1、第四章线性方程组第四章线性方程组引言引言实际中，存在大量的解线性方程组的问题。很多数值方法到最后实际中，存在大量的解线性方程组的问题。很多数值方法到最后也会涉及到线性方程组的求解问题：如样条插值的也会涉及到线性方程组的求解问题：如样条插值的M和和m关系式，关系式，曲线拟合的法方程，方程组的曲线拟合的法方程，方程组的Newton迭代等问题。迭代等问题。 复习：复习：对线性方程组：对线性方程组：nnnnnnnbxaxabxaxa1111111或者：或者：bAx 我们有我们有Cramer法则法则：当且仅当：当且仅当0)det(A有唯一解，而且解为有唯一解，而且解为：nnninninniiiiiaab
2、aaaabaaDADDDx11111111111det),det(,但但Gram法则在实际操作中不能用于计算方程组的解，法则在实际操作中不能用于计算方程组的解，如如n20的行列式，的行列式，108次乘法次乘法/秒的计算机要算一万四千多年！秒的计算机要算一万四千多年！解线性方程组的方法可以分为解线性方程组的方法可以分为2类：类：直接法直接法：准确，可靠，理论上得到的解是精确的：准确，可靠，理论上得到的解是精确的迭代法迭代法：速度快，但有误差：速度快，但有误差本章讲解直接法的理论基础！本章讲解直接法的理论基础！（第二节附录给出Jacobi迭代法）4.14.1齐次线性方程组齐次线性方程组解的充要条件
3、齐次线性方程组有非零一.构齐次线性方程组解的结二.求解齐次线性方程组的如何三.，即理，建立了有关的重要定线性方程组的方法阵的初等变换解，我们已经介绍了用矩在上一章中nARAxnTh)(0:2系数矩阵的秩有非零解元齐次线性方程组同解与，则若初等行变换00:1BxAxBATh解的充要条件齐次线性方程组有非零一.线性方程组的解相关性理论来讨论齐次下面我们用向量组线性设有齐次线性方程组nmnmmnnxxxxaaaaaaaaaA21212222111211,记) 1 (, 0, 0, 0221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa式可写成矩阵方程则) 1 (
4、)2(0Ax 2）（写成向量方程则3 0 )1 (2211xxxnn1n 构齐次线性方程组解的结二.的解，为定义：若0,. 11212111Axxxxnn的解向量，称为方程组则0121111Axxn2.2.性质性质1 1.00,2121的解向量也是则向量，的两个解为若AxxAxxx证证：满足方程只要验证021Axx )(21 A. 00021 AA3.3.性质性质2 2，为实数，的解向量为若kAxx01证证 )(1 kA.01的解向量也是则Axkx. 00)(1 kAk 的解空间称为构成了一个向量空间记作全体解向量组成的集合把可知由性质0,0,2 . 1AxSAx的一组基础解系。解空间的任一组
5、基称为定义：00. 4AxAx）解系齐次线性方程组的基础为该的解集的极大无关组称（即：齐次线性方程组.ttkkkx 2211叠加原理）的解组都是方程(0Ax的通解是方程组0Ax 的任何线性组合基础解系S0，可知，由性质另一方面21；线性表示的任一解都可由那么方程组00SAx ，：tS 210的一个基础解系如果解空间 StiRkkkkxAxitt1 ,|02211全体解为ttkkkx 2211定义：称5，设方程组rArxAnm)(, 0000000001001,1, 111bbbbrnrrrn个列向量线性无关的前不妨设rA的行最简形矩阵是 AB齐次线性方程组的求解三.BA初等行变换则)4(,11
6、, 11111nrnrrrrnrnrxbxbxxbxbx即有同解方程组，作为自由未知数把nrxx,1，并令它们依次等于rnccc,21的通解可得0Axnrrrxxxxxx211100010001, 121221111rnrrnrnrrbbcbbcbbc把上式记作rnrncccx2211，根据定义.的方法则给出一种求基础解系.,. 221线性无关rn.0,21的基础解系是方程组Axrn的解向量是0,. 121Axrn线性表示能由任一解向量rnx,. 321发现：rn 解空间维数为:还可得.0)(rnSAxnrARAnm维数的解空间线性方程组元齐次，则的秩矩阵设定理定理1 1；，没有基础解系只有零
7、解，方程组时当0)(AxnAR，时当nrAR)(个向量，基础解系含可知方程组由定理rnAx 01，解系并不是唯一的齐次线性方程组的基础.唯一的它的通解的形式也不是.构成它的基础解系个线性无关解向量都可任意rn注：注：例例1 1求齐次线性方程组求齐次线性方程组通解和基础解系通解和基础解系.034,0222,022432143214321xxxxxxxxxxxx解解:最简形矩阵最简形矩阵施行初等行变换变为行施行初等行变换变为行对系数矩阵对系数矩阵 A341122121221A463046301221000034210122100003421035201即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的
8、方程组 ,0342,0352432431xxxxxx13rr 122rr 212rr )3(2 r23rr 则得则得. ),(,342,35243432431可任意取值xxxxxxxx2413,cxcx令2413212211342352cxcxccxccx即为任意实数其中21, cc4321xxxxx通解212121342352cccccc103435012221cc基础解系012211034352有非零解，求其通解。已知0)1 (0)3(2042)1 (321321321xxxxxxxxx例例2 2，方程组有非零解当解01111324210) 3)(2(即时有非零解3 , 2 , 0时，当0
9、求其通解。代入原方程组得0032042321321321xxxxxxxxx111132421系数阵 000110201r方程组通解xxxx321112kRk时，当2求其通解。代入原方程组得002042321321321xxxxxxxxx系数阵 000310201r方程组通解xxxx321132kRk111112421时，当3求其通解。代入原方程组得0202042232131321xxxxxxxx211102422系数阵00025102101r方程组通解xxxx32112521kRk例例3 3.)()(0nBRARBAlnnm ，证明，证明设设证证，记记)(21lbbbB , )0,0,0(),
10、(21 lbbbA则则).,2,1(0liAbi 即即的解向量组个列向量都是齐次方程的表明0AxlB，的解集为记方程组SAx0，由Sbi),()(21lbbbRBR知有，有而由定理)()dim(1ARnS.)()(nBRAR 故故，)dim()(SSR. )()(4TARAARnmA 的实矩阵，证明是：设例，满满足足若若0 Axx；0)(T xAA，满满足足若若0)(T xAAx；0)()(T AxAx.0 Ax从从而而推推知知，同同解解与与综综上上可可知知方方程程组组0)(0T xAAAx，即即则则有有0)(T AxA，即即则则0)(TT xAAx. )()(1TARAARTh可知由证证)0
11、)(0(T同解即可与去证xAAAx补充例题：从中说明基础解系不唯一， 自由未知量取法自由！附附 录录补充例补充例求.04377, 02352, 0432143214321的基础解系与通解的基础解系与通解 xxxxxxxxxxxx解解，有，变为行最简形矩阵作初等行变换对系数矩阵 A 137723521111A 81014045701111122rr 137rr 232rr 000045701111)7(2 r21rr 0000747510737201便便得得(*).7475,7372432431 xxxxxx，及及令令 100143xx则对应有则对应有，及及 7473757221xx即即得得基基
12、础础解解系系， 0175721 ， 1074732 并由此写出通解并由此写出通解 4321xxxx,10747301757221 cc .,21Rcc ，式式写写出出通通解解解解法法是是从从上上一一章章中中线线性性方方程程组组的的(*)，式先取基础解系式先取基础解系现在从现在从 (*).再写出通解再写出通解，如果取，如果取式式根据根据 (*)，及及 111143xx对应得对应得,7171797521 及及xx即得不同的基础解系即得不同的基础解系， 1179751 ， 1171712 4321xxxx，是等价的是等价的，与与，显然显然2121 ，构，由于行最简形矩阵结上述解法中,11717111
13、797521 kk .,21Rkk 数数，样样，但但都都含含两两个个任任意意常常两两个个通通解解虽虽然然形形式式不不一一.一解一解且都可表示方程组的任且都可表示方程组的任.1总是选为非自由未知数x.1数数当然也可选为自由未知当然也可选为自由未知，对于解方程来说对于解方程来说x从而得通解从而得通解，为自由未知数为自由未知数如果要选如果要选1x：，容容易易化化出出两两个个单单如如本本例例第第四四列列数数值值较较简简0 137723521111A“标标准准程程序序”，矩矩阵阵为为行行最最简简形形矩矩阵阵的的那那么么就就不不能能采采用用化化系系数数，作初等变换作初等变换，对系数矩阵，对系数矩阵而要稍作
14、变化而要稍作变化A.)001(T，先先把把其其中中某某一一列列化化为为 026801341111122rr 13rr )1(1 r232rr 21rr ， 000001341025 ,25,34214213xxxxxx，为为自自由由未未知知数数，取取按按照照这这个个矩矩阵阵21,xx便可写出通解便可写出通解 可任意取值可任意取值21, xx.但但也也具具备备最最简简形形的的功功能能，是是行行最最简简形形矩矩阵阵上上式式最最后后一一个个矩矩阵阵虽虽不不 4321xxxx即即,2310540121 cc Rcc 21,而对应的基础解系为而对应的基础解系为.23105401 ，“科学的真正目的是发扬
15、人科学的真正目的是发扬人类精神的光荣类精神的光荣.” 雅可比雅可比“雅可比的演讲总是闪烁着雅可比的演讲总是闪烁着思想的火花，能点燃听众思想的火花，能点燃听众的热情；他的文章，无论的热情；他的文章，无论内容还是风格，同样在新内容还是风格，同样在新的一代数学家中唤起清晰的一代数学家中唤起清晰和持久的影响和持久的影响. ” 柯尼希贝格柯尼希贝格 1804-1851 生平简介生平简介 雅可比是德国数学家雅可比是德国数学家. 1804. 1804年年1212月月1010日生于波日生于波茨坦；茨坦；18511851年年2 2月月1818日卒于柏林日卒于柏林. . 雅可比自幼天资聪敏且勤奋好学，年仅雅可比自
16、幼天资聪敏且勤奋好学，年仅1212岁岁时就时就准备上大学，但年龄太小不符合大学规定的入学年龄，准备上大学，但年龄太小不符合大学规定的入学年龄，只好先入大学预科，只好先入大学预科，1616岁岁正式进入柏林大学正式进入柏林大学. . 在大学在大学期间，他自学了拉普拉斯、欧拉、拉格朗日等名家论期间，他自学了拉普拉斯、欧拉、拉格朗日等名家论著著. . 年仅年仅2121岁岁时就获得博士学位时就获得博士学位. 1826. 1826年到科尼斯堡年到科尼斯堡大学任教，大学任教，18271827年普升为副教授，年普升为副教授，18321832年普升为教授年普升为教授. . 2323岁岁被选为柏林科学院院士被选为
17、柏林科学院院士，2828岁岁当选为英国皇家学当选为英国皇家学会会员，他还是彼得堡科学院、维也纳科学院、马德会会员，他还是彼得堡科学院、维也纳科学院、马德里科学院、法国科学院的里科学院、法国科学院的名誉院士或通讯院士名誉院士或通讯院士. 1844. 1844年起在柏林大学任教年起在柏林大学任教. . 雅可比是雅可比是椭圆函数论椭圆函数论的开拓者之一的开拓者之一. . 他对这一他对这一课题的研究成为此后函数论发展所遵循的模式课题的研究成为此后函数论发展所遵循的模式. . 雅可比是继雅可比是继柯西柯西之后，在之后，在行列式理论行列式理论方面有最多方面有最多成果的数学家成果的数学家. . 他的他的关于
18、行列式的结构和性质关于行列式的结构和性质（18411841）对行列式做了奠基性的贡献）对行列式做了奠基性的贡献. “. “行列式行列式（determinantdeterminant）”这个词最终是由他认可的这个词最终是由他认可的. . 他自他自己也最先使用函数行列式这一概念，因而后世称之为己也最先使用函数行列式这一概念，因而后世称之为雅可比行列式雅可比行列式，它在隐函数定理和反函数定理以及广，它在隐函数定理和反函数定理以及广义泰勒展开等许多分析研究中都有重要作用义泰勒展开等许多分析研究中都有重要作用. . 他还给他还给出了出了函数行列式的乘积定理函数行列式的乘积定理，并提出了这些行列式在，并提
19、出了这些行列式在多重积分中的变量置换及解偏微分方程中的作用多重积分中的变量置换及解偏微分方程中的作用. . 对数学的主要贡献对数学的主要贡献 雅可比还是一位卓越的数学教育家雅可比还是一位卓越的数学教育家. . 他一他一生培养了大批的数学人才，鼓励他们独立研究生培养了大批的数学人才，鼓励他们独立研究问题，引导学生尽早进入有关课题的前沿问题，引导学生尽早进入有关课题的前沿. . 有有的学生片面认为在进行研究之前，对已有的成的学生片面认为在进行研究之前，对已有的成就都要掌握就都要掌握. . 为了消除这种想法，鼓励学生尽为了消除这种想法，鼓励学生尽早进行研究，雅可比作了一个风趣的比喻：早进行研究，雅可比作了一个风趣的比喻：“如果你认为，在和一个女子结婚之前，先要如果你认为，在和一个女子结婚之前，先要认识世界上所有未婚女子，那么你的父亲就一认识世界上所有未婚女子，那么你的父亲就一辈子不会结婚，你也就生不出来辈子不会结婚，你也就生不出来. . ” ” 趣闻轶事趣闻轶事
