1、 摘要摘要：从有小角度偏转的平行板电容器电容计算出发，用解析函数的性质计算几种非平行板电容器电容及电场分布，并用保形变换进行空间的伸张和扭曲，最后对结果进行讨论。 关键词：关键词：非平行板电容器、电容器、电容、电场强度、空间变换、保形变换。 参考文献1给出了有小角度偏转的平行板电容器电容的计算方法，本文用解析函数的性质计算出一般的非平行板电容器电容及电场分布，并用保形变换进行空间的伸张和扭曲，最后对结果进行讨论。 注：参考文献1-物理学难题集（增订本） 舒幼生 胡望雨 陈秉乾 高等教育出版社 如图：设两块导体平板长为L2，宽为L，两板的延长线交于O点，板的另一端与O相距L1，两平板延长线夹角为
2、，两板电势分别为U1、U2（U1U2）。由于对称性建立如图所示的二维极坐标系。 为求解两极板间的电场分布，我们可以设两板的宽度L很大，而且可以忽略边缘效应，由电荷分布对称性原理可以知道,在两板的角平分面（平面A），每一点的电场强度都应该与之垂直，且该面为一个等势面。 根据对称性原理，两板之间（n=1，2，）角平分面上的电场强度方向均垂直于该面，且该面也为等势面。我们注意到两板之间（n=1，2，）平分面均过原点，由空间的无限可分性原理，对于任意的=0平面，总有一系列的使得 ：0112iki 所以我们可以认为，两极板所夹任意的过原点的平面均为等势面。 即电场强度的大小仅与离原点的距离r有关，其方向
3、垂直于r，且=0平面的电势相等。进一步，我们有： （1） （2）( , )rrEE e( , )rrEE e( , )rUU 由于电势的连续性，对在全平面解析，有： （3） 由（2）式知： 故： （4） 解得： （5）22222110UUUrrrr220UUrr22210Ur 最后解得： （6） 代入初始条件： 最终解得： （7）12UCC120,;,UUUU121UUUU 由电场与电势的关系，我们又得到： （8） 我们作一高斯面，它的小底面S取在r处的导体板内，侧面为电场线围成的弯曲柱面，另一小底面S也与弯曲柱面垂直。显然，由高斯定理可得： （9）121()rUUUUEUeeerrr 120
4、0rUUEr 所以，板导体带电： （10） 最终求出： （11）121212111121212001()()1lnL LL LL LrrLLLUUUULLdS Ldr Ldr LrL012121lnLLLQQCUUUL 若按参考文献1假设的 两板长与宽分别为a， b，一对边距离为d， 另一边为距离为 （d+h），则=h/a, 由于很小,故dh， 所以由三角形相似性： （12）121LLdhLd 解得： （13） 按泰勒级数展开,取前两项,然后将（12）式代入式（10）就得到: （14） （13）式的结果与文献1结果相同,可以看出此种解法的正确性。 21211lnln()2LLdhhhLddd0
5、(1)2abhChd 由解出（7）式发现电势仅与角度有关，与到原点的距离r无关；由解出（8）式发现的电场强度只与r成反比，方向垂直于r。 对比平行板电容器，不难发现，如果将平行板电容器两极板空间C1的一端压缩，以压缩后的两板延长线（由于对称性，我们只考虑二维平面）交点为原点建立图一所示的二维极坐标系，则压缩后的空间C2即为非平行板电容器两极板的空间。 由于对称性，我们只考虑二维平面。 将三维空间C1简化为二维为平面，将三维空间C2简化为二维为平面z。 设：z平面的复数 （15） 平面的复数 （16） 令： （17） 取对数函数作映射函数：即： （18）izxiyrewuiv( )( , )(
6、, );zx yx ywwuuvvln()wCz CR 将（15）式代入即得： （19） 比较（17）式即得： （20）( )lnzwCriClnuCrvC 从图四可看出,此变换将z平面上原来的非平行板电容器映射为了在平面上与u轴平行的平行板电容器,由此可求得此平行板电容器板间距离和长度： （23） （24） 由于两空间的第三维未变换，即原非平行板电容器的宽度L在变换后没有改变。所以，平面上的平行板电容器的电容为： （25）21dvvC12211lnLLluuCL000121lnSLlLLLCddL 比较（24）式与（11）式，由于变换前后,两极板间的电压和极板上所带电量不变,只是两极板间的空
7、间被扭曲了，所以在变换后平行板电容器的电容值即为变换前的非平行板电容器的电容值。 对于非平行板电容器所夹空间，这种空间映射的原理确实正确，但对其它类型的电容器呢？为此，我们尝试用这方法求解同轴柱面电容器的电容值。由于对称性，我们同样只考虑二维平面，建立如图五所示的二维极坐标系，同上面一样 。 通过取对数变换，加上边界之条件，我们同样可以得到：1122lnlnuCRuCR1202vvC 从图六可看出,此变换将z平面上原来的圆弧形电容器映射为了在平面上与v轴平行的平行板电容器,由此可求得此平行板电容器板间距离和长度： （28） （29） 由于两空间的第三维未变换，即原圆弧形电容器的宽度L在变换后没
8、有改变。所以，平面上的平行板电容器的电容为： （30）2211lnRduuCR212lvvC001022lnSLlRCLddR 由（30）式求出的电容值完全符合参考文献2求出的同轴柱面电容器的电容值，证明这种方法在求解有两维变换，一维不变换的电场空间中完全成立。那么是否对三维均变换的空间适用呢? 注：参考文献2电磁学胡友秋 程福臻 刘之景 高等教育出版社 如图：将球形电容器变为了平行板电容器。 由于保形变换的二维性，以及球形的对称性，在 坐标系中我们引入参考文献4中定义的空间角： ，将三维坐标系变为二维平面z的 坐标系。为变换方便，定义如下函数： （31） ( , , )r 2 (1cos )
9、 ( ,)r ( ,)1( )rzzf zirwuiv 取f(z)为映射函数：=f(z) 所以： 因为： 边界r仅有两个值R1、R2。 所以： 1urv 02 (1cos )4 1204vv112211uRuR 显然，平面上的平行板电容器的电容为： （35） 由（35）式求出的电容值完全符合参考文献2求出的同轴柱面电容器的电容值，证明这种方法确实有一定的普适性。00111201221()4SvvR RCduuRR 结论：通过对以上三种电容器与平行板电容器的分析讨论，我们得出，非平行板电容器两极板间的电场空间确实可以看作平行板电容器两极板间电场空间所挤压扭曲而成，而通过适当的变换，可以将非平行板电容器两极板间的电场空间变为平行板电容器两极板间的简单的平直的电场空间，而变化后原电容器的电容值就是变化后的平行板电容器的电容值。由于平行板电容器的电容值、极板间的电场分布、电势分布易于求解，故这种变换方法在求一些复杂的电场电势分布问题的时候有一定的优越性。 参考文献： 1物理学难题集（增订本） 舒幼生 胡望雨 陈秉乾 高等教育出版社 2电磁学 胡友秋 程福臻 刘之景 高等教育出版社 3复变函数 潘永亮 汪琥庭等 科学出版社 4经典力学 秦家桦 中国科学技术大学 感谢03007老师和同学帮助与信任 感谢在场各位的支持
