理。例例4 4：单自由度系统有阻尼受迫振动导出相似准数：单自由度系统有阻尼受迫振动导出相似准数 ( , , , , , )0f m y t c k p 解解1 1：设现象中各物理量的关系方程如下：设现象中各物理量的关系方程如下：1111cm y t取取m，y，t为量纲独立的物理量，有：为量纲独立的物理量，有：2222kmy t3333pm y t各物理量的量纲：各物理量的量纲： Mm 2 MLTp 2 MTk 1 MTc Tt Ly 由无量纲量由无量纲量 1、2 、3 得得比较可得比较可得 111222333122MTMLTMTMLTMLTMLT 1112
26、223331,0,11,0,21,1,2 22123,ctktptmmmy所以所以由于由于 数对于相似的物理现象具有不变数对于相似的物理现象具有不变的形式，故模的形式，故模型设计时需模型物理量与原型物理量满足下式，即：型设计时需模型物理量与原型物理量满足下式，即：2222,p pm mmpp pm mmpp pm mmmppc tc tmmk tk tmmp tp tm ym y将各物理量的相似常数代入上式，即得将各物理量的相似常数代入上式，即得相似条件相似条件221, 11,ctmktmptmyS SSS SSS SS S解解2 2：设现象中各物理量的关系方程如下：设现象中各物理量的关系方程
27、如下：( , , , , , )0f m y t c k p 物理量个数物理量个数 n=6, 用用绝对系统绝对系统，基本量纲基本量纲3个个，则，则 函函数为：数为：123(,)0 所有物理量组成无量纲所有物理量组成无量纲形式的形式的 数数的一般形式为：的一般形式为：356124aaaaaam c ky tp1211 , , , , mFL TcFL TkFLyLtTpF查表得物理量的量纲查表得物理量的量纲代入上式得代入上式得35612412111 aaaaaaFL TFL TFLLTF根据根据量纲和谐量纲和谐要求，对量纲要求，对量纲 F、L、T 有有123123412560200aaaaaaa
28、aaaa假若确定假若确定a1 , a4, a5, ,则：则：2153145642aaaaaaaaa 故无量纲故无量纲 数可写为：数可写为：15141455415422aaaaaaaaaaaamkkytkcpcm cky tp，可得三个独立可得三个独立 数：数：451511445,0,00,00,0,111aaaaaaaaa分别取22123,ctktptmmmy与方法与方法1 1结果比较：结果比较：根据根据第一相似定理第一相似定理，故模型设计时需模型物理量与，故模型设计时需模型物理量与原型物理量满足下式，即：原型物理量满足下式，即：22,ppmmmpppmmmpp pm mmpm km kcck
29、 yk yppk tk tcc将各物理量的相似常数代入上式，即得将各物理量的相似常数代入上式，即得相似条件相似条件2, 1,11mkcmypktcS SSS SSS SS例例5 5：对受集中载荷的简支梁导出相似准数：对受集中载荷的简支梁导出相似准数 ( , , ,)0PlfMW解解：受竖向荷载作用的梁的正截面应力：受竖向荷载作用的梁的正截面应力 是梁的跨径是梁的跨径 l，截面抗弯模量，截面抗弯模量 W，梁上作用荷载，梁上作用荷载 P 和弯矩和弯矩 M 的函的函数，这些物理量的之间关系可写成一般形式：数，这些物理量的之间关系可写成一般形式：物理量个数物理量个数 n=5, 基本量纲基本量纲 k=2
30、个个，则，则 函数为：函数为：123(,)0 所有物理量组成无量纲所有物理量组成无量纲形式的形式的 数数的一般形式为：的一般形式为：abc deP M l W23 , , FLMFLWLlLpF查表得各物理量的量纲查表得各物理量的量纲则则量纲矩阵量纲矩阵 根据根据量纲和谐要求，量纲和谐要求，对量纲对量纲 L、F 有有2300acdeabc确定确定a、b、d，则，则1133cabeabd a b c d e P M l W L -2 0 1 1 3 -2 0 1 1 3 F 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 故无量纲故无量纲 数可写为：数可写为：11331313abdababbdadWPP
31、 Ml WWlMMW 可得三个独立可得三个独立 数：数：1312313,WPWlMMW1,0,00,1,00,0,1abdabdabd分别取图示为栏河水坝在动力作用下，考虑结图示为栏河水坝在动力作用下，考虑结构的自重及弹性力、惯性力、动水压力构的自重及弹性力、惯性力、动水压力影响后，结构的应力、振幅、影响后，结构的应力、振幅、频率频率、加、加速度、速度、几何尺寸几何尺寸、材料密度材料密度、液体密度、液体密度、重力加速度、材料弹性模量、泊松比的重力加速度、材料弹性模量、泊松比的关系应满足：关系应满足：例例6 6：分析如图示的动力模型实验的相似准数：分析如图示的动力模型实验的相似准数 0),(Eg
32、Lafuf解：解：取取 , f, L 为量纲独立的物理量，则十个物理量为量纲独立的物理量，则十个物理量的量纲为：的量纲为：122332112 , , , , , , 1 , ML TuLaLTMLgfTMLTEMLTLLL，7776665554443332221117654321,fLfLEfLgfLfLafLufL解得解得1112223334445556667771,2,2;0,1,0;0,1,2;1,0,0;0,1,2;1,2,2;0,0,0由第二相似定理，可以有：由第二相似定理，可以有：7226254232221,fLELfgLfaLufL由此建立量纲式，并求解可得：由此建立量纲式，并求
33、解可得：量纲分析法小结：对于无法找出物理关系的现象，量纲分析法是导出相似准数的唯一方法。必须对现象有着深入研究和正确地选择，才能确定与现象有关的必要而不多余的物理量。对基本量的选择不是唯一的，不同的选择将导致不同的相似准数。 动力学问题必须选三个（例4），静力学问题选两个（例5）。2.4.3 2.4.3 模型设计：模型设计：1.1.先确定先确定几何相似常数几何相似常数 S Sl。2.2.再确定再确定模型材料模型材料，由此确定，由此确定 S SE。3.3.在推导在推导其他物理量的相似常数其他物理量的相似常数。E32E2A4I1/11lllqMlplxllSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS
34、SSS应力应变 线荷载面荷载力矩集中荷载质量密度线位移面积角位移S惯性距泊松比4.4.由模型试验结果根据相似理论推导由模型试验结果根据相似理论推导得到得到原型结果原型结果。2.4.4.第三相似定理（相似逆定理） 现象的单值条件相似，且由单值条件导出来的相似准数的数值相等，则现象相似。相似的必要相似的必要充分条件。充分条件。条件条件1 1条件条件2 2当当考虑一个新现象考虑一个新现象时，只要它的单值条件与曾经时，只要它的单值条件与曾经研究过的现象单值条件相似，并且存在相等的相研究过的现象单值条件相似，并且存在相等的相似准数，就可以肯定他们的现象相似。从而可以似准数，就可以肯定他们的现象相似。从而可以将已将已研究过的现象结果用到新现象研究过的现象结果用到新现象上去，由此可上去，由此可用到多于两个现象的新现象用到多于两个现象的新现象中。中。 第一相似定理目的确定相似条件，将方程分析法与量纲分析法统一起来先解相似准数，然后求相似条件。 第二相似定理解决没有确定物理方程描述的物理现象相似准数求解的方法。 第三相似定理推广应用到与模型现象相似的一切现象中去。三个相似定理的作用：三个相似定理的作用：
