1、第44讲 巧求圆锥曲线中的最值和范围问题【高考地位】最值问题是高考的热点，而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点，不仅会在选择题或填空题中进行考察，在综合题中也往往将其设计为试题考查的核心.方法一 圆锥曲线的定义转化法万能模板内 容使用场景圆锥曲线中的最值和范围问题解题模板第一步 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等；第二步 利用两点间线段最短，或垂线段最短，或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件，进而求出最值.例1.已知点是双曲线的左焦点，定点是双曲线右支上动点，则的最小值为 . 【变式演练1】抛物线上一点到直线的距离与到点的距离之差的最大值为（
2、）A. B. C. D.方法二 切线法万能模板内 容使用场景当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值时解题模板第一步 设出与这条直线平行的圆锥曲线的切线，第二步 切线方程与曲线方程联立，消元得到一个一元二次方程，且，求出 的值，即可求出切线方程；第三步 两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点.例2.求椭圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.【变式演练2】如图，设椭圆的左右焦点为，上顶点为，点关于对称，且（1）求椭圆的离心率；（2）已知是过三点的圆上的点，若的面积为，求点到直线距离的最大值方法三 参数法万能模板内 容使用场景圆锥曲线中的
3、最值和范围问题解题模板第一步 根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标；第二步 将目标函数表示成关于参数的函数；第三步 把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值的方法.例3.在平面直角坐标系中，是椭圆上动点，则的最大值是_.【变式演练3】设，求的最大值和最小值，并求取得最值时的值.方法四 基本不等式法万能模板内 容使用场景圆锥曲线中的最值和范围问题解题模板第一步 将所求最值的量用变量表示出来，第二步 用基本不等式求这个表达式的最值，并且使用基本不等式求出最值.例4. 【江苏省南通市如皋中学2020届高三（创新班）下学期6月高考模拟】已知是椭圆上一动点，则的最大值为_.【变式演练
4、4】（2020山西大同高三月考（理）已知P为椭圆上任意一点，是椭圆的两个焦点.则的最小值为_.【变式演练5】已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.()求的方程；（）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.方法五 函数法万能模板内 容使用场景圆锥曲线中的最值和范围问题解题模板第一步 把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数；第二步 通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.例5. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点.（1）若，求直线的斜率；（2）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值.【变式演练6】【湖
5、南省五市十校2020-2021学年高三上学期第二次大联考】已知椭圆的右焦点为，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为的菱形.（1）求椭圆的标准方程；（2）设，为坐标原点，、是椭圆上两点，且的中点在线段（不含端点、）上，求面积的取值范围.【高考再现】1（2021全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）A13B12C9D62（2021全国高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）A点到直线的距离小于B点到直线的距离大于C当最小时，D当最大时，3（2021北京高考真题）已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为
6、k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|15，求k的取值范围4（2021浙江高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与AB两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.5（2021全国高考真题（理）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为（1）求；（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值6.【2020年高考全国卷文数9】设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面
7、积为8，则的焦距的最小值为（ ）A4B8C16D327【2020年高考江苏卷14】在平面直角坐标系中，已知，是圆：上的两个动点，满足，则面积的最大值是_8. 【2020年高考江苏卷18】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，直线与椭圆相交于另一点（1）求的周长；（2）在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；（3）设点在椭圆上，记与的面积分别为，若，求点的坐标9【2020年高考浙江卷21】如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）（）若，求抛物线的焦点坐标；（）若存在不过原点的
8、直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值【反馈练习】1【湖南省长郡中学、湖南师大附中、长沙市一中联合体2020-2021学年高三上学期12月联考】已知分别为椭圆：的左右顶点，为椭圆上一动点，与直线交于，两点，与的外接圆的周长分别为，则的最小值为（ ）ABCD2【安徽省名校学术联盟2020届高三下学期押题卷】如图，已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（ ）ABCD3【四川省泸县第四中学2020-2021学年高三上学期开学考试】已知，为圆上的动点，过点作与垂直的直线交直线于点，若点的横坐标
9、为，则的取值范围是（ ）ABCD4（多选）【湖北省十一校考试联盟2020-2021学年高三上学期12月联考】已知是椭圆的右焦点，为左焦点，为椭圆上的动点，且椭圆上至少有21个不同的点，组成公差为的等差数列，则（ ）A的面积最大时，B的最大值为8C的值可以为D椭圆上存在点，使5（2021四川省资阳中学高三月考）已知，是椭圆的左右焦点，是上在第一象限内一点，关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，则的最大值为（ ）AB5CD46（2021长沙市湖南师大第二附属中学有限公司高三开学考试）为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是ABCD7（2021江苏盐城高三）设双曲线的焦距为2，若以点为
10、圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（ ）ABCD8（2021湖北汉阳一中高三）设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的取值范围为（ ）ABCD9（2021浙江高三）设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于、两点，过、分别作、的垂线交于点.若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）ABCD10（2021河南高三开学考试（文）已知过的直线与抛物线交于，两点，为弦的中点，为坐标原点，直线与抛物线的另一个交点为，则两点、纵坐标的比值范围是（ ）ABCD11(多选)（2021沙坪
11、坝重庆八中高三月考）已知抛物线与圆的公共点为A，B，点P为圆C的劣弧上不同于A，B的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线l交抛物线E于点N，则下列四个命题中正确的是（ ）AB点P纵坐标的取值范围是C点N到圆心C距离的最小值为1D若l不经过原点，则周长的取值范围是12【四川省绵阳市绵阳南山中学2020-2021学年高三上学期11月月考】已知为抛物线：的焦点，过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，过与中点的直线与曲线交于点，则的取值范围是_.13（2021宾县第一中学（文）以，为焦点作椭圆，椭圆上一点到，的距离之和为 ，求的最大值_14（2021河南高三月考（理）在平面直角坐标系中，椭圆，双曲线，分别
12、为，上的动点，且，则的最小值为_15（2021山东德州高三）已知，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的取值范围是_16【山西省2021届高三上学期八校联考】已知椭圆经过点，且两个焦点为，（1）求C的方程；（2）设圆，若直线l与椭圆C，圆D都相切，切点分别为A和B，求的最大值17【江西省名校2021届高三上学期第二次联考】已知椭圆的离心率为，且过点，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）圆的一条切线与椭圆相交于、两点，求：的值；的取值范围.18【湖南师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分
13、别为，离心率为，过的直线与椭圆C交于P，Q两点，若的周长为8.（1）求椭圆C的方程；（2）动直线交椭圆于，两点，交轴于点点是关于的对称点，的半径为设为的中点，与分别相切于点，求的最小值.19【贵州省贵阳市第一中学2021届高考适应性月考卷（三）】已知椭圆椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，且MNF2的周长为8，椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程（2）设点A为椭圆上任意一点，直线AF2(斜率存在)与椭圆C交于另一点B.是否存在点P(0，m)，使?若存在，求出m的取值范围：若不存在，请说明理由20【2020届山西省太原市高三下学期模拟测试 （三）】已知椭圆的焦距为2，且
14、过点.（1）求椭圆的方程；（2）已知是椭圆的内接三角形，若坐标原点为的重心，求点到直线距离的最小值.21（2021河西天津市新华中学高三月考）已知、分别是椭圆的左、右顶点，且，点是椭圆上位于轴上方的动点，点与点关于轴对称，且线段的长度最大为2，直线，与轴分别交于，两点（1）求椭圆的标准方程；（2）求线段的长度的最小值22（2021武冈市第二中学高三）已知椭圆，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限（1）若，证明：直线和的斜率之积为定值；（2）若，求四边形的面积的最大值23（2021陕西西安中学高三月考（理）已知抛物线的焦点为，若过点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，满足.（1）求抛物线的方程；（2）过点且斜率为1的直线被抛物线截得的弦为，若点在以为直径的圆内，求的取值范围.24（2021广东深圳高三月考）已知抛物线，点是的焦点，为坐标原点，过点的直线与相交于两点.（1）求向量与的数量积；（2）设，若，求在轴上截距的取值范围. 10 / 10
