1、课时训练(十三)二次函数的简单综合(限时:50分钟)|夯实基础|1.如图K13-1,抛物线y=ax2+bx-53经过点A(1,0)和点B(5,0),与y轴交于点C.图K13-1(1)如图,求此抛物线的解析式.(2)如图,求ABC的面积.(3)抛物线上是否存在点D,使SABD=2SABC?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.(4)如图,以点A为圆心,作与直线BC相切的A,求A的面积.图K13-1(5)如图,在直线BC上方的抛物线上任取一点P,连接PB,PC,请问:PBC的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值和此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.图K13-1(6)如图,在抛物线上
2、是否存在点S,使得SBC与ABC的面积相等?若存在,求出点S的坐标.图K13-12.2019贺州 如图K13-2,在平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(-1,0),且OA=OC=4OB,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象经过A,B,C三点.图K13-2(1)求A,C两点的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点,作PDAC于点D,当PD的值最大时,求此时点P的坐标及PD的最大值.3.2019泰安 若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3,0),B(0,-2),且过点C(2,-2).图K13-3(1)求二次函数表达式.(2)如图K
3、13-3,若点P为抛物线上第一象限内的点,且SPBA=4,求点P的坐标.(3)如图,在抛物线上(AB下方)是否存在点M,使ABO=ABM?若存在,求出点M到y轴的距离;若不存在,请说明理由.【参考答案】1.解:(1)将A(1,0),B(5,0)的坐标代入y=ax2+bx-53,得0=a+b-53,0=25a+5b-53,解得a=-13,b=2.y=-13x2+2x-53.(2)令x=0,得y=-53,点C的坐标为0,-53.SABC=12ABOC=12453=103.(3)存在,设点D的坐标为(a,b).SABD=2SABC,且ABC与ABD是同底的两个三角形,b=253=103.当b=103
4、时,-13a2+2a-53=103,此方程无解;当b=-103时,-13a2+2a-53=-103,解得a=314.点D的坐标为3+14,-103或3-14,-103.(4)当x=0时,y=-53,点C的坐标为0,-53,过点A作AQBC于Q,则AQ为A的半径,BC=OC2+OB2=5310.AQB=BOC=90,ABQ=CBO,ABQCBO.AQOC=ABBC.AQ53=45310,解得AQ=2510,即A的半径为2510.A的面积为85.(5)如图,过点P作PEy轴,交直线BC于点E.设直线BC的解析式为y=kx+b(k0).易得5k+b=0,b=-53,解得k=13,b=-53.y=13
5、x-53.设点P的坐标为m,-13m2+2m-53,则点E的坐标为m,13m-53.PE=-13m2+2m-53-13m-53=-13m2+53m.SPBC=12PEOB=12-13m2+53m5=-56m2+256m=-56m-522+12524.-560,当m=52时,PBC的面积有最大值,最大面积为12524,此时点P的坐标为52,54.(6)由于SBC与ABC面积相等,且SBC与ABC同底BC,只要等高,则面积相等,可过点A作BC的平行线与抛物线相交,交点即为符合条件的一个点.已得直线BC的解析式为y=13x-53,则可设直线SA的解析式为y=13x+n.代入点A的坐标(1,0),得n
6、=-13.由-13x2+2x-53=13x-13,解得x1=1,x2=4.可得一个点S的坐标为(4,1).将直线BC向下平移43个单位得到y=13x-3.由-13x2+2x-53=13x-3,解得x1=5+412,x2=5-412.共有3个符合条件的点S,其坐标分别为S1(4,1),S25+412,41-136,S35-412,-41-136.2.解:(1)OA=OC=4OB=4,故点A,C的坐标分别为(4,0),(0,-4).(2)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4),代入点C(0,-4),得-4a=-4,解得:a=1,故抛物线的解析式为:y=x2-3x-4.
7、(3)直线CA过点C,设其函数解析式为:y=kx-4,将点A的坐标代入上式解得:k=1,故直线CA的解析式为:y=x-4.过点P作y轴的平行线交AC于点H,如图,OA=OC=4,OAC=OCA=45.PHy轴,PHD=OCA=45.设点P(x,x2-3x-4),则点H(x,x-4),PD=HPsinPHD=22(x-4-x2+3x+4)=-22x2+22x.-220,PD有最大值,当x=-b2a=2时,其最大值为22,此时点P(2,-6).3.解:(1)抛物线y=ax2+bx+c过点(0,-2),c=-2.又抛物线过点(3,0),(2,-2),9a+3b-2=0,4a+2b-2=-2,解得a=
8、23,b=-43,二次函数的表达式为y=23x2-43x-2.(2)连接PO,设点Pm,23m2-43m-2.则SPAB=SPOA+SAOB-SPOB=12323m2-43m-2+1232-122m=m2-3m.由题意得:m2-3m=4,m=4或m=-1(舍去),23m2-43m-2=103.点P的坐标为4,103.(3)设直线AB的表达式为y=kx+n,直线AB过点A(3,0),B(0,-2),3k+n=0,n=-2,解得:k=23,n=-2,直线AB的表达式为:y=23x-2,假设存在点M满足题意,点M的坐标为t,23t2-43t-2.过点M作MEy轴,垂足为E,作MDy轴交AB于点D,则D的坐标为t,23t-2,MD=-23t2+2t,BE=-23t2+43t.MDy轴,ABO=MDB,又ABO=ABM,MDB=ABM,MD=MB,MB=-23t2+2t.在RtBEM中,t2+-23t2+43t2=-23t2+2t2,解得:t=118(t=0不合题意,舍去).故存在满足题意的点M,点M到y轴的距离为118.8
