1、第二章第二章 极限与连续极限与连续 一、本章提要一、本章提要 1.1.基本概念基本概念 函数的极限，左极限，右极限，函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点第二类间断点. .10 口口口sinsinlimlime 口口口) )( (limlim11 2.基本公式基本公式 口（代表同一变量).两种形式两种形式注意能求的极限形式注意能求的极限形式, , 00 3.3.基本方
2、法基本方法* * * * * * 利用函数的连续性求极限；利用函数的连续性求极限； 利用四则运算法则求极限；利用四则运算法则求极限； 利用两个重要极限求极限；利用两个重要极限求极限； 利用无穷小替换定理求极限；利用无穷小替换定理求极限； 00 利用分子、分母消去共同的非零公因子利用分子、分母消去共同的非零公因子求求 形式的极限；形式的极限； 利用分子，分母同除以自变量的利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求最高次幂求 形式的极限；形式的极限； 利用连续函数的函数符号与极限符号利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；可交换次序的特性求极限； 利用利用“无穷小与有界函数之积无穷小与
3、有界函数之积仍为无穷小量仍为无穷小量”求极限求极限.4.4.定理定理 左右极限与极限的关系，左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性极限的保号性, ,极限的四则运算法则，极限与无穷小的关极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系理，无穷小与无穷大的关系初等函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的闭区间上连续函数的性质性质. .二、学法建议二、学法建议1本章的重点是本章的重点是极限的求法极限的求法及及函数在一点的连续函数在一点的
4、连续的概念，的概念， 特别是求极限的方法，灵活多样因此要掌握这部分特别是求极限的方法，灵活多样因此要掌握这部分知识，建议同学自己去总结经验体会，多做练习知识，建议同学自己去总结经验体会，多做练习2本章概念较多，且互相联系，本章概念较多，且互相联系，例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界;无穷大无穷大, 极限，无穷小，连续等只有明确它们之间的联系，极限，无穷小，连续等只有明确它们之间的联系，才能对它们有深刻的理解，才能对它们有深刻的理解， 因此同学们要注意弄清它们之间的实质关系因此同学们要注意弄清它们之间的实质关系3要深刻理解在一点的连续概念，要深刻理解在一
5、点的连续概念， 即极限值等于函数值才连续即极限值等于函数值才连续千万不要求到极限存在就下连续的结论千万不要求到极限存在就下连续的结论;特别注意判断分段函数在分段点的连续性特别注意判断分段函数在分段点的连续性)(cossin(limtan2224xxxxx1)1232(limxxxx3111limxxx)1sinsin(lim0 xxxxx)2sin(limxxx 三、例题精解三、例题精解 例例1 求下列极限: (1) (2) (3) (4) (5) ,0,0,2cos)(xxxaaxxxxfa0 x)(xf例例2 设 问当为何值时，是的间断点? 是什么间断点?42lim22xxx四、主要解题方
6、法四、主要解题方法求函数极限方法求函数极限方法* 1.利用极限存在的充分必要条件求极限利用极限存在的充分必要条件求极限例例1 求下列函数的极限：41)2)(2(2lim42lim222xxxxxxx41)2)(2(2lim42lim222xxxxxxx解解因为左极限不等于右极限，所以极限不存在因为左极限不等于右极限，所以极限不存在 小结小结 对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要用左右极限来求，只有左右极限存在的极限，要用左右极限来求，只有左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在 例如习题二 P31
7、 22.利用极限运算法则求极限利用极限运算法则求极限132lim21xxx例例2 求下列函数的极限：3limx65922xxx (2)2121lim()11xxx (3) 215limxxx(4) (1)小结小结 (1) 应用极限运算法则求极限时，应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存在必须注意每项极限都存在（对于除法，分母极限不为零）（对于除法，分母极限不为零）才能适用才能适用00, 00（2）求函数极限时，经常出现求函数极限时，经常出现 等情况，都不能直接运用极限运算法则，等情况，都不能直接运用极限运算法则，必须对原式进行恒等变换、化简，必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限。
8、常使用的有以下几种方法然后再求极限。常使用的有以下几种方法型，往往需要先通分，化简，再求极限，型，往往需要先通分，化简，再求极限，对于无理分式，分子、分母有理化，对于无理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求极限，消去公因式，再求极限，x对分子、分母进行因式分解，再求极限对分子、分母进行因式分解，再求极限，对于当对于当时的时的型，可将分子分母同时型，可将分子分母同时除以分母的最高次幂，除以分母的最高次幂，然后再求极限然后再求极限00132lim21xxx) 1(lim)32(lim121xxxx213x00623lim)2)(3()3)(3(lim659lim33223xxxxxxxxxxx
9、x解解 (1) =(2) 当时，分子、分母极限均为零，呈现型，不能直接用商的极限法则，可先分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用商的运算法则原式=1x221,11xx22111xx2211212(1)lim()lim111xxxxxx11(1)11limlim(1)(1)12xxxxxx(3) 当时，的极限均不存在，式呈现型，不能直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则，可先进行通分化简，再用商的运算法则即原式=xxx52115limxxx(4) 当当时，分子分母均无极限，呈现时，分子分母均无极限，呈现形式需分子分母同时除以形式需分子分母同时除以将无穷大的将无穷大的约去，再用法则求约去，再
10、用法则求原式原式=3.利用无穷小的性质求极限利用无穷小的性质求极限例例3 求下列函数的极限求下列函数的极限（1）11lim21xxx （2） 3sinlim1xxxx0) 1(lim1xx0) 1(lim21xx011lim21xxx1x112xx11lim21xxx解（1） 因为 而而，求该式的极限需用，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决无穷小与无穷大关系定理解决因为因为，所以当，所以当时，时，是无穷小量，是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即因而它的倒数是无穷大量，即 x sin xsin1x 0111lim1lim33xxxxxxx31xx3sinlim01xxxx（2）不能直接
11、运用极限运算法则，因为当）不能直接运用极限运算法则，因为当时分子，极限不存在，但时分子，极限不存在，但是有界函数，即是有界函数，即而 因此当因此当时时，为无穷小量为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得仍为无穷小定理，即得小结小结 利用无穷小与无穷大的关系，利用无穷小与无穷大的关系，可求一类函数的极限可求一类函数的极限（分母极限为零，而分子极限存在的函数极限）；（分母极限为零，而分子极限存在的函数极限）； 利用有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小定理利用有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小定理可得一类函数的极限可得一类函数的极限（有界量与无穷小之积的函数极限）（
12、有界量与无穷小之积的函数极限）4.利用两个重要极限求函数的极限利用两个重要极限求函数的极限例例4 求下列函数的极限：求下列函数的极限：（1） 203coscoslimxxxx （2） xxx)11 (lim2202sinsin2limxxxx441)22sin4(limsinlim0 xxxxxx解（解（1）分子先用和差化积公式变形，）分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限然后再用重要极限公式求极限=203coscoslimxxxx=10)11(lim)11 (lim)11 ()11 (limxxxxxxxxxxx1ee1（2）=xxx)11 (lim2小结小结1sinlim0
13、xxx利用利用求极限时，函数的特点是求极限时，函数的特点是00)()(sinlim0)(xuxuxu型，满足型，满足 xu的形式，其中的形式，其中为同一变量；为同一变量；xxx)11 (lim用用求极限时，函数的特点求极限时，函数的特点1)(1)(1xx型幂指函数，其形式为型幂指函数，其形式为型型, x为无穷小量，指数为无穷大，两者恰好互倒数；为无穷小量，指数为无穷大，两者恰好互倒数； 用两个重要极限公式求极限时，用两个重要极限公式求极限时，往往用三角公式或代数公式进行恒等变形往往用三角公式或代数公式进行恒等变形或作变量代换，或作变量代换，使之成为重要极限的标准形式使之成为重要极限的标准形式。
14、常用等价无穷小: xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;x5. 利用等价无穷小代换求极限利用等价无穷小代换求极限例例5 求下列函数的极限求下列函数的极限（1） 203cos1limxxx （2） 30tansinlimxxxx203cos1limxxx61321lim220 xxx221cos1 ,0 xxx解 （1） xxxx30sinsintanlimxxxxxcos)cos1 (sinlim3020sin(1cos )1limcosxxxxxx2202sin2limxxx212222sin,
15、0 xxx（2）= 小结小结 利用等价无穷小可代换整个分子或分母，利用等价无穷小可代换整个分子或分母，也可代换分子或分母中的因式，但当分子或也可代换分子或分母中的因式，但当分子或分母为多项式时，一般不能代换其中一项。分母为多项式时，一般不能代换其中一项。否则会出错否则会出错如上题如上题 0limsinsintanlim3030 xxxxxxxx, 即得一错误结果即得一错误结果6.利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限例例6 求下列函数的极限求下列函数的极限 （1） 2limx221esinxxxx 221esinxxxx2x5e2sin41esinlim22222xxxx解解 (1) 因
16、为因为是初等函数，在是初等函数，在处有定义，处有定义，所以所以 （2） )arcsin(lim2xxxx)arcsin(2xxxxxxuuy2,sin211111limlim)(lim22xxxxxxxxxxx函数函数看成由看成由 复合而成，利用分子有理化复合而成，利用分子有理化1111limarcsin1111arcsinlim)arcsin(lim2xxxxxxxx =621arcsin小结小结 利用利用“函数连续的极限值即为函数值函数连续的极限值即为函数值” 可求连续函数的极限。可求连续函数的极限。 在一定条件下复合函数的极限，在一定条件下复合函数的极限， 极限符号与函数符号可交换次序极
17、限符号与函数符号可交换次序可见 , 函数)(xf在点0 x五、五、 函数连续性的定义函数连续性的定义*定义定义:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点0 x即)(0 xf(2) 极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx设函数连续必须具备下列条件:存在 ;且有定义 ,存在 ;在在六、六、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数)(xf0 x(2) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfx
18、x 不连续 :0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这样的点0 x之一函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点间断点 . 在无定义 ;间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若称0 x, )()(00 xfxf若称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在 ,称0 x若其中有一个为振荡 ,称0 x若其中有一个为,为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点振荡间断点 .xytan) 1 (2x为其无穷间断点 .0 x为
19、其振荡间断点 .xy1sin) 2(1x为可去间断点 .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin01) 1 (1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点 .内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的
20、类型)(. 1xf0 x在点连续的等价形式练习练习1. 讨论函数231)(22xxxxfx = 2 是第二类无穷间断点 .间断点的类型.2. 设0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a时提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa0)(xf为连续函数.答案答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,备用题备用题 确定函数间断点的类型.xxexf111)(解解: 间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0 x为无穷间断点;,1 时当x xx1,0)(xf,1 时当x xx1,1)(xf故1x为跳跃间断点. ,1,0处在x.)(连续xf 2. 求.sin12lim410 xxeexxx解:xxeex
21、xxsin12lim410 xxeeexxxxsin12lim43401xxeexxxsin12lim410 xxeexxxsin12lim4101原式 = 1 作业：教材习题一作业：教材习题一(补充）三、补充）三、 极限极限1. 极限定义的等价形式 (以 为例 )0 xx Axfxx)(lim00)(lim0Axfxx(即 为无穷小)Axf)(, )(0 xxxnnn有Axfnn)(limnx,0 xAxfxf)()(00机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 极限存在准则及极限运算法则3. 无穷小无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;常用等价无穷小: 4. 两个重要极限 6. 判断极限不存在
22、的方法 xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;x机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 求极限的基本方法 例例6. 求下列极限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx无穷小有界机动 目录 上页 下页 返回 结束 令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2
23、xxsin12机动 目录 上页 下页 返回 结束 0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(e)1(ln12xxxx122e则有)()(1lim0 xvxxxu复习复习: 若,0)(lim0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx)(lim12sincos0 xxxxx1机动 目录 上页 下页 返回 结束 331xy例例7. 确定常数 a , b , 使0)1(lim33bxaxx解解: 原式0)1(lim313xbxxax0)1(lim313xbxxa故,01a于是,1a而)1(lim33xxbx2333231)1 (1limxxxxx0 xy机动 目录 上页 下页 返回 结束
