1、一、一、弹性力学基础 弹性力学是固体力学的一个分支学科，弹性力学是固体力学的一个分支学科，它研究弹性体在外力和它研究弹性体在外力和 其它外部因素作其它外部因素作用下所产生的变形和内力。用下所产生的变形和内力。二、结构力学 结构力学是工程力学的一个分支，它研究结构力学是工程力学的一个分支，它研究结构结构( (杆系结构、薄壁结构等杆系结构、薄壁结构等) )在外力和其在外力和其它外部因素作用下所产生的变形和内力。它外部因素作用下所产生的变形和内力。结 构 力 学三、研究方法对比三、研究方法对比l数学方法数学方法l位移法位移法l应力法应力法l应变函数法等应变函数法等l工程方法工程方法l力法力法l静定结
2、构静定结构l静不定结构静不定结构l位移法等位移法等结 构 力 学v 基本假定基本假定v 基本方法基本方法v 基本概念基本概念v 基本方程基本方程v 基本解法基本解法v 基本问题基本问题v 能量原理能量原理1、研究内容研究内容研究对象：研究对象：材料力学研究杆状弹性体在拉伸、压缩、剪材料力学研究杆状弹性体在拉伸、压缩、剪切、弯曲和扭转作用下的变形和内力。切、弯曲和扭转作用下的变形和内力。弹性力学研究的对象则没有形状的限制。弹性力学研究的对象则没有形状的限制。 第一节第一节 引引 言言1 1、研究内容、研究内容研究方法：研究方法：材料力学除了采用一些基本假设外，还引进一些关材料力学除了采用一些基本
3、假设外，还引进一些关于变形状态或应力分布的补充假设于变形状态或应力分布的补充假设。弹性力学并不需要引进这样的假设。弹性力学并不需要引进这样的假设。 例如例如 弹性力学的研究方法更为严密，所得的结果也弹性力学的研究方法更为严密，所得的结果也比材料力学精确。比材料力学精确。 第一节第一节 引引 言言连续性假设连续性假设 认为构成物体的材料是密实认为构成物体的材料是密实无间隙的连续介质。因此，物体中的应力、应无间隙的连续介质。因此，物体中的应力、应变、位移等物理量就可以看成是连续的，在数变、位移等物理量就可以看成是连续的，在数学上可以用连续函数来表示。学上可以用连续函数来表示。材料的材料的匀匀质和各
4、向同性假设质和各向同性假设 匀质指物体匀质指物体内各处材料的力学性质都相同，与各点的空间内各处材料的力学性质都相同，与各点的空间位置无关。各向同性指在物体内任一点处材料位置无关。各向同性指在物体内任一点处材料在各个方向的物理性质都相同。因此，反映这在各个方向的物理性质都相同。因此，反映这些物理性质的弹性系数不随坐标和方向而改变。些物理性质的弹性系数不随坐标和方向而改变。2、弹性力学的基本假设、弹性力学的基本假设 2 2、弹性力学的基本假设、弹性力学的基本假设 完全弹性假设完全弹性假设 假设材料是完全弹性的，且假设材料是完全弹性的，且服从虎克定律定律，物体在外力作用下变形，除服从虎克定律定律，物
5、体在外力作用下变形，除去外力后，物体完全恢复原状，没有任何剩余变去外力后，物体完全恢复原状，没有任何剩余变形。同时应力与应变成正比。形。同时应力与应变成正比。 小变形假设小变形假设 假设物体在外力作用下引起变假设物体在外力作用下引起变形而产生的位移，与物体最小特征尺寸相比是很形而产生的位移，与物体最小特征尺寸相比是很微小的。这样，在研究物体受力后的平衡状态时，微小的。这样，在研究物体受力后的平衡状态时，可不考虑物体尺寸的变化，而应用变形前的尺寸，可不考虑物体尺寸的变化，而应用变形前的尺寸，这样就使得弹性力学的微分方程成为线性的。这样就使得弹性力学的微分方程成为线性的。 外力外力 作用在物体上的
6、外力可分为体力和面力。作用在物体上的外力可分为体力和面力。 体力：是分布在物体整个体积内的力，如重力、体力：是分布在物体整个体积内的力，如重力、惯惯 性力等。大小的表示、方向的表示、性力等。大小的表示、方向的表示、 量纲量纲 为为 力力 长度长度 3 3。 面力：是作用于物体表面上的力，如流体压力、面力：是作用于物体表面上的力，如流体压力、接接 触力等。大小的表示、方向的表示、触力等。大小的表示、方向的表示、 量纲量纲 为为 力力长度长度 2 2。 3、弹性力学中基本概念弹性力学中基本概念 应力应力 物体受到外力作用会在其内部引起应力物体受到外力作用会在其内部引起应力。应变应变弹性体受力后，它
7、是形状和尺寸都要改变，这种改变可以归结为长度的改变和角度的改变。 3、弹性力学中基本概念弹性力学中基本概念 各线段每单位长度的伸、缩称为正应变正应变，用表示。 每两线段之间直角的改变称为剪应变剪应变，用表示。 位移位移 物体受力后，它内部各点将发生位置的移动。物体内任一点的位移用它在x、y、z三坐标轴上的投影u、v、w来表示，沿坐标轴正方向为正，反之为负。这三个投影称为该点的位移分量。 3、弹性力学中基本概念弹性力学中基本概念 一般而言，弹性体内任意点的体力分量、面力分量、一般而言，弹性体内任意点的体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位移分量都是随点的位置不同而应力分量、应变分量和位移分量
8、都是随点的位置不同而改变的，因而，都是点位置坐标的连续函数。改变的，因而，都是点位置坐标的连续函数。 以下的问题：就是寻求体力分量、面力分量、应力以下的问题：就是寻求体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位移分量四类分量之间的关系。分量、应变分量和位移分量四类分量之间的关系。现在的问题现在的问题 就是寻求体力分量、面力分量、应力分量、就是寻求体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位移分量四类分量之间的关系。应变分量和位移分量四类分量之间的关系。材料力学：采用截面法。材料力学：采用截面法。弹性力学：采用微元体法。弹性力学：采用微元体法。4、弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程 平衡方程平衡方
9、程 外力应力几何方程几何方程 位移应变物理方程物理方程 应力应变第二节第二节 基基 本本 方方 程程平衡微分方程平衡微分方程000ZzyxYzyxXzyxzyzxzzyyxyzxyxxzyyzxzzxyxxy2.1、几何方程、几何方程 xudxudxxuuPAPAAPPAPAAPx yvyzwz正应变正应变剪应变剪应变yuxvxyzvywyzxwzuzx2.2、刚体位移和位移边界条件、刚体位移和位移边界条件 yuxvzwxwzuyvzvywxuxyzzxyyzx, 当物体的位移分量当物体的位移分量给定时，应变分量就完给定时，应变分量就完全确定了。全确定了。 反过来，当应变量反过来，当应变量给定
10、时，位移分量却不给定时，位移分量却不能完全确定。能完全确定。 平面刚体位移平面刚体位移 ： 以以xoy投影面内投影面内PAB位位移为例。令其应变分移为例。令其应变分量为零来求出相应的量为零来求出相应的位移分量位移分量 00, 0yuxvyvxuxyyx2、几何方程和变形协调方程、几何方程和变形协调方程 2.1、几何方程、几何方程 几何方程几何方程: : 研究应研究应变分量和位移分量变分量和位移分量之间的关系之间的关系. .在外力作用下，弹性体在外力作用下，弹性体发生变形。弹性体中任发生变形。弹性体中任一点一点P P0 0，变形后移到了，变形后移到了点点P P1 1，矢量就是点，矢量就是点P P
11、0 0的的位移，它在三个坐标轴位移，它在三个坐标轴上的投影分别用上的投影分别用u u、v v、w w表示，它们都是坐标表示，它们都是坐标的函数，见右图的函数，见右图 2.3、变形协调方程、变形协调方程 由几何方程可见，六个应变分量完全由三个位移分量对坐标的偏导数确定。因此，六个应变分量不是互相独立的，它们之间必然存在一定的关系。从物理意义上讲，就是在变形前连续的物体，变形后仍是连续的。 yxxvyuyxyvxxuyxyxyyx2222222222yxzwyxzyxzyxwyuxvzxwzuyzvywxzyxzxyzxyzxyzxyz2222222.3、变形协调方程、变形协调方程 yxzyxzx
12、zzxyzyxzyzyyzzyxzyxyxxyzxyzxyzzxxzyzxyzxyyzzyxyzxyzxxyyx2222222222222222222,2,2,3、物理方程、物理方程 前面导出了前面导出了平衡微分方程平衡微分方程和和几何方程几何方程，适用于，适用于任何弹性体，与物体的物理性质无关。但仅有这任何弹性体，与物体的物理性质无关。但仅有这两组方程还不能求解，还必须考虑物理学方面，两组方程还不能求解，还必须考虑物理学方面，建立起应变分量与应力分量之间的关系，这些关建立起应变分量与应力分量之间的关系，这些关系式称为系式称为物理方程物理方程。 xyzxyzzyxxyxyzxyzzyxzxxy
13、zxyzzyxyzxyzxyzzyxzxyzxyzzyxyxyzxyzzyxxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC6665646362615655545352514645444342413635343332312625242322211615141312113、物理方程、物理方程 对于各向同性弹性体，可以证明仅有对于各向同性弹性体，可以证明仅有两个两个独立的弹性常数，其应变分量与应力分量之间独立的弹性常数，其应变分量与应力分量之间的关系如下：的关系如下：GEGEGExyxyyxzzzxzxxzyyyzyzzyxx),(1),(1),(1右式也称广义虎克右式也
14、称广义虎克定律。式中定律。式中E E为材料为材料拉压弹性模量，拉压弹性模量，为泊松比，为泊松比，G G为剪切为剪切弹性模量，而且三弹性模量，而且三者之间如下式：者之间如下式：)1 (2EG3、物理方程、物理方程xyxyzzzxzxyyyzyzxxGGeGGeGGe,2,2,2 以应力分量来表示应变分量的，若用应以应力分量来表示应变分量的，若用应变分量来表示应力分量，其物理方程为变分量来表示应力分量，其物理方程为 )1 (2,)21)(1 (,EGEezyx3 3、应力边界条件和圣维南原理、应力边界条件和圣维南原理 边边界界条条件件圣维南原理圣维南原理 位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边
15、界条件wwvvuu 如果把作用在物体的一小部分如果把作用在物体的一小部分边界上的力系，用一个分布不同但边界上的力系，用一个分布不同但静力等效的力系（主矢量相同，对静力等效的力系（主矢量相同，对同一点的主矩也相同）代替，则仅同一点的主矩也相同）代替，则仅在此边界附近的应力分布有显著的在此边界附近的应力分布有显著的改变，而在距该区域较远的地方几改变，而在距该区域较远的地方几乎没有影响。乎没有影响。 基基本本方方程程小小结结yxxyzyzxzxzzxzyyxyzyyzzxyxxZzyxYzyxXzyx000yuxvzwxwzuyvzvywxuxyzzxyyzx,yxzyxzxzzxyzyxzyzyy
16、zzyxzyxyxxyzxyzxyzzxxzyzxyzxyyzzyxyzxyzxxyyx2222222222222222222,2,2,GEGEGExyxyyxzzzxzxxzyyyzyzzyxx),(1),(1),(1xyxyzzzxzxyyyzyzxxGGeGGeGGe,2,2,2wwvvuuZnmlYnmlXnmlzyzxzzyyxyzxyxx第三节第三节 平平 面面 问问 题题1、平面应力平面应力和和平面应变平面应变问题问题 平面应力问题平面应变问题几何特点厚度远小于板的长度和宽度 纵向尺寸远大于横向尺寸 受力特点面力、体力平行于板平面且沿板厚均匀分布面力垂直纵向且沿长度不变，约束条件
17、沿长度也变应力、应变特点只有面内应力分量x、y、xy存在，应变z和位移w不为零 只有面内应变分量x、y、xy存在，应力z不为零xx2、平面问题的基本方程、平面问题的基本方程 （推导推导） （简化（简化25） 00YyxXyxyxyyxxYmlXmlyxyyxxvvuuyuxvyvxuxyyx,yxxyxyyx22222平衡方程平衡方程 力边界力边界 位移边界位移边界 几何方程几何方程 变形协调方程变形协调方程 平面问题的物理方程平面问题的物理方程1()1()2(1)xxyyyxxyxyEEE平平面面应应力力平平面面应应变变22()1()12(1)xxyyyxxyxyEEE221()11()12
18、(1)xxxyyyxyxyEEE1()11211()11212(1)xxyyyxxyxyEEE2、平面问题的基本解法、平面问题的基本解法位移法位移法: : 以位移分量以位移分量u和和v作为基本未知函数，利用作为基本未知函数，利用几何方程和物理方程，将应力分量用位移几何方程和物理方程，将应力分量用位移分量来表示，代入平衡微分方程、应力边分量来表示，代入平衡微分方程、应力边界条件，就得到以位移分量为未知函数的界条件，就得到以位移分量为未知函数的定解方程、以及力边界条件。定解方程、以及力边界条件。位移法、应力法、以及应力函数法位移法、应力法、以及应力函数法2、平面问题的基本解法、平面问题的基本解法应
19、力法应力法：以应力分量作为基本未知量，利用以应力分量作为基本未知量，利用平衡微分方程和变形协调方程可共同确定平衡微分方程和变形协调方程可共同确定这三个未知函数。在这三个方程中，两个这三个未知函数。在这三个方程中，两个平衡方程本来就是用应力分量表示的，尚平衡方程本来就是用应力分量表示的，尚需将应变分量表示的变形协调方程改为用需将应变分量表示的变形协调方程改为用应力分量表示，得到所需的第三个方程。应力分量表示，得到所需的第三个方程。 位移法、应力法、以及应力函数法位移法、应力法、以及应力函数法2、平面问题的基本解法、平面问题的基本解法应力函数法应力函数法: : 位移法、应力法、以及应力函数法位移法
20、、应力法、以及应力函数法200()0yxxxyyxyXxyYxyxyxxyylmXlmY222220XxYyyx逆解法逆解法 、半逆解法、半逆解法 1.4 1.4 用直角坐标解平面问题用直角坐标解平面问题 一、多项式的应力函数一、多项式的应力函数: :假设体力不计，即假设体力不计，即X=Y=0X=Y=0 1 1、一次式：一次式： abxcy2 2、二次式二次式： 22axbxycy3 3、三次式三次式： 3223axbx ycxydy4 4、四次式或四次以上多项式应力函数四次式或四次以上多项式应力函数 ： 40 有一矩形截面的简支梁，长度为有一矩形截面的简支梁，长度为2 2l l，高度为，高度
21、为h h，宽度取宽度取1 1，略去体力，受均布载荷，略去体力，受均布载荷q q作用（如下图）。作用（如下图）。试求梁的应力、应变和位移分量。试求梁的应力、应变和位移分量。 二、承受均布载荷简支梁的弯曲二、承受均布载荷简支梁的弯曲 解解 一、极坐标中平面问题的基本方程一、极坐标中平面问题的基本方程 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 ()sin2sin()co s22co s02rzrrrrrdd rrd r drddd rrddd rdd rdd rKrdd r10210rrrrrrrKrrrKrrr平衡方程平衡方程 几何方程几何方程 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐
22、标解平面问题 1rrrrrururur径径向向位位移移环环向向位位移移01rruruurr几何方程几何方程 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 1,1rrrrruuurrruuurrr物理方程物理方程 1()1()2(1)1rrrrrrEEGE22()1()12(1)rrrrrEEE二、极坐标下的应力函数和变形协调方程二、极坐标下的应力函数和变形协调方程 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 常（无）体力情况下常（无）体力情况下 222220 xy222,arctgyrxyx222222110rrrr22222111rrrrrrrr 三、应力与极角无关的问题三
23、、应力与极角无关的问题 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 有些问题应力的分布对称于通过坐标原点o并垂直xoy平面的z轴，在这种情况下，应力与极角无关，而仅是r的函数，且由于轴对称，剪应力r =0，只有正应力r和。因此，应力函数也与极角无关，只是径向坐标的函数。 22210ddr drdr三、应力与极角无关的问题三、应力与极角无关的问题 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 221,0rrrddr drdr22( )lnlnrArBrrCrD432432232110ddddrdrdrdrrdrr22221(2ln1)2(2ln3)20rrdABrCr drrd
24、ABrCdrr 无孔无体力，唯一可无孔无体力，唯一可能的应力是均匀受拉能的应力是均匀受拉或均匀受压；或均匀受压；有孔则有孔则有其他解答。有其他解答。 四、承受均匀压力的厚壁圆筒四、承受均匀压力的厚壁圆筒 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 22221(2ln1)2(2ln3)20rrdABrCr drrdABrCdrr 图1-19边界条件为边界条件为:在在r r= =a a处，处，r r = =q qa a, , r r =0 =0在在r r= =b b处，处，r r = =q qb b, , r r =0 =0四、承受均匀压力的厚壁圆筒四、承受均匀压力的厚壁圆筒 1.5 1
25、.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 2222222222222222220abbarabbara qb qqqa bbabara qb qqqa bbabar1 1、圆筒只受外压、圆筒只受外压 2222()2abzra qb qba 22222222221,1,0rrb qabarb qabar 四、承受均匀压力的厚壁圆筒四、承受均匀压力的厚壁圆筒 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 2222222222222222220abbarabbara qb qqqa bbabara qb qqqa bbabar2 2、圆筒只受内压、圆筒只受内压 2222()2abzra q
26、b qba 22222222221 ,1 ,0rra qbbara qbbar 五、孔边的应力集中五、孔边的应力集中 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 2222211(1cos2 )2(1cos2 )21sin 22rrPrrrPrPrr 五、孔边的应力集中五、孔边的应力集中 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 22222224242222111 3cos22211 3cos22211 3sin 22rrppaaarrrppaarrpaarr 应力解为应力解为: 孔边各点处应力分量孔边各点处应力分量r r和和r r均为零均为零, , 的分布规的分布规律为律
27、为: :2424232paarr2222312p aarr Y: X: 六、等厚度旋转圆盘中的应力六、等厚度旋转圆盘中的应力 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 由于圆盘本身和受到的离心力都对由于圆盘本身和受到的离心力都对称于圆盘的旋转轴，故为轴对称平面应称于圆盘的旋转轴，故为轴对称平面应力问题。不过和前面不同的是，体力不力问题。不过和前面不同的是，体力不等于零，而是离心力。因轴对称，应力等于零，而是离心力。因轴对称，应力、应变和位移都与极角应变和位移都与极角无关，只是无关，只是r r的函数。而平衡微分方程变成如下单个的函数。而平衡微分方程变成如下单个方程，第二式自行满足。方
28、程，第二式自行满足。20rrdrdrr 六、等厚度旋转圆盘中的应力六、等厚度旋转圆盘中的应力 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 2222222231831 3183rrbbrbb实实心心圆圆盘盘空空心心圆圆盘盘222222222222223831383ra babrra babrr1 1、四个基本假定、四个基本假定 小结小结 2 2、三类基本方程、三类基本方程 3 3、两类边界条件、两类边界条件 4 4、两种平面问题、两种平面问题5 5、三种基本解法、三种基本解法 6 6、用直角坐标解平面问题、用直角坐标解平面问题 7 7、用极坐标解平面问题、用极坐标解平面问题 连续性假定
29、连续性假定均匀各向同性假定均匀各向同性假定小变形假定小变形假定完全弹性假定完全弹性假定 平衡微分方程平衡微分方程几何方程、变形协调条件几何方程、变形协调条件物理方程物理方程力边界条件力边界条件位移边界条件位移边界条件平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题位移法位移法应力法应力法应力函数法应力函数法受均布载荷简支梁的弯曲受均布载荷简支梁的弯曲 三个例子三个例子 Thank you very much!材料力学弹性力学解例例1例例20Xdxdydzdydydxdydzzdxdzdxdzdyydydzdydzdxxzxzxzxyxyxyxxxx平衡微分方程的推导平衡微分方程的推导0Xdxd
30、ydzdzdxdyzdydxdzydxdydzxzxyxx0Xzyxzxyxx000ZzyxYzyxXzyxzyzxzzyyxyzxyxx力矩平衡方程的推导力矩平衡方程的推导02222dzdxdydzdxdydzzdydxdzdydxdzdyyzyzyzyyzyzyz022dxdydzdzdzdxdyzdxdzdydydydxdzyzyzyyzyzyzzyzxxzxyyxxvxuxvdxxudxdxxvAPAA 1tg剪应变推导剪应变推导yudyyvdydyyuBPBB tgyuxvxy平面刚体位移的推导平面刚体位移的推导)(),(21xfvyfudxxdfdyydf)()(21zzdxxdf
31、dyydf)(,)(210201)(,)(vxxfuyyfzzxvvyuuzz00,000yuxvyvxuxyyx平面刚体位移的推导平面刚体位移的推导xywwzxvvyzuuyxxzzy000 对于一般的三维弹性体，如果令其六个应变对于一般的三维弹性体，如果令其六个应变分量均为零，采用与上述类似的方法，可求出体内分量均为零，采用与上述类似的方法，可求出体内各点的位移分量，下式中各点的位移分量，下式中u u0 0、 v v0 0、 w w0 0分别为弹性分别为弹性体沿体沿x x、y y、z z三个坐标轴方向的刚体平动，三个坐标轴方向的刚体平动，x x、y y、z z分别为弹性体绕分别为弹性体绕x
32、 x、y y、z z三个坐标轴的刚三个坐标轴的刚体转动。体转动。 应应力力边边界界条条件件的的推推导导 0XdVndAmdAldAdAXzxyxx),cos(),cos(),cos(zNnyNmxNlXnmlzxyxx应应力力边边界界条条件件的的推推导导 ZnmlYnmlXnmlzyzxzzyyxyzxyxx圣维南原理应用圣维南原理应用举例举例 圣维南原圣维南原理虽然至今还理虽然至今还没有得到确切没有得到确切的数学表示和的数学表示和严格的理论证严格的理论证明，但是，大明，但是，大量的实际计算量的实际计算和实验结果都和实验结果都证实了该原理证实了该原理是正确的。是正确的。 平平 面面 应应 力力
33、 问问 题题0, 0, 0,2/zyzxztz处 只 有 面 内 应力分量x、y、xy存在，并且由于板很薄，只是坐标x、y的函数，而与坐标z无关。 但应变z和位移w不为零。 平平 面面 应应 变变 问问 题题 柱形体无限长任一横截面皆为对称面，即柱形体无限长任一横截面皆为对称面，即w w = 0= 0、 z z=0=0。由对称条件知。由对称条件知zxzx和和yzyz也为零。故只有平行于也为零。故只有平行于xoyxoy坐标平面的三个应变分量坐标平面的三个应变分量x x、y y和和xyxy。 但应力但应力z z一般不为零。一般不为零。 平面问题的平衡方程的推导平面问题的平衡方程的推导00yxxxy
34、yXxyYxyxyxxyylmXlmY位移法位移法22112(1)xyxyEuvxyEvuyxEvvxy222222222222110221110221EuuvXx yxyEvvuYx yyx 22121121EuvuvlmXxyyxEvvvumlYyxxy,AAuuvv应力法应力法平面应力：将物理方程变形协调方程平面应力：将物理方程变形协调方程22222()()2(1)xyyyxxx yyx 由平衡微分方程消去上式中的由平衡微分方程消去上式中的xyxy222222xyyxXYx yxyxy 2222()(1)xyXYxyxy 2()(1)xyXYxy 21()1xyXYxy 2()0 xy
35、在一般情况下，平面应力问题归结为联立求解平衡方程（在一般情况下，平面应力问题归结为联立求解平衡方程（1-71-7）和）和变形协调方程（变形协调方程（f f）；平面应变问题则是求解平衡方程（）；平面应变问题则是求解平衡方程（1-71-7）和变形）和变形协调方程（协调方程（g g）。）。 当体力为常值时，两类平面问题统一于求解平衡方程（当体力为常值时，两类平面问题统一于求解平衡方程（1-71-7）和变）和变形协调方程（形协调方程（1-131-13）。并使所得的解答满足应力边界条件（）。并使所得的解答满足应力边界条件（1-81-8）。）。 用应力法求解常体力的弹性力学平面问题时，所用应力法求解常体力
36、的弹性力学平面问题时，所用的平衡方程、变形协调方程和边界条件都不含有用的平衡方程、变形协调方程和边界条件都不含有反映材料性质的弹性常数，因而在解答中也不含有反映材料性质的弹性常数，因而在解答中也不含有弹性常数。这表明，平面问题的应用分量弹性常数。这表明，平面问题的应用分量x x、y y和和xyxy与弹性体的材料无关。这在进行平面问题的模型与弹性体的材料无关。这在进行平面问题的模型试验时，利用透明材料代替物体原来的材料制作模试验时，利用透明材料代替物体原来的材料制作模型，用偏振光测应力，就是以上述结论为根据的。型，用偏振光测应力，就是以上述结论为根据的。 应力法应力法应力函数法应力函数法 ,0
37、xyxyXxYy 特解：特解： 00yxxxyyxyxy通解：通解： yxxxy ,xyxAAyxyyxyx ,yyxBBxy,yxxyABxy有,AByx22222,xyxyx yyx 应力函数法应力函数法 22222,xyxyXxYyx yyx 222220XxYyyx444422420 xxyy40 应力函数法求解：求解应力函数表示的变形应力函数法求解：求解应力函数表示的变形协调方程。协调方程。2 2、二次式二次式： 应力分量应力分量x x=0=0、y y=2=2a a, ,xyxy=0=0。对应矩形板。对应矩形板在在y y方向受均布拉压载荷的问题（图（方向受均布拉压载荷的问题（图（a
38、a） ） 2ax 应力分量为应力分量为x x=0=0、y y=0,=0,xyxy= =xxxx= =b b。对。对应矩形板应力均布剪力的问题（图（应矩形板应力均布剪力的问题（图（b b） bxy 应力分量为应力分量为x x=2c=2c、y y=0,=0,xyxy=0 =0 。对应矩。对应矩形板在形板在x x方向受均布拉压问题（图方向受均布拉压问题（图1-121-12（c c） 2cy3 3、三次式三次式 3223axbx ycxydy22222266222xyyxycxdyyaxbyxbxcyx y 22222600 xyyxydyyxx y 1 1应力函数的选取：假定不随应力函数的选取：假定
39、不随x x而变，仅是而变，仅是y y的函数。即的函数。即 yfy代入双调和方程代入双调和方程22( )yf yx221( )( )( )2xf yxfyfy44422124442( )( )( )( )202d fyd fyd f yd f yxxdydydydy4442124442( )( )( )( )0,0,20d fyd fyd f yd f ydydydydy32321( )( )f yAyByCyDfyEyFyGy前两式积分：前两式积分：42242( )( )2124d fyd f yAyBdydy 代入第三式：代入第三式：25432( )106ABfyyyHyKy 得到应力函数：
40、得到应力函数：232325432()()2106xABAyByCyDx EyFyGyyyHyKy得到应力分量：得到应力分量：223222322222(3)(62 )2262(32)(32)xyxyxAyBxEyFAyByHyKyAyByDyDxxAyByCEyFyGx y 应用边界条件前，先用对称条件：应用边界条件前，先用对称条件：2620,320EyFEyFyG0EFG对于对于y y任意值任意值应用边界条件：应用边界条件：在在y y= =h h/2/2处，处，y y = 0 = 0， yxyx= 0= 0 在在y y= =h h/2/2处，处，y y = =q q，yxyx= 0 = 0 3
41、2222230,084243,08424hhhhABCDAhBChhhhABCDqAhBC 代入，得代入，得32 /,0,3 / 2 ,/ 2Aq hBCqhDq 2333332364622322632xyxyqqx yyHyKhhqqqyyhhqqxyxhh 2 2、得到应力：、得到应力：/ 2/ 2/ 2/ 2,0,0hhxxhhxldyydy在处2310qlqHhh22232222363()45211264xyxyqqyylxyhhhqyyhhqhyxh 222()()()22()qqMql lxlxlxQqlq lxqx 2223452112xyxyMyyyqJhhqyyhhQSJ 0
42、 xyxyMyJQSJ 第二项是修正项，随跨度的增加而减小。当第二项是修正项，随跨度的增加而减小。当h/lh/l=0.5=0.5，即梁的跨度是截面高度的四倍时，修正，即梁的跨度是截面高度的四倍时，修正项只达主要项的项只达主要项的1.67%1.67%。 3 3位移分量的确定位移分量的确定 1()1()2(1)xxyyyxxyxyuxEvyEvuxyE32232332324422224222222123310341211()2128122620122254qxhhhul xyxyyxyyAyBEJqhhhxvyyylxyyyEJx hlAxCh 由对称性，即x=0处，u=0；由端部条件，即x=l、
43、y=0处，v=0。0AB422511258Cll h3223233234222224222422422223310134121()21281221262012254511258qxhul xyxyyEJhhxyyqhhvyyylxyEJhxx hlyyhll h 3 3位移分量的确定位移分量的确定 42max020534|124525xyqlhvvEJl最大挠度发生在梁跨度中点处最大挠度发生在梁跨度中点处 第一项与材料力第一项与材料力学解答相同，第学解答相同，第二项则代表弹性二项则代表弹性力学提出的修正力学提出的修正项。随着项。随着l l/ /h h的的增大，第二项的增大，第二项的影响愈来愈小。影响愈来愈小。 ,rrrrruuPPuAAudrBBudrrrrrruudruuP APAAAPPrPAPAdrr ()rrru drduP BPBPBrdr 1rrrruuduuBBPPPBrdr 1rrur只只有有向向位位移移只只有有环环位位移移,uuPPuAAudrBBudr10rudrdrrP APAPAdr 1uuduuP BPBBBPPPBPBrdr uudruuAAPPrPAdrr uPPPOPOPr ruurr
