1、华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳上节课内容 in1n2n3xzdO k1 i i1012132ncos2ik tm波导的模方程：波导的模方程： 传播常数传播常数 ： =n1k0sin i有效折射率有效折射率neff: neff= /k0= n1sin i导波存在条件导波存在条件： k2 k1 n2 neff n112为上下两个波导界面的全反射相移为上下两个波导界面的全反射相移131华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳第二章第二章 平面介质光波导平面介质光波导 平面介质光波导概述 平板光波导的分析方法 射线光学法 波动方程法 条形光
2、波导的分析方法 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法 2华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳麦克斯韦方程麦克斯韦方程 从麦克斯韦方程，建立光波在介质波导中的电磁从麦克斯韦方程，建立光波在介质波导中的电磁场分布方程（波动方程），结合边界条件导出传场分布方程（波动方程），结合边界条件导出传播模式的特征方程，进而讨论介质波导中光传播播模式的特征方程，进而讨论介质波导中光传播的特性。的特性。0EHiHEi 时谐电磁场的麦克斯韦方程组时谐电磁场的麦克斯韦方程组 3华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳波动方程波动方程 将矢量各分量展开，得： 000
3、EEHEEHEEHyzxxzyyxziyzizxixyHHEHHEHHEyzxxzyyxziyzizxixy 并且考虑到并且考虑到y方向是均匀方向是均匀的，即的，即0y 设波沿着设波沿着z方向传播，则沿方向传播，则沿z方向场的变化可用一个方向场的变化可用一个传输因子传输因子exp(iz)来表示来表示 00yxyzzxyEHEiHxHi HiEx 0yxyzzxyHEHiExEi EiHxTE模模(横电模横电模)TM模模(横磁模横磁模) z x t=2a A C 入射波阵面 二次反射波阵面 一次反射波阵面 n3 n2 n1 4华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳波动
4、方程（波动方程（TE模）模） 00yxyzzxyEHEiHxHi HiEx 2222020yyEk nEx22220320yyEk nEx22220120yyEk nEx22220220yyEk nExxn1n3n2yz包层包层薄膜层薄膜层衬底衬底0k c001c 0n5华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳波动方程的解波动方程的解上式为波动方程，也叫做上式为波动方程，也叫做Helmholtz方程，他的通解可表示为：方程，他的通解可表示为：22220120yyEk nEx121121cossincosexpexpexpyTTTTTTEak xak xak xajk
5、xajk xaj k x其中其中 ，通常个成为横向波矢。，通常个成为横向波矢。a1, a2, 为待定系数。为待定系数。22201Tkk n6华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳波动方程的解（场分布）波动方程的解（场分布）33122exp() cladding( )cos() core exp() substrateyxExa xaExEk x axaExa xa 2222303k n2222202k n222201xkk n010302max(,)k nk n k n根据物理意义可以预见在导波层内是驻波解，可用根据物理意义可以预见在导波层内是驻波解，可用余弦函数余
6、弦函数表示，而表示，而在覆盖层、衬底层中是倏逝波，应是衰减解，用在覆盖层、衬底层中是倏逝波，应是衰减解，用指数函数指数函数表示。表示。 导模存在条件导模存在条件：kx、a3、a2均应为实数，故须满足均应为实数，故须满足 与射线法结果一致与射线法结果一致7华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳边界条件边界条件边界条件为：边界处切向Ey分量连续，切向分量Hz也连续，由 知 连续 0yzEiHxxEy(1) x= -a处，处，12cos()xEk aE1222sin()|exp()|xxxaxak Ek xExa122(sin()xxk Ek aE2tan()xxk ak
7、 z x t=2a A C 入射波阵面 二次反射波阵面 一次反射波阵面 n3 n2 n1 33122exp() ( )cos() exp() yxExa xaExEk x axaExa xa 8华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳边界条件边界条件(2) x=a处，处，13cos()xEk aE1333sin()|exp()|xxx ax ak Ek xExa 133(sin()xxk Ek aE3tan()xxk ak z x t=2a A C 入射波阵面 二次反射波阵面 一次反射波阵面 n3 n2 n1 33122exp() ( )cos() exp() yxE
8、xa xaExEk x axaExa xa 9华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳特征方程（本征值方程）3tan()xxk ak11322tan ()tan ()xxxk amkkTE模模关于关于 的函数的函数 z x t=2a A C 入射波阵面 二次反射波阵面 一次反射波阵面 n3 n2 n1 33122exp() ( )cos() exp() yxExa xaExEk x axaExa xa 2tan()xxk ak10华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳TE模的特征方程：与射线法得到结果的一致：1012132ncos2k tm
9、11322tan ()tan ()xxxk amkk特征方程（本征值方程）特征方程（本征值方程）关于关于 的函数的函数关于关于 的函数的函数TM模的特征方程：模的特征方程：2211311222322tan ()tan ()xxxnnk amn kn k11华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳1012132ncos2k tm11322tan ()tan ()xxxk amkk特征方程（本征值方程）特征方程（本征值方程） z x t=2a A C 入射波阵面 二次反射波阵面 一次反射波阵面 n3 n2 n1 k1 1/222211212221sin2tancosnnn
10、1/222211313221sin2tancosnnn2222303k n2222202k n222201xkk n1 1sinzn kk1 1cosxkn k传播常数传播常数横向波矢横向波矢12华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳特征方程特征方程在这里，我们求解对称波导的情况，n1=n211322tan ()tan ()xxxk amkk222201xkk n2222202k n222222012()()()xak ak ann(1)(2)考虑到：考虑到：2tan2xxmak ak a13华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳图解法求
11、解特征方程图解法求解特征方程024681012024681012pt kxa () a () m=0 m=2 m=1 模式的阶数：模式的阶数：mm越大，越大，kx越大，越大， 越越小。小。222222012()()()xak ak ann2tan2xxmak ak a in1n2n3xzdO k1 i i14华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳图解法求解特征方程图解法求解特征方程024681012024681012pt kxa () a () m=0 m=2 m=1 模式数量模式数量22220122()k annM222222012()()()xak ak ann
12、2tan2xxmak ak a向下取整向下取整15华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳图解法求解特征方程图解法求解特征方程024681012024681012pt kxa () a () m=0 m=2 m=1 0阶模总是存在阶模总是存在2222012()2k ann222222012()()()xak ak ann2tan2xxmak ak a1阶模存在条件阶模存在条件:2222012()k ann2阶模存在条件阶模存在条件:.16华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳图解法求解特征方程图解法求解特征方程024681012024681
13、012pt kxa () a () m=0 m=2 m=1 单模条件单模条件22()()2xak a2222012()2k ann222222012()()()xak ak ann2tan2xxmak ak a17华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳截止波长截止波长 对于对称平板波导，TE0和TM0的截止波长均为无限长2212222322122arctanTEcdnnnnmnn截止波长截止波长2212222231223122arctanTMcdnnnnnmnnn18华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳特征方程与色散曲线特征方程与色散曲
14、线 特征方程中有特征方程中有4个参数（个参数（n1,n2,a, ），改变任何一个结），改变任何一个结构参数都要对方程重新求解，不利于应用。为此作归一构参数都要对方程重新求解，不利于应用。为此作归一化处理。化处理。 传播常数范围：传播常数范围： 归一化传播常数：归一化传播常数： 波导参数波导参数V：1020nknk22022212/ knbnn10 b22012Vk ann2tan2xxmak ak a19华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳1arctan121bmVbb（m = 0,1,2,-）波导参数一旦确定，对应波导参数一旦确定，对应模的数量就确定；模的数量就
15、确定；m=0模的传播常数最大，模的传播常数最大，随着随着m的增大，传播常数的增大，传播常数减小；减小；特征方程表示的是特征方程表示的是TE波波（ S波），习惯用模的阶波），习惯用模的阶数作为偏振光的下标，如数作为偏振光的下标，如TE0模，如模，如TE1模等。模等。特征方程特征方程20华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳当给定当给定V值后，波导中可能存在的值后，波导中可能存在的导波模数量就确定了；导波模数量就确定了；b=0称为截止，从图中可见，称为截止，从图中可见，TE1模的截止模的截止V值等于值等于 /2，如果，如果V值小值小于于 /2，则只有一个模，称其为单，则
16、只有一个模，称其为单模区；模区；V值大于值大于TE1模的截止模的截止V值，称其值，称其为多模区；为多模区；TM波的导波参数波的导波参数V与与TE波稍有不波稍有不同，如果相对折射率同，如果相对折射率 不到不到1%，则同阶模的则同阶模的V值可认为相同。值可认为相同。21华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳色散曲线色散曲线2tan2xxmak ak a0nk c均匀空间平面波均匀空间平面波的色散曲线：的色散曲线：三层对称平板波三层对称平板波导色散曲线：导色散曲线：（一条直线）（一条直线）22华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳平板波导模式分
17、布平板波导模式分布33122exp() cladding( )cos() core exp() substrateyxExa xaExEk x axaExa xa 将特征方程的解，代入上式，并确定各个系数，求得Ey。而后根据右式，确定其余场分量。yzxzyxyEixHHiHixEHE0023华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳平板波导模式分布平板波导模式分布24华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳场在覆盖层和衬底中是按指数函数衰减的，衰减的快慢分别由衰减系数2和3确定。平板波导模式分布平板波导模式分布 2 2和和 3 3的值大，则场衰
18、减快，穿透深度的值大，则场衰减快，穿透深度1/ 2 2和和1/ 3 3就浅，就浅，说明场主要束缚在导波层中。反之，说明场主要束缚在导波层中。反之， 2 2和和 3 3的值小，则场的值小，则场衰减慢，穿透深度就深，说明波导束缚场的能力差。衰减慢，穿透深度就深，说明波导束缚场的能力差。 2 2和和 3 3的大小与覆盖层、衬底的折射率有关，同时还与模序数的大小与覆盖层、衬底的折射率有关，同时还与模序数m密切相关。由模式本征方程可以导出，密切相关。由模式本征方程可以导出，m越大，则越大，则越小，越小， 2 2和和 3 3也越小。这表明高阶模的电磁场可延伸到导波层外的距也越小。这表明高阶模的电磁场可延伸
19、到导波层外的距离较远。离较远。25华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳求传播常数的顺序求传播常数的顺序波导参数：波导参数：a,n1,n2V参数参数色散曲线色散曲线归一化传播常数归一化传播常数b传播常数传播常数 电场分布电场分布群速度群速度色散色散波长：波长： 26华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳导模和辐射模 iCladdingCore iSubstrateCladdingCoreSubstrate辐射模的特点：辐射模的特点：传播常数连续。传播常数连续。沿传播方向有损耗。沿传播方向有损耗。与导模一起组成一个与导模一起组成一个完备的正
20、交函数集。完备的正交函数集。导模的特点：导模的特点：传播常数取分立的值。传播常数取分立的值。理论上没有损耗。理论上没有损耗。各个导模正交。各个导模正交。27 当当s=m, 为为1，其余为，其余为0()( ),2msyxs mmEEdx, s m华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳转移矩阵方法280EHiHEi 麦克斯韦方程：麦克斯韦方程：2220EEE=E =H=Ei 22E=E 均匀介质波动方程：均匀介质波动方程：2202220 .xxEk n Exyz华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳 各区域内都满足波动方程：各区域内都满足波动
21、方程： 区域与区域的边界满足边界条件：区域与区域的边界满足边界条件： 所有各层介质中的所有各层介质中的z方向传播满足方向传播满足: E(x,y,z)=Et(x,y)*exp(i z)转移矩阵方法29模式的基本性质：模式的基本性质：2202220 xxEk n Exyzn1n2n3xzdO 电场电场E和磁场和磁场H的切向分量连续的切向分量连续华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳转移矩阵方法30n1n2n3xzdO 波动方程的解波动方程的解(TE)：220222222020 yyyyEk n ExyzEk nEx上式为一元二阶齐次微分方程，通解可写成：上式为一元二阶齐
22、次微分方程，通解可写成： 1122yExCxCx 1sinxxk x 2cosxxk x取特解：取特解：2220 xkk n 12sincosyxxExCk xCk x 12cossinyxxxxExC kk xC kk x华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳转移矩阵方法31n1n2n3xzdO 考虑考虑n1区域：区域： 12sincosyxxExCk xCk x 12cossinyxxxxExC kk xC kk x 20yEC 110yxEC k 1121sincosyxxEdCk dCk d 111211cossinyxxxxEdC kk dC kk d上式
23、可写成矩阵形式：上式可写成矩阵形式： 1111111cossin00sincosxxyyxyyxxxk dk dEdEkEdEkk dk d华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳转移矩阵方法32n1n2n3xzdO 100yyyyEdEMEdE11111111cossinsincosxxxxxxk dk dkMkk dk dM1是一个是一个2*2的矩阵，称为的矩阵，称为n1区域的转移矩阵，区域的转移矩阵，它描述了它描述了n1区域中在两个分界面处的场的关系。区域中在两个分界面处的场的关系。222101xkk n华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲
24、人：刘柳转移矩阵方法33nN+1xzd1OnNnN+2 考虑多层平板波导：考虑多层平板波导：n1dN-1dN 11100yyyyEdEMEdE21221yyyyEdEdMEdEd 1200.00yNyyNyNyyEdEEM MMMEdEE多层平板波导也可以用一个矩阵来表示最下面一多层平板波导也可以用一个矩阵来表示最下面一个界面的场与最上面一个界面的场的关系。个界面的场与最上面一个界面的场的关系。华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳转移矩阵方法34nN+1xzd1OnNnN+2 如何得到特征方程？如何得到特征方程？n1dN-1dN 00yNyyNyEdEMEdE12
25、()exp() cladding( ) (0)exp 0 substrateyNNNNyyNE dxd xdExEx x2222101NNk n2222202NNk n最上方和最下方两个区域的最上方和最下方两个区域的场可表示为：场可表示为：将上式代入转移矩阵方程将上式代入转移矩阵方程华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳转移矩阵方法35nN+1xzd1OnNnN+2 得到：得到：n1dN-1dN 12110yNyNNEdME两边同时乘以两边同时乘以11N12101NNM上式为多层平板波导特证方程，用于求解上式为多层平板波导特证方程，用于求解 。华南师范大学华南师范大
26、学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳特征模的展开特征模的展开 任意电场分布的光波入射如何转变成特征模？任意电场分布的光波入射如何转变成特征模？ 处理方法：将任意电场分布展开，分解成不同特征模的处理方法：将任意电场分布展开，分解成不同特征模的电磁场分布。电磁场分布。 数学上用正交函数展开，如傅立叶级数等，称之为特征模展开；数学上用正交函数展开，如傅立叶级数等，称之为特征模展开； 各导波模以相应阶数模的传播常数传播；各导波模以相应阶数模的传播常数传播； 随着光的传播，不同模之间的相位差将发生变化，导致导波模叠随着光的传播，不同模之间的相位差将发生变化，导致导波模叠加以后的电磁场分布也随着传
27、播过程而变化，光束像蛇一样反复加以后的电磁场分布也随着传播过程而变化，光束像蛇一样反复蠕动前进。蠕动前进。()( , )( )exp ()mmmmE x tA Exjtz华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳弯曲波导弯曲波导 弯曲波导-光路变换的重要单元华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳弯曲波导模场分布弯曲波导模场分布 y(m) x(m) -10-8-6-4-20246810-5-4-3-2-1012345wr =6m, R=10000m 弯曲波导的导模场分布偏向拐弯的外侧弯曲波导的导模场分布偏向拐弯的外侧华南师范大学华南师范大学 集
28、成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳弯曲波导弯曲波导一般来说，一般来说，弯曲损耗弯曲损耗 ：弯曲半径弯曲半径 。波长波长 。折射率差折射率差 。 角速度相同角速度相同 - 越往外的光场传播速度越快越往外的光场传播速度越快 有一部分光场有可能跟不上有一部分光场有可能跟不上-形成弯曲损耗。形成弯曲损耗。华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳几种折射率差的几种折射率差的SiO2波导波导波导类型波导类型低低 中中 高高超高超高折射率差折射率差()0.250.450.751.5芯层尺寸芯层尺寸m8 88 86 67 7 4 45 5传输损耗传输损耗(dB/cm)n2=n3=
29、n4=n5：b-v关系关系：马卡梯里法和等效折射率法，均为近似方法，只在特定情况下比较准确。马卡梯里法和等效折射率法，均为近似方法，只在特定情况下比较准确。华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳2.1 平面介质光波导平面介质光波导 2.1.1 平面介质光波导概述 2.1.2 平板光波导的分析方法 射线光学法 波动方程法 2.1.3 条形光波导的分析方法条形光波导的分析方法 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法数值方法57华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳数值解法数值解法 解析解比较困难，近似会存在比较大的误差；数值方法被应用到光波导模式
30、解中，他们可以应用于任何形式的波导结构和折射率分布。 线方法(the Method of Lines, MoL) 矩方法(the Method of Moments, MoM) 有限差分方法(the Finite Difference Method, FD) 边界元方法(the Boundary Element Method, BEM) 有限元方法(the Finite Element Method, FEM)58华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳有限差分方法有限差分方法22xxxyxxyxyyyyPPEEPPEEz 22220222222220222()1()
31、1()()1()1()xxxxxxyyxyyyyyyyyxxyxxn EEP En k Ex nxyn EEP Ex nyx yn EEP En k Ey nyxxn EEP Ey nxxy 由麦克斯韦尔方程得到由麦克斯韦尔方程得到全矢量波动方程（无近似）：全矢量波动方程（无近似）：折射率折射率n是位置是位置(x, y)的函数，因此不能消去。的函数，因此不能消去。59华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳有限差分方法有限差分方法 设光波沿着z方向传播，则沿z方向场的变化可用一个传输因子exp(-iz)来表示，即 对于FDM，考虑的是某个波导截面的场分布，从而有： 。
32、 进一步，如果两个分量之间的耦合很弱以致可以忽略(这对很多光波导器件来说都是满足的)，就可以考虑半矢量的情形，即忽略耦合项Pxy, Pyx, 可以得到：222(2)xxxyxxyxyyyyPPEEjPPEEzz 22222022()1xxxxn EEn k EEx nxy22222022()1yyyyEn En k EExy nyTETM220, 0zz60华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳有限差分方法有限差分方法 五点差分，可以将方程进行差分离散化： (i,j-1) (i,j) (i,j+1) (i+1,j) (i-1,j) xi-1/2 xi xi+1/2
33、xi+1 xi-1 xi-1/2 xi+1/2 xi yj+1 yj+1/2 yj yj-1 yj-1/2 yj yj+1/2 yj-1/2 EeEdEcEbEaEjijijijiji21, 1, 11,21jaey21,221,1/2,21ijiji jiji jnbnnxx221,1,22,0222221,1/2,1,1/2,22112ijiji jiji jiji jiji jiji jjnncn knnxxnnxxy 21,221,1/2,21ijiji jiji jndnnxx22222022()1xxxxn EEn k EEx nxy0(/ 2)(/ 2)( )limxf xxf
34、xxf xxx 微分变为差分：微分变为差分：61华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳有限差分方法有限差分方法62边界条件：数值计算所模拟的空间不能边界条件：数值计算所模拟的空间不能无限大！无限大！计算空间有限计算空间有限 必须对计算空间进行截断必须对计算空间进行截断 边界条件边界条件 SiO2:Ge SiO2 Si substrate Air 完纯导体边界完纯导体边界 边界处电场或磁场设为边界处电场或磁场设为0 任何达到该边界的电磁场将任何达到该边界的电磁场将被反射被反射 完美匹配层边界完美匹配层边界(PML) 任何达到该边界的电磁场将任何达到该边界的电磁场将被吸
35、收被吸收 用于模拟无限大的空间用于模拟无限大的空间计算空间的边界计算空间的边界EeEdEcEbEaEjijijijiji21, 1, 11,华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳SiO2波导的模场波导的模场63华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳InP波导的模场波导的模场64华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳硅纳米波导TM模场分布模场分布 TE模场分布模场分布65华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳LiNbO3波导TE模场分布模场分布TM模场分布模场分布 66华南师范大学华南师范大学 集成光学集成光学主讲人：刘柳主讲人：刘柳67
