1、第四节变量间的相关关系、统计案例第四节变量间的相关关系、统计案例1两个变量的线性相关两个变量的线性相关(1)在散点图中，点散布在从在散点图中，点散布在从_到到_的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关关(2)在散点图中，点散布在从在散点图中，点散布在从_到到_的区的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关域，两个变量的这种相关关系称为负相关( 3 ) 如 果 散 点 图 中 点 的 分 布 从 整 体 上 看 大 致 在如 果 散 点 图 中 点 的 分 布 从 整 体 上 看 大 致 在_，就称这两个变量之间具有线性相关关系，就
2、称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线这条直线叫做回归直线左下角左下角右上角右上角左上角左上角右下角右下角一条直线附近一条直线附近2回归方程回归方程(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的_和最小的方法叫最小二乘法和最小的方法叫最小二乘法距离的平方距离的平方4独立性检验独立性检验(1)利用随机变量利用随机变量_来判断来判断“两个分类变量两个分类变量_”的方法称为独立性检验的方法称为独立性检验K2有关系有关系(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表假设有两个分类变量表假设有两个分
3、类变量X和和Y，它们的可能取值分别为，它们的可能取值分别为x1，x2和和y1，y2，其样本频数列联表，其样本频数列联表(称为称为22列联表列联表)为为22列联表列联表y1y2总计总计x1ababx2cdcd总计总计acbdabcd构造一个随机变量构造一个随机变量K2_，其中，其中n_为样本容量为样本容量 abcd2残差分析中的相关指数残差分析中的相关指数R2对模型拟合效果的影响是对模型拟合效果的影响是怎样的？怎样的？【提示提示】R2越大，意味着残差平方和越小，即模型的越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好拟合效果越好R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效越小，残差平方和越大，即模型
4、的拟合效果越差在线性回归模型中，果越差在线性回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，变化的贡献率，R2越接近于越接近于1，表示回归的效果越好，表示回归的效果越好1(人教人教A版教材习题改编版教材习题改编)某商品销售量某商品销售量y(件件)与销售价与销售价格格x(元元/件件)负相关，则其回归方程可能是负相关，则其回归方程可能是()A.10 x200B.10 x200C.10 x200 D.10 x200【解析解析】由题意回归方程斜率应为负，故排除由题意回归方程斜率应为负，故排除B，D，又销售量应为正值，故，又销售量应为正值，故C不正确，故选不正确，故选A.【
5、答案答案】A2(2013枣庄模拟枣庄模拟)下面是下面是22列联表：列联表：y1y2合计合计x1a2173x2222547合计合计b46120则表中则表中a，b的值分别为的值分别为()A94，72 B52，50C52，74 D74，52【解析解析】a2173，a52.又又a22b，b74.【答案答案】C【答案答案】D4(2013锦州质检锦州质检)调查了某地若干户家庭的年收入调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元单位：万元)和年饮食支出和年饮食支出y(单位：万元单位：万元)，调查显示年，调查显示年收入收入x与年饮食支出与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据具有线性相关关系，并由调查数据得
6、到得到y对对x的回归直线方程：的回归直线方程：0.254x0.321.由回归直线由回归直线方程可知，家庭年收入每增加方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均万元，年饮食支出平均增加增加_万元万元【解析解析】由题意知由题意知0.254(x1)0.321(0.254x0.321)0.254.【答案答案】0.2545在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算人，经过计算K2的观测值的观测值k27.63，根据这一数据分析，我，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是们有理由认为打鼾与患心脏病是_的的(填有关或无填有关或无关关)【解
7、析解析】k27.636.635，有有99%的把握认为的把握认为“打鼾与患心脏病有关打鼾与患心脏病有关”【答案答案】有关有关(1)将上述数据制成散点图；将上述数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据： 施化肥量施化肥量15202530354045水稻产量水稻产量320 330 360 410 460470 480【思路点拨思路点拨】分析观测数据、制图，
8、分析散点图，做分析观测数据、制图，分析散点图，做出判断出判断【尝试解答尝试解答】(1)散点图如下：散点图如下：(2)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系稻产量近似成线性相关关系不会，水稻产量只是在一定不会，水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长范围内随着化肥施用量的增加而增长 1利用散点图判断两个变量是
9、否有相关关系是比较利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较直观简便的方法如果所有的样本点都落在某一函数的曲直观简便的方法如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系如果所有的样本点都落线附近，变量之间就有相关关系如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系2在散点图中，若点散布在从左下角到右上角的区在散点图中，若点散布在从左下角到右上角的区域，称为正相关；若散布在从左上角到右下角的区域称为域，称为正相关；若散布在从左上角到右下角的区域称为负相关负相关(2013九江调研九江调研)变量变量X与与Y相对应的一组数据为相对应的
10、一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量；变量U与与V相相对应的一组数据为对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)r1表示变量表示变量Y与与X之间的线性相关系数，之间的线性相关系数，r2表示表示变量变量V与与U之间的线性相关系数，则之间的线性相关系数，则()Ar2r10B0r2r1Cr20r1 Dr2r1【解析解析】对于变量对于变量Y与与X，Y随着随着X的增大而增大，的增大而增大，Y与与X正相关，即正相关，即r10.对于变量对于变量V与与U而言，而言，V随随U的增大而减小，的增大而减
11、小，故故V与与U负相关，即负相关，即r20，因此因此r20r1.【答案答案】C (2013合肥模拟合肥模拟)某地最近十年粮食需求量逐年上某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：升，下表是部分统计数据：年份年份20042006200820102012需求量需求量(万吨万吨)236246257276286【思路点拨思路点拨】(1)为了方便计算，可将数据适当处理，为了方便计算，可将数据适当处理，再列对应表格，求回归系数；再列对应表格，求回归系数；(2)根据回归方程进行预测分根据回归方程进行预测分析析【尝试解答尝试解答】(1)由所给数据看出，年需求量与年份之由所给数据看出，年需求量与年份之
12、间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，为此对数据预间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，为此对数据预处理如下：处理如下：年份年份200842024需求量需求量257211101929(2)利用直线方程，可预测利用直线方程，可预测2014年的粮食需求量为年的粮食需求量为65(2 0142 008)260.26.56260.2299.2(万吨万吨)300(万吨万吨) 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月的关系，下表记录了小李某月1号到号到5号每天打篮球时间号每天打篮球时间x(单单位：小时位：小时)与当天投篮命
13、中率与当天投篮命中率y之间的关系：之间的关系：时间时间x12345命中率命中率y0.40.50.60.60.4(1)试求小李这试求小李这5天的平均投篮命中率；天的平均投篮命中率；(2)请你用线性回归分析的方法，预测小李该月请你用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打号打6小小时篮球的投篮命中率时篮球的投篮命中率 (2012辽宁高考改编辽宁高考改编)电视传媒公司为了解某地区电电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众名观众进行调查，其中女性有进行调查，其中女性有55名下面是根据调查结果绘制的观名下面是根据调查结果绘制
14、的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为分钟的观众称为“体育迷体育迷”已知已知“体育迷体育迷”中有中有10名女性名女性(1)试求试求“体育迷体育迷”中的男性观众人数；中的男性观众人数；(2)据此资料你是否认为据此资料你是否认为“体育迷体育迷”与性别有关？与性别有关？附：附：P(K2k)0.050.01k3.8416.635【思路点拨思路点拨】(1)根据频率分布直方图求根据频率分布直方图求“体育迷体育迷”人人数，进而确定其中男性观众人数数，进而确定其中男性观众人数(2)
15、列出列出22列联表，计算列联表，计算K2的观测值的观测值k，依据独立性检验思想作出判断，依据独立性检验思想作出判断【尝试解答尝试解答】(1)由频率分布直方图，由频率分布直方图，“体育迷体育迷”的频的频率为率为(0.0050.020)100.25.“体育迷体育迷”观众共有观众共有1000.2525(名名)，因此，男因此，男“体育迷体育迷”共有共有251015(名名)(2)由由(1)列列22列联表如下：列联表如下：非体育迷非体育迷体育迷体育迷合计合计男男301545女女451055合计合计7525100为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单
16、随机抽样方法从该地区调查了随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：位老年人，结果如下：性别性别是否需要志愿者是否需要志愿者男男女女需要需要4030不需要不需要160270(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；的比例；(2)在犯错误的概率不超过在犯错误的概率不超过1%的条件下，你能否认为该的条件下，你能否认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志
17、愿者提供帮助的老年人的比例？说地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由附：明理由附：(3)由由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好1
18、.函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系事实上，相关关系是非随机变量与随机变量的关的关系事实上，相关关系是非随机变量与随机变量的关系系2当当K23.841时，则有时，则有95%的把握说事件的把握说事件A与与B有关；有关；当当K22.706时，认为两个分类变量无关时，认为两个分类变量无关 1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义才有实际意义2线性回归方程中的截距和斜率
19、都是通过样本数据估线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本数据估计而来的，存在误差，这种误差会导致预报结果的偏差计而来的，存在误差，这种误差会导致预报结果的偏差3独立性检验的随机变量独立性检验的随机变量K2的观测值的观测值k3.841是判断是判断是否有关系的临界值，是否有关系的临界值，K2的观测值的观测值k3.841应判断为没有充应判断为没有充分证据显示事件分证据显示事件A与与B有关系，而不能作为小于有关系，而不能作为小于95%的量化的量化值来判断值来判断 从近两年高考看，以考查独立性检验，回归分析为从近两年高考看，以考查独立性检验，回归分析为主，多为选择题、填空题，也可能以解答题形式考查，主，
20、多为选择题、填空题，也可能以解答题形式考查，主要以实际问题为背景，考查阅读理解、分析问题、解主要以实际问题为背景，考查阅读理解、分析问题、解决问题的能力，在解决一些简单实际问题的过程中考查决问题的能力，在解决一些简单实际问题的过程中考查基本的统计思想基本的统计思想 (2012福建高考福建高考)某工厂为了对新研发的一种产品进某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：下数据：思想方法之十七利用回归分析思想进行科学预测思想方法之十七利用回归分析思想进行科学预测单价单价x(元元)88.28.48.68.
21、89销量销量y(件件)908483807568【解析解析】由于线性回归方程中由于线性回归方程中x的系数为的系数为0.85，因此，因此y与与x具有正的线性相关关系，故具有正的线性相关关系，故A正确又线性回归方程必过正确又线性回归方程必过样本中心点样本中心点 ，因此，因此B正确由线性回归方程中系数的正确由线性回归方程中系数的意义知，意义知，x每增加每增加1 cm，其体重约增加，其体重约增加0.85 kg，故，故C正正确确当某女生的身高为当某女生的身高为170 cm时，其体重估计值是时，其体重估计值是58.79 kg，并不一定就是，并不一定就是58.79 kg，因此，因此D不正确不正确【答案答案】D
22、2(2013深圳模拟深圳模拟)通过随机询问通过随机询问110名性别不同的大名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男男女女总计总计爱好爱好402060不爱好不爱好203050总计总计6050110参照附表，得到的正确结论是参照附表，得到的正确结论是()A在犯错误的概率不超过在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为的前提下，认为“爱好爱好该项运动与性别有关该项运动与性别有关”B在犯错误的概率不超过在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为的前提下，认为“爱好爱好该项运动与性别无关该项运动与性别无关”附表：附表：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828C有有99%以上的把握认为以上的把握认为“爱好该项运动与性别有爱好该项运动与性别有关关”D有有99%以上的把握认为以上的把握认为“爱好该项运动与性别无爱好该项运动与性别无关关”【解析解析】由相关系数由相关系数K2的意义，附表所对应的概率为的意义，附表所对应的概率为“爱好该运动与性别有关爱好该运动与性别有关”，有有99%以上的把握认为以上的把握认为“爱好该项运动与性别有爱好该项运动与性别有关关”【答案答案】C
