1、使用教材：使用教材：数学物理方法，梁昆淼编数学物理方法，梁昆淼编 数学物理方法是物理类及其它相关理工类极为重要的数学物理方法是物理类及其它相关理工类极为重要的基础课，数学物理方法是连接数学与物理学的桥梁是通基础课，数学物理方法是连接数学与物理学的桥梁是通往科学研究和工程计算的必经之路因为它教导我们怎样往科学研究和工程计算的必经之路因为它教导我们怎样将一个自然现象转化为一个数学方程它非常充分地体现将一个自然现象转化为一个数学方程它非常充分地体现了科学的精髓，即：定量化因而数学物理方法在科学中了科学的精髓，即：定量化因而数学物理方法在科学中的地位尤为突出的地位尤为突出1 把微积分延伸到复域。使微分
2、和积分获得新的把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的深度和意义。深度和意义。2第一章第一章 复变函数复变函数1.2 1.2 复变函数复变函数1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数1.4 1.4 解析函数解析函数1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算1.5 1.5 多值函数多值函数3式中式中x、y为实数，称为为实数，称为复数的实部与虚部复数的实部与虚部（一）（一） 复数的基本复数的基本概念概念yixz1irz几何表示：几何表示：1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算复数：复数：)Re(zx )Im(zy 复平面复平面r),(yxAxyyixz)/(xyarctg22yx 为复
3、数的模为复数的模为复数的辐角为复数的辐角cosxsiny1、 复数表示复数表示4由于辐角的周期性，由于辐角的周期性，辐角有无穷多辐角有无穷多cosxsiny)/(xyarctgArgzkArgz2)2, 1, 0(k2arg0z为辐角的主值，为主为辐角的主值，为主辐角，记为辐角，记为zargr),(yxAxyArgzxyrArgzArgzrxyyrxArgz5iz31例：求例：求的的Argz与与argz解：解：z位于第二象限位于第二象限xyarctgz arg)3( arctg32kzArgz2arg322 k复数的三角表示：复数的三角表示：sincosiz复数的指数表示：复数的指数表示：)s
4、in(cosizieike2iie 1ikei) 2/32(应用：应用：), 1, 0(k1ike) 2/2(6（二）（二） 无限远点无限远点共轭复数：共轭复数：*)sin(cosiz)sin(cosiieNSzARiemann球面球面复复球面球面零点零点无限远点无限远点)(21cosiiee)(21siniieei7)/()(arg2121xxyyarctgz)(221121iyxiyxzz（三）复数的运算（三）复数的运算1、复数的加减法、复数的加减法iyyxx)()(2121xy2z2x2y1z1x1y21xx 21zz 21yy 21zz 221221)()(yyxx有三角有三角关系：关
5、系：2121zzzz2121zzzz8)(221121iyxiyxzz2、复数的乘法、复数的乘法)()(12212121yxyxiyyxx212121iieezz)(2121ie)sin()cos(212121i2121zzzz2121argarg)arg(zzzz9iyxiyxzz2211213、复数的除法、复数的除法2121iiee)()(22222211iyxiyxiyxiyx2222211222222121yxyxyxiyxyyxx或指数式：或指数式：iyxiyxzz221121)(212121iezz)sin()cos(212121i104、复数的乘方与方根、复数的乘方与方根)sin
6、(cosninn乘方乘方ninez)(inne故：故：ninsincosni)sin(cos方根方根nineznine/1nkine/)2(/1故故k取不同值，取不同值， 取不同值取不同值nz)3,2,1 ,0(k11nkinnez/ )2(/ 1ninnezk/10ninnezk/ )2(/11ninnezk/ )4(/12)/2(/1ninneznknine/112222*yxzzz注意：注意：)(2yixyixzzzxyiyx2221）、）、2）、）、zzzRe)(21*zzziIm)(21*3）、）、)(21)(21*2*1*21zzzz13例：讨论式子例：讨论式子 在复平面上的意义在
7、复平面上的意义2)/1Re(z解：解：2)/1Re(zyixzyixz1122yxyix22)/1Re(yxxz2222xyx222)41()41(yx为为圆上各点圆上各点14例：计算例：计算解：解：令令ibaWibaz)sin(cosiz2/1)sin(cosizibaW)22sin()22cos(2/1kikz)2sin()2cos(2/11izW)22sin()22cos(2/12izW22baz22sinbab22cosbaa2cos12sin15例：计算例：计算ncos3cos2coscos解：解：nsin3sin2sinsin令令nacos3cos2coscosnbsin3sin2
8、sinsin)sin3sin2sin(sincos3cos2coscosninibaW)sin(cos)2sin2(cos)sin(cosniniiiniiieeee3216iniiieeeeW32)1(32niiiieeeWeiniieeWWe )1(1)1(iinieeeW)()(2/2/2/2/)2/1(2/iiiiniieeeeee17)()(2/2/2/2/)2/1(2/iiiiniieeeeeeW) 2/sin(2) 2/sin() 2/cos() 2/ 1sin() 2/ 1cos(iininbianacos3cos2coscos) 2/sin(2) 2/sin() 2/ 1si
9、n(nnbsin3sin2sinsin181.2 1.2 复变函数复变函数（一）、复变函数的定义（一）、复变函数的定义Ezyxivyxuzfw),(),()(iyxz对于复变集合对于复变集合E E中的每一复数中的每一复数有一个或多有一个或多个复数值个复数值w称为的称为的z复变函数复变函数z称为称为w的的宗量宗量22)(vuzfwuvarctgzf)(arg19（二）、区域概念（二）、区域概念0zz由由确定的平面点集，称为定点确定的平面点集，称为定点z0的的 邻域邻域（1 1）、邻域）、邻域（2 2）、内点）、内点定点定点z0的的 邻域全含于点集邻域全含于点集E内，称内，称z0为点集为点集E的内
10、点的内点（3 3）、外点）、外点定点定点z0及其及其 邻域不含于点集邻域不含于点集E内，称内，称z0为点集为点集E的外点的外点（4 4）、镜界点）、镜界点定点定点z0的的 邻域既有含邻域既有含于于E内，又有不含于内，又有不含于E内内的点，称的点，称z0为点集为点集E的的镜镜界点。界点。0z内点内点镜界点镜界点外点外点200z内点内点镜界点镜界点外点外点（5 5）、区域）、区域A）全由内点组成）全由内点组成B）具连通性：点集中任）具连通性：点集中任何两点都可以用一条折线何两点都可以用一条折线连接，且折线上的点属于连接，且折线上的点属于该点集该点集。（6 6）、闭区域）、闭区域区域连同它的边界称为
11、闭区域，如区域连同它的边界称为闭区域，如1z表示以原点为圆心半径为表示以原点为圆心半径为1 1的闭区域的闭区域（7 7）、单连通与复连通区域）、单连通与复连通区域单连通区域：区域内任意闭单连通区域：区域内任意闭曲线，其内点都属于该区域曲线，其内点都属于该区域21（三）、复变函数例（三）、复变函数例后面补充详细介绍后面补充详细介绍22（四）、极限与连续性（四）、极限与连续性设设w=f(z)在在z0点的某邻域有定义点的某邻域有定义对于对于 00，存在，存在 0,0,使使0zz有有 Azf)(称称z - z0时时A为为极限极限，记为，记为Azfzz)(lim0注意：注意：z在全平面，在全平面，z -
12、 z0须以任意方式须以任意方式1 1、函数的极限、函数的极限23关于极限的计算，有下面两个定理关于极限的计算，有下面两个定理定理一定理一设：设：f(z)=u(x,y)+iv(x,y) ,A=u0+iv0 , z0=x0+iy0那么那么Azfzz)(lim0的充要条件是：的充要条件是：0),(lim00uyxuyyxx0),(lim00vyxvyyxx证：证： 必要性必要性如果如果Azfzz)(lim0那么根据极限的定义，就有：那么根据极限的定义，就有：)()(00iyxiyx当当)()(00ivuivu即当即当2020)()(yyxx时时24也就是当也就是当0 xx0yy0uu0vv这就是说：
13、这就是说：0),(lim00uyxuyyxx0),(lim00vyxvyyxx充分性充分性如果上面两式成立，那么当如果上面两式成立，那么当2)()(2020yyxx| )()( |)(00vviuuAzf| )( |00vvuu2所以当所以当0zzAzfzz)(lim025定理二定理二如果如果Azfzz)(lim0Bzgzz)(lim0那么：那么：BAzgzfzz)()(lim0BAzgzfzz)()(lim0）（BBAzgzfzz)()(lim0262 2、函数的连续性、函数的连续性定义：定义： 如果如果)()(lim00zfzfzz 那么我们称那么我们称f(z)在在z0处连续，如果处连续，
14、如果f(z)在区域在区域B内处内处处连续，我们就说处连续，我们就说f(z)在在B内连续。内连续。 根据这个定义和上述定理一，容易证明下面的定理根据这个定义和上述定理一，容易证明下面的定理定理三：定理三： 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z=x0+iy0处连续的充要处连续的充要条件是条件是u(x,y)和和v(x,y)在在(x0,y0)处连续。处连续。 例如：例如：)()ln()(2222yxiyxzf 在复平面内除原点外处处连续。在复平面内除原点外处处连续。27定理四：定理四：1 1）在）在z z0 0连续的两个函数连续的两个函数f(z)与与g(z)的和、差、积、商的和、差、积
15、、商（分母在（分母在z0不为零）在不为零）在z0处仍连续。处仍连续。2 2）如果函数）如果函数h= =g(z)在在z z0 0连续连续, ,函数函数w= =f(h)在在h0=g(z0)连连续，那么复合函数续，那么复合函数w=f(g(z)在在z0处连续。处连续。 函数函数f(z)在曲线在曲线C上上z0点处连续的意义是指：点处连续的意义是指：)()(lim00zfzfzzCz 在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数函数f(z)，在曲线上是有界的，即存在一正数，在曲在曲线上是有界的，即存在一正数，在曲线上恒有线上恒有Mzf)(281.3 1.3 导数
16、导数w=f(z)是是在在z点及其邻域定义的单值函数点及其邻域定义的单值函数zzfzzfzzfzz)()(lim)(lim00在在z点存在，并与点存在，并与 z - 0的方式无关，则的方式无关，则dzdfzzfzzfzfz)()(lim)( 029下面讨论复变函数可下面讨论复变函数可导的必要条件导的必要条件yvyuiyixviuzfyx00lim)( ),(),()(yxivyxuzfyiviuyx00limxvixuyixviuzfyx00lim)( xviuxy00lim比较两式有比较两式有yvxuxvyu称为科西称为科西-黎曼条黎曼条件（件（C.R.C.R.条件）条件）C.R.C.R.条件
17、不是条件不是可导可导的充分条件的充分条件30例：例：证明证明 在在z=0处满足处满足C.R.条件，但在条件，但在z=0处不可导处不可导 证：证：0)0 , 0()0 ,(lim00 xuxuxuzzxyzf)(xyu 0v00zyu00zyv00zxv满足满足C.R.条件条件在在z=0处处但在但在z=0处，若处，若 一定，一定，00iezizezfsincoslim0随随 而变，故而变，故在在z=0处不可导处不可导31下面讨论下面讨论f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z 点可导的充分条件点可导的充分条件证明：证明：1）u,v在在z处满足处满足C.R.条件条件 2）u,v在在z处有连续的
18、一阶偏微商处有连续的一阶偏微商因为因为u,v在在z处有连续的一阶偏微商，所以处有连续的一阶偏微商，所以u,v 的的微分存在微分存在dyyudxxududyyvdxxvdvidvdudf)()(dyyvdxxvidyyudxxudyyviyudxxvixu)()(由由C.R.条件条件 dyxuiyudxyuixu)()(32此式此式 z无论以什么无论以什么趋于零都存在，趋于零都存在，idvdudfC.R.方程的极坐标表示：方程的极坐标表示：dyxuiyudxyuixu)()()(idydxyuixuyuixudzdf故故f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z 点可导点可导当考虑当考虑 z沿
19、沿径向和沿径向和沿恒向趋于零时，有恒向趋于零时，有vu1vu133例：试推导极坐标下的例：试推导极坐标下的C.R.方程：方程：方法一：方法一：vu1vu1当分别考虑当分别考虑 z沿沿径向径向和沿恒向趋于零时，和沿恒向趋于零时，iez ),(),()(ivuzf沿沿径向趋于零径向趋于零ieivuivudzdf),(),(),(),(lim0),(),(),(),(lim0iievvieuu34),(),(),(),(lim0iievvieuudzdfieviu1)(沿沿恒向趋于零恒向趋于零),(),(),(),(lim0iieivvieiuudzdfieuiv1)1(vu1vu135方法二：方法
20、二： 从直角坐标关系出发从直角坐标关系出发sincosyxyyuxxuusincosyuxuyyvxxvvsincosyvxvsincosxvyvsincosxuyu36sincosxvyvusincosxuyuv同理同理)cossin(yuxuu)sincos(xvyvvvu1vu137)(2) 1(lim1210nnnzzzznnnz1nnz例：例：证明证明f(z)=zn在在复平面上每点均可导复平面上每点均可导证：证：zzzznnz)(lim038例：例：证明证明f(z)=z*在在复平面上均不可导复平面上均不可导证：证：zzzzz*0)(limzzz*0limzzyx*00lim1lim0
21、0yyyxzzyx*00lim1lim00 xxyx39求导法则求导法则dzdwdzdwwwdzd2121)(dzdwwdzdwwwwdzd122121)()(21wwdzddzdwdwwdFwFdzd)()(222121wwwww40例：证明例：证明f(z)=ex(cosy+isiny)在复平面上解析在复平面上解析 ，且且f(z)=f(z)。1.4 1.4 解析函数解析函数若若w=f(z)是是在在z0点及其邻域上处处可导，称点及其邻域上处处可导，称f(z)在在z0解析解析若若w=f(z)是是在在区域区域 B上任意点可导，称上任意点可导，称f(z)在在区域区域 B 解析解析证：证：yevyeu
22、xxsin,cosyexuxcosyeyuxsinyexvxsinyeyvxcosyieyezfxxsincos)( )(zf满足满足C.R.条件条件且一阶偏导连续且一阶偏导连续 41一些初等函数的定义及计算一些初等函数的定义及计算 1、指数函数指数函数 在复平面定义一个函数，满足下列在复平面定义一个函数，满足下列3 3个条件个条件: :i） f(z)在复平面内处处解析；在复平面内处处解析； 我们已经证明我们已经证明f(z)=ex(cosy+isiny)在复平面上解析在复平面上解析，f(z)=f(z)，且且当当Im(z)=0时，时， f(z)=ex。 故定义该函数为指数函数，记作：故定义该函数
23、为指数函数，记作：ii） f(z)=f(z)iii）当当Im(z)=0时，时， f(z)=ex,其中其中x=Re(z)sin(cosexpyiyezx等价于：等价于：xez |exp|kyzArg2)(exp42与与ex一样，一样，expz服从加法定理服从加法定理证：证：)exp(expexp2121zzzz)sin(cos)sin(cosexpexp22112121yiyeyiyezzxx)sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121yyyyiyyyyexx)sin()cos(cos212121yyiyyexx)exp(21zz 用用ez代替代替expz，但没有
24、幂的意义，仅仅是符号，因此：，但没有幂的意义，仅仅是符号，因此：)sin(cosyiyeexz特别：当特别：当x=0，有：，有：yiyeiysincos此函数的周期为此函数的周期为2i，因：，因：zizizeeee22432、对数函数：对数函数：我们把满足方程我们把满足方程: ew=z 的函数的函数 w=f(z) 称为对数函数称为对数函数ivuw令令：则则：iez iivuee所以所以：lnuv因此因此：iArgzzw|ln为多值函数，记：为多值函数，记：iArgzzLnz|lnArgz取主值取主值argz，则：，则：zizzarg|lnln其它各支为：其它各支为：,.)2, 1( ,2lnk
25、kizLnz当当z=x0时，主值时，主值lnz=lnx即为实变函数即为实变函数44例例：求：求Ln2, Ln(-1)Ln2, Ln(-1)以及与它们相应的主值以及与它们相应的主值L Ln2=ln2+n2=ln2+i i2 2k k, k=0, k=0、1 1、2 2，主值为主值为ln2ln2kiiLn21ln) 1() 12(ki主值为主值为ln(-1)=iln(-1)=i不难证明：不难证明：,2121LnzLnzzLnz2121LnzLnzzzLn例例：kiiArgLn24|4|ln22,.)21, 0( ,222kkiLn又又：222222LnLnLnLn)22arg|2|(ln2mii,
26、.)21, 0( ,42ln2mmi45解析性：解析性：就主值而言，由反函数的求导法则，可知：就主值而言，由反函数的求导法则，可知：zdwdedzzdw11ln463、幂函数：幂函数：定义定义：sLnzsez 1）当）当s为整数时：为整数时：)2(arg|lnkzizssLnzseezksizizse2)arg|(lnksizizsee2)arg|(lnsLnze为单值函数，否则为多值函数。为单值函数，否则为多值函数。 2）当）当s=p/q时时, (p和和q为互质的整数，且为互质的整数，且q0)，则具，则具有有q个值，个值，k可取可取0,1,2,（q-1）zzz.3）当）当s=1/n时：时：n
27、Lnznnzez1147解析性解析性：)()(lnznnez)ln(lnzneznzneznlnznzn1nzn同理可得同理可得：1111)(nnznz例例：求：求21ii和和的值的值1221Lne22kie)22sin()22cos(kikiLniiei )22(kiiie)22(ke,.)2, 1(k,.)2, 1(k484、三角、三角函数和双曲函数：函数和双曲函数：yiyeiysincosyiyeiysincos由此可得：由此可得：2cosiyiyeeyieeyiyiy2sin推广到复数，定义：推广到复数，定义：2cosizizeezieeziziz2sin为周期函数，周期为为周期函数，
28、周期为2：2)2cos()2()2(zizieez222iziizieeee2izizeezcos同理：同理：zzsin)2sin(容易推出：容易推出：zzcos)cos(zzsin)sin(49解析性：解析性：)2()(cosizizeez2izizieieieeiziz2zsin同理：同理：zzcos)(sin还可得：还可得：zizeizsincos 许多实数三角函数的公式在复数领域也成立，例：许多实数三角函数的公式在复数领域也成立，例：212121sinsincoscos)cos(zzzzzz212121sincoscossin)sin(zzzzzz1cossin22zz由此得：由此得：
29、iyxiyxiyxzsinsincoscos)cos(cosiyxiyxiyxzsincoscossin)sin(sin50由定义，当由定义，当z=iy时：时：2cosyyeeiychyieeiyyy2sin2yyeeiishyxshyixchyiyxzsincos)cos(cosxshyixchyiyxzcossin)sin(sin其它三角函数的定义如下：其它三角函数的定义如下：zztgzcossinzzctgzsincoszzcos1sec zzsin1csc 双曲函数的定义如下：双曲函数的定义如下：2zzeechz2zzeeshz为周期函数为周期函数,周期为周期为2i, chz为偶函数，
30、为偶函数，shz为奇函数为奇函数shzchz )(chzshz )(515、反三角、反三角函数：函数：设：设：wzcos那么称那么称w为为z的反余弦函数，记作的反余弦函数，记作：zArcwcos由：由：)(21cosiwiweewz得得eiw的二次方程的二次方程：0122iwiwzee它的根为它的根为：12zzeiw两端取对数，得两端取对数，得：)1(cos2zziLnzArc由于由于：12zz与与12zz互为倒数，故互为倒数，故)1(cos2zziLnzArc为多值函数为多值函数另另：)1(sin2ziziLnzArcizizLnArctgz112152例例1：求：求|sin|sinz z|
31、 |的值的值cos)(sin)(21xeeixeeyyyy212222cos)(sin)(21|sin|xeexeezyyyy21222222cos)2(sin)2(21xeexeeyyyy)cos(sin2)(212222xxeeyyxshyixchyiyxzcossin)sin(sin2cos2sinyyyyeexieex解：解：532sin)(21xeeyy0cos)(21xeeyy0cos xkx224yyee例例2：求方程：求方程 sinz=2解：解：2cos)(sin)(21sinxeeixeezyyyy544yyee0142yyee)32ln( y0142yyee或或)32ln(
32、 yiyxzkx22)32ln(22ik55解析函数的性质：解析函数的性质： 1、若函数、若函数f(z)=u+iv在区域在区域B上解析，则：上解析，则： u(x,y)=C1 v(x,y)=C2 ( C1, C2为常数为常数)是是B上两组正交曲线簇。上两组正交曲线簇。证：证：曲线曲线 u(x,y)=C1 v(x,y)=C2 的斜率分别为：的斜率分别为：yxuuk1yxvvk2由柯西由柯西-黎曼方程得：黎曼方程得：)/()/(21yxyxvvuukk)/()/(yyyyvuuv1故正交故正交56 2、后面可证在某区域上的解析函数、后面可证在某区域上的解析函数 ，在该区域上在该区域上有任意阶导数。有
33、任意阶导数。由由C.R.条件条件yvxuxvyu前一式对前一式对x 求导，后式对求导，后式对y 求导，相加求导，相加02222yuxu同理同理02222yvxv0)(2222uyx0)(2222vyxu(x,y)和和v(x,y)都满足二维都满足二维 Laplace 方程方程又特别称为又特别称为共轭调和函数共轭调和函数57令：令：kzjyix称为梯度称为梯度(gradient)矢量矢量二维二维)()(kzjyixkzjyix222222zyx222222yx三维三维kzfjyfixffLaplace 方程表示为：方程表示为：2222223zyx02 u02 v58例例1：研究函数：研究函数f(z
34、)=|z|2的解析性的解析性解：解：zzzzzzfzzfzz20200000|lim)()(limzzzzzzzz*)*)(lim00000)*(lim000zzzzzz当当z0=0时，这个极时，这个极限是零。限是零。当当z00时，令时，令z0+z沿直线沿直线y-y0=k(x-x0)趋于趋于z0yixyixzz *xyixyi11ikik11由于由于k的任意性，此式趋于一个的任意性，此式趋于一个不确定的数，故极限不存在。不确定的数，故极限不存在。因此，因此， f(z)=|z|2在在z=0处可导，处可导，而在其它点都不可导，故处处不而在其它点都不可导，故处处不解析。解析。59例例2：如果：如果w
35、=u(x,y)+iv(x,y)为为解析函数，那么它一定解析函数，那么它一定能单独用能单独用z来表示。来表示。证：证： 如果把如果把*)(21zzx*)(21zziy带入带入),(),(yxivyxuw那么那么w可看作是可看作是z和和z*的函数，只要证明的函数，只要证明0*zw)*()*(*zyyvzxxvizyyuzxxuzw)2121()2121(yvixviyuixu)(21)(21yuxviyvxu060若给定一个二元调和函数，可利用若给定一个二元调和函数，可利用C.R.条件，求另一条件，求另一共轭调和函数，方法如下：共轭调和函数，方法如下：C.R.条件条件yvxuxvyu上式为全微分，
36、因为上式为全微分，因为dyyvdxxvdv设已知设已知 u(x,y)， 求求v(x,y)dyxudxyudv2222)(xuyuyuy)(xux61方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法二、凑全微分显式法方法二、凑全微分显式法方法三、不定积分法方法三、不定积分法例：已知解析函数实部例：已知解析函数实部 u(x,y)=x2-y2,求求 v(x,y)解：解：故故u为调和函数为调和函数222yu222xu62u(x,y)=x2-y2xxu2yxv2dyyvdxxvdv方法一、曲线积分法方法一、曲线积分法yyu2xyv2xdyydx22)0 ,(x
37、),(yxxy),()0 , 0()22(yxxdyydxv63Cxy 2)0 ,(x),(yxxyCxdyydxvyx),()0 , 0()22(Cxdyydxxdyydxyxxx),()0 ,()0 ,()0 , 0()22()22(64方法二、凑全微分显式法方法二、凑全微分显式法Cxyv 2xdyydxdv22)2(yxdCxyv 2)2()(22CxyiyxzfiCz 2u(x,y)=x2-y265方法三、不定积分法方法三、不定积分法例例2：已知解析函数：已知解析函数f(z)的虚部的虚部22),(yxxyxv求实部求实部u(x,y)和这个解析函数和这个解析函数改用极坐标改用极坐标)co
38、s1 (cosv2sin22sin21v2cos2v按照柯西按照柯西-黎曼方程黎曼方程2cos21u2sin2u)(2cos21fdu)(2cos2f)( 2sin2fu得：得：0)( fCf)(66Cu2cos2Cyxx222sin22cos2)(iCzfCi)2sin2(cos2Cz 267例例3：已知解析函数：已知解析函数f(z)实部实部 求求 v(x,y)解：解：化为极坐标求解化为极坐标求解uv10)(,)(22222fyxyxu),(),()(ivuzf42222sincosu2)2cos(3)2sin(2uv2)2cos(2dvdvdv68dddv23)2cos(2)2sin(2)
39、2sin(2dCv2)2sin(),(),()(ivuzf2)2cos(uiCizf)2sin()2cos(1)(2iCezfi221)(iCz210)(f0C21)(zzf691.5 1.5 平面标量场平面标量场 在物理及工程中常常要研究各种各样的场，如电在物理及工程中常常要研究各种各样的场，如电磁场、声场等，这些场均依赖于时间和空间变量。磁场、声场等，这些场均依赖于时间和空间变量。若场与时间无关，则称为恒定场，如静电场、流体若场与时间无关，则称为恒定场，如静电场、流体中的定常流速等。若所研究的场在空间的某方向上中的定常流速等。若所研究的场在空间的某方向上是均匀的，从而只需要研究垂直于该方向
40、的平面上是均匀的，从而只需要研究垂直于该方向的平面上的场，这样的场称为平面场。的场，这样的场称为平面场。 考虑平面静电场，在没有电荷的区域，静电场的考虑平面静电场，在没有电荷的区域，静电场的电势满足二维拉普拉斯方程，这样，电场所处区域电势满足二维拉普拉斯方程，这样，电场所处区域上的某一解析函数上的某一解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 的实部或虚部的实部或虚部就可以被用来表示该区域上静电场的电势，我们把就可以被用来表示该区域上静电场的电势，我们把这一解析函数叫作该平面静电场的复势。这一解析函数叫作该平面静电场的复势。70设设 u(x,y)是电势是电势等势线簇等势线簇曲线簇曲线簇v(
41、x,y)=常数常数 垂直垂直与与等势线簇等势线簇u(x,y)=常数常数 v(x,y)=常数常数v(x,y)=常数常数 ，是电场线簇，是电场线簇由解析函数的性质由解析函数的性质任取两点任取两点A（x1,y1）、）、B(x2,y2)，作任一曲线联，作任一曲线联接接A和和B，BAndsEN穿过曲线穿过曲线AB的电通量为：的电通量为：71uEjiyuxujinyxnn如右图所示，曲线如右图所示，曲线AB的切线的的切线的方向余弦分别为方向余弦分别为dsdxcosdsdycosdsdynxcos)cos(dsdxnycosyxnnyunxuEnEdsdxyudsdyxudsdxxvdsdyyvBAndsE
42、NdxxvdyyvBA所以：所以：),(),(1122yxvyxv72 上述结果说明上述结果说明 v(x,y)的值本身就具有意义，两点的值本身就具有意义，两点的值之差就是两点之间穿过的电通量，故的值之差就是两点之间穿过的电通量，故v(x,y)称为称为通量函数。通量函数。 由此可见，只要给出复势，就不仅给出了电势由此可见，只要给出复势，就不仅给出了电势分布，而且还直接给出电场线簇的方向、电通量密分布，而且还直接给出电场线簇的方向、电通量密度并从而给出电荷密度。度并从而给出电荷密度。 平面温度场。平面温度场。u(x,y)温度分布函数温度分布函数等温线簇等温线簇v(x,y)热流量函数热流量函数热流线
43、簇热流线簇 A、B两点的值之差正比于两点之间穿过的热流量。两点的值之差正比于两点之间穿过的热流量。73例：已知平面静电场的电场线为抛物线簇例：已知平面静电场的电场线为抛物线簇 y2=c2+2cx求等势线。求等势线。解：解： 从电场线方程解出参数从电场线方程解出参数c cyxx2222),(yxxyxv则：则： 只能说：只能说： )()(22yxxttFv根据根据v(x,y)是调和函是调和函数来确定函数数来确定函数F(t) yttFyvxttFxv)( )( 求出：求出： 2222yvxv、带入拉普拉斯方程，得：带入拉普拉斯方程，得： ttFtF21)( )( 74解此方程，得：解此方程，得： ttFtF21)( )( 21)(CtCtF所以：所以： 21)(CtCtFv2221CyxxC由前面例由前面例2的结果就求出：的结果就求出： 212cos2CCu2221CyxxC从而等势线方程为：从而等势线方程为： 常数2221CyxxC变换后即得：变换后即得： cxcy22275
