1、秘密启用前试卷类型：A 2022年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学本试卷共6页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如衙改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求
2、作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题自要求的l已知集合A= x E ZI-1 x勺，B=斗Ox2，则AnB的子集个数为A. 2B. 3C. 4D. 62 2.若复数z =了，则z-il=1 +i lz-il A. 2B.c. 4D. 53.甲，乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是A.在这5天中，甲，乙两人加工零件数的极差 相同B在这5天中，甲，乙两人加工零件数的中位数
3、相同c.在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数D.在这5天中，甲加工零件数的方差小千乙加工零件数的方差数学试题A 第1页（共6页）甲乙9 8 1 l I 79 8 7 31211 3 5 4.曲线y= x3 +I 在点(-1,a) 处的切线方程为A. y= 3x+3B. y = 3x+lC. y =-3x-15. (x+3y)(x-2州的展开式中x5广的系数为A. 60B. 24C. -126.若函数y=f(x)的大致图像如图，则f(x)的解析式可能是x 2e _x e2x+ 1 A. f(x)了B. f(x)勹e x+l xe X x2-e _x e 2x -1C.f(x)= e2
4、x -1D. f(x)=x-e D. y=-3x-3 D.-48U n。y x 7.设抛物线E:y2 = 8x的焦点为F,过点M(4,0)的直线与E相交于A,B两点，与E的准线相交千点C,点B在线段AC上，IBFl=3,则6BCF 与6ACF的面积s 之比-巫互s t:.ACF A. 1-5B 1-6c 1-7D 8.若正实数a, b满足ab,且lna-lnbO,则下列不等式一定成立的是A. loga b b-b a C.2ab+l 2a+bD. a忙Iba-1二、选择题：本题共4小题，每小题 5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得
5、0分9.已知直线l :x+ y五0与圆C :(x-1)三(y+1)2=4,则A.直线l与圆C相离B.直线l与圆C相交C.圆C上到直线l的距离为1的点共有2个D.圆C上到直线l的距离为1的点 共有3个数学试题A 第2页（共6页）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知sina=1, a冗，则tana=5 2 14.已知菱形ABCD的边长为2乙ABC=6Q,点P在BC边上（包括端点），则AD-AP的取值范围是15.已知三棱锥P-ABC的棱AP, AB, AC两两互相垂直，AP=AB = AC= 23,以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧
6、长等千16.如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每次 等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点 位于2的位置”的概率为-6 -5 -4 -3 -2 - I O 1 2 3 4 5 6 x四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分）在等比数列an中，a1aza3分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且ala2a3中的任何两个数不在下 表的同一列第一列第二列第三列第一行3 2 3 第二行4 6 第三行9 12 8 (1)写出al生，生，并求数列a,，的通项公式；(2)若数列九满足丸an+ (-1 r 1og2an求数列九
7、的前n项和Sn18.(12分）!:,ABC的内角A, B, C的对边分 别为a, b, c,已 知L,ABC的面积为（扫b2sinC(1)证明：sinA= 2sinB;3 (2)若acosC=:.b,求cosA.数学试题A 第4页（共6页）19.(12分）如图，在五面体ABCDE中，ADJ.平面ABC, AD II BE, AD= 2BE, AB =BC.(1)求证： 平面CDE.l.平面ACD:(2)若AB=3, AC= 2,五 面 体 ABCDE的体积为J5， 求直线CE与平面ABED所成角的正弦值B 20.(12分）人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据， 并利用这些数据处理事务
8、和做出决策某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表勹1销售量y （万件）4.9 2 5.8 3 6.8 4 8.3 5 10.2 该公司为了预测未来几个月的销售量， 建立了y关千x的回归模型： y沁2+V(l)根据所给数据与回归模型， 求y关千x的回归方程(a的值精确到0.1)(2)已知该公司的月利润z（单位： 万元）与X,y的关系为z=24x5y+2 五根据(1)的结果， 问该公司哪一个月的月利润预报值最大？参考公式：对千一组数据(xly1), (x2,Y2), , (xn,Yn)，其回归直线y=；x+a的斜区(x;-x)(Y;一了）率和截距的最小二乘估计公式分别
9、为b=叫n 区(x1气）2i=l 数学试题A第5页（共6页）, a = y -bx . 21.(12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-2,0),B(2,0)，点M满足直线AM与直3 线BM的斜率之积为,点M的轨迹为曲线c.(I)求C的方程；(2)已知点F(I,0)，直线l: x=4与x轴交千点D，直线AM与l交千点N,是否存在常数入，使得乙MFD江NFD?若存在，求入的值；若不存在，说明理由22.Cl2分）已知函数f(x)= ex +sinx-cosx, J(x)为f(x)的导数(1)证明：当xO时，J(x) 2:(2)设g(x)= f(x)-2x-l,证明：g(x)有且仅有2个零点数
10、学试题A第6页（共6页） 1 2022 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学试题参考答案及评分标准 评分说明: 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每
11、小题 5 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C A B D C D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 9. BD 10. AC 11. ACD 12. BC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 34 14. 2,2 15. 43 16. 1564 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分 17. (10 分) （1）解：12a ，24a ，38a . 3 分 设等比数列 na的公比为q，
12、则212aqa. 4 分 所以12 22nnna . 5 分 （2）解：因为21lognnnnbaa 221log 2nnn 6 分 21nnn . 7 分 当n为偶数时，12 1 2421 222nnnnnS. 8 分 当n为奇数时，121 21521 222nnnnnSn. 9 分 2 HCBA综上所述，当n为偶数时，1422nnnS； 当n为奇数时，1522nnnS. 10 分 18. (12 分) （1）证明: 因为ABC的面积为1sin2abC，1 分 根据题意得1sin2abC221sin2abC， 因为sin0C , 则12ab2212ab， 2 分 即2220aabb， 3 分
13、 得20abab， 4 分 由于0ab， 得2ab. 5 分 由正弦定理sinsinabAB， 得2sinsinbbAB，6 分 由于0b， 所以sin2sinAB. 7 分 （2）解法 1：根据余弦定理，由3cos2aCb，得222322abcabab. 8 分 得222243bbcb， 9 分 解得2cb. 10 分 所以222cos2bcaAbc222224242 2bbbb . 12 分 解法 2：如图，作BHAC交CA的延长线于点H， 由3cos2aCb，得32CHb， 8 分 则3122AHbbb. 在 RtBHC中，222237222BHBCCHbbb. 9 分 在 RtAHB中
14、，222271222ABBHAHbbb， 10 分 3 KFHEDCBA 2cos4AHBAHAB. 11 分 所以2coscos cos4BACBAHBAH ，即cos A24 . 12 分 19. (12 分) （1）证明：设AC，CD的中点分别为F，H，连接BF，FH，EH， 则FHAD，且2ADFH. 1 分 因为ADBE，2ADBE， 所以FHBE,且FHBE. 所以四边形BFHE是平行四边形. 2 分 所以EHBF,且EHBF. 3 分 因为ABBC，所以BFAC. 因为AD 平面ABC，BF 平面ABC， 所以ADBF. 因为ADACA,AD 平面ACD，AC 平面ACD， 所以
15、BF 平面ACD. 4 分 所以EH 平面ACD. 5 分 因为EH 平面CDE， 所以平面CDE 平面ACD. 6 分 （2）解法 1：作CKAB于K，由题意知CKAD，ABADA， 则CK 平面ABED. 连接EK，则CEK是直线CE与平面ABED所成角. 7 分 因为3ABBC，2AC ， 在 RtAFB中，222BFABAF，6sin3BFBAFAB， 在 RtACK中，2 6sin3CKACBAF， 8 分 设22ADBEt，则四边形ABED的面积为13 322SADBEABt. 因为五面体ABCDE的体积为2， 所以123C ABEDVS CK. 9 分 则13 32 62323t
16、，解得1t ， 10 分 即2AD ，1BE . 在 RtEBC中，222CEBCBE，11 分 4 KFHzyxEDCBA 在 RtEKC中，6sin3CKCEKCE. 所以直线CE与平面ABED所成角的正弦值为63. 12 分 解法 2：作CKAB于K，由题意知CKAD，ABADA， 则CK 平面ABED, CK为平面ABED的法向量. 因为3ABBC，2AC ， 在 RtAFB中，222BFABAF，6sin3BFBAFAB， 在 RtACK中，2 6sin3CKACBAF，222 33AKACCK. 7 分 设22ADBEt，则四边形ABED的面积为13 322SADBEABt. 因为
17、五面体ABCDE的体积为2， 所以123C ABEDVS CK. 8 分 则13 32 62323t，解得1t ，9 分 即2AD ，1BE . 如图，以F为原点建立空间直角坐标系Fxyz， 则2,0,1E，0,1,0C，0, 1,0A，2,0,0B，2 21,033K， 2 24,033CK，2, 1,1CE . 10 分 设直线CE与平面ABED所成角为， 则sincos,CE CK CE CKCE CK 63. 11 分 所以直线CE与平面ABED所成角的正弦值为63. 12分 5 20. (12 分) （1）解：设2Xx， 则2222212345115X，4.95.86.88.3 10
18、.27.25y. 2 分 5181.1iiiXXyy， 152374=iiXX， 4 分 515210.2iiiiiXXyyuXX. 5 分 所以5vyuX. 6 分 所以y关于x的回归方程为20.25yx. 7 分 （2）解：由（1）得5224yzxx22427xxx， 8 分 设 fx22427xxx0 x ， 则 2124224272xxxxxfxx 9 分 2242224272xxxxx x 3192xxx x. 10 分 当09x时， 0fx，函数 fx在0,9上单调递增； 当9x时， 0fx，函数 fx在9,上单调递减. 所以，当9x时，函数 fx取得最大值. 11 分 所以，第9
19、月，该公司的月利润预报值最大. 12 分 21.（12 分） （1）解：设点M的坐标为, x y，依题意得 6 3224yyxx ， 1 分 化简得22143xy. 2 分 所以C的方程为22143xy2x . 3 分 （2）解：根据椭圆的对称性，不妨设点M在x轴的上方，此时，点E和点N也在x轴的上方. 当点M的横坐标为1时，可得31,2M，直线MFx轴，90MFD.4 分 直线MA的方程为32212yx，令4x，得3y ，则4,3N. 由于直线NF的斜率为314 1NFk， 则直线NF的倾斜角为45，即45NFD. 所以2MFDNFD . 5分 当点M的横坐标不为1时，下面提供几种不同的解法
20、. 解法 1: 设直线AM的方程为2yk x0k ，11,M x y， 由222 ,1,43yk xxy消去y，得2222431616120kxk xk，6 分 依题意得2121612243kxk， 得2126 843kxk，11212243kyk xk， 则2226812,43 43kkMkk. 7 分 由2yk x，令4x，得6yk，则4,6Nk. 8 分 直线MF的方程为22221244311681 4143kkkyxxkkk， 9 分 即244140kxkyk， 7 则点4,6Nk到直线MF的距离为22221664146441kkkkdkkk. 10 分 由于点4,6Nk到直线DF的距
21、离为6k， 则NF是MFD的平分线. 11 分 所以2MFDNFD . 综上所述，存在2，使得MFDNFD . 12 分 解法 2: 设直线AM的方程为2yk x0k ，11,M x y， 由222 ,1,43yk xxy消去y，得2222431616120kxk xk，6 分 依题意得2121612243kxk， 得2126 843kxk，11212243kyk xk， 则2226812,43 43kkMkk. 7 分 由2yk x，令4x，得6yk，则4,6Nk. 8 分 直线MF的斜率为222212443681 4143MFkkkkkkk， 9 分 直线NF的斜率为624 1NFkkk，
22、 10 分 由于22222tan4tan2tan1 tan11 4NFNFkNFDkNFDMFDNFDkk， 11 分 所以2MFDNFD . 综上所述，存在2，使得MFDNFD . 12 分 解法 3: 设点4,Nt，11,M x y，则直线AM的方程为26tyx， 6 分 由222 ,61,43tyxxy消去y，得222227441080txt xt， 7 分 8 依题意得2124108227txt， 得21254227txt，11218227tyk xt， 则22254218,2727ttMtt. 8 分 直线MF的斜率为2222186275429127MFtttkttt， 9 分 直线
23、NF的斜率为4 13NFttk， 10 分 由于22222tan6tan2tan1 tan19NFNFkNFDtNFDMFDNFDkt， 11 分 所以2MFDNFD . 综上所述，存在2，使得MFDNFD . 12 分 22. (12 分) （1）证法证法 1: 由 ecossine2sin4xxfxxxx， 1 分 当0,2x时， 0e2sine124xfxx ；2 分 当,2x时， 322e2sin()e2e24224xfxx； 3 分 综上所述，当0 x时， 2fx. 4 分 证证法法 2： ecossinxfxxx， 1 分 设 ecossinxh xfxxx， ( )esincos
24、xh xxx，当0 x时，可证：e1xx，sinxx， 当0 x时，设 e1xp xx， sinxxxq， 则 e10 xp x ， 1 cos0qxx ， p x， q x单调递增， 00p xp， 00q xq， 9 所以e1xx，sinxx. 2 分 esincos1 sincos(sin )(1 cos )0 xh xxxxxxxxx， 3 分 所以函数 h x在0 ，上单调递增，即函数 fx在0 ，上单调递增. 所以 02fxf. 4 分 证证法法 3: 当e4x，即2ln2x 时， 4cossin4 1 12fxxx ； 1 分 当02ln2x时，要证 2fx，只要证cossin2
25、e02ln2)(xxxx， 即2sin2e02ln2)4(xxx， 易知，当0ln2x时，2sin4x单调递增，而2 ex单调递减， 所以2sin12e4xx . 2 分 当ln22ln2x时，2sin04x，而20ex， 所以2sin02e4xx. 3 分 综上所述，当0 x时， 2fx. 4 分 证证法法 4: 当0 x时，要证 2fx，只要证2sincos10)(exxxx. 1 分 设 2sinc s0)e(oxxxh xx，则 2(sin1) 0(0)exxh xx， 2 分 所以 h x在0 ，上单调递减， 01h xh； 3 分 所以，当0 x时， 2fx. 4 分 （2）证明：
26、 21esincos21xg xf xxxxx ， ecossin2xgxxx 2fx， 5 分 由（1）知，当0 x时， 20gxfx， g x在0 ，上单调递增， 10 且 010g ， e0 1 2 10g ， 6 分 所以 g x在0)，上有且仅有1个零点. 7 分 当0 x时，可证 0gx， g x在,0上单调递减. 证明如下： 欲证 ecossin20(0)xgxxxx， 只要证2sincos10)(exxxx. 设 2sinc s0)e(oxxxh xx，则 2(sin1) 0(0)exxh xx， 8 分 所以 h x在,0上单调递减，得 01h xh. 9 分 故 0gx，得 g x在,0上单调递减， 且 010g ， e0 1 2 10g ， 10 分 所以 g x在(,0)上有且仅有1个零点. 11 分 综上所述， g x有且仅有2个零点 12 分 注注：第（2）问中，关于“当0 x，可证 0gx， g x在0,上单调递减” 其证明过程也可以如下： 由 ecossin2e2sin()24xxgxxxx， 讨论： 43,x时， 324e2sin()2e22e2204xgxx； 8 分 0,43x时， ygx单调递增，则 0e2sin204gx. 9 分 故0,x时， 0gx，即 g x在0,上单调递减
